线性方程组的性态与误差分析

线性方程组的性态与误差分析第1页，共48页，2023年，2月20日，星期六向量和矩阵的范数

为了研究线性方程组近似解的误差估计和迭代法的收敛性，我们需要对Rn(n维向量空间)中的向量或Rnxn中矩阵的“大小”引入一种度量，——向量和矩阵的范数。第2页，共48页，2023年，2月20日，星期六在一维数轴上，实轴上任意一点x到原点的距离用|x|表示。而任意两点x1，x2之间距离用|x1-x2|表示。第3页，共48页，2023年，2月20日，星期六第4页，共48页，2023年，2月20日，星期六第5页，共48页，2023年，2月20日，星期六常见的向量范数

第6页，共48页，2023年，2月20日，星期六第7页，共48页，2023年，2月20日，星期六向量范数性质第8页，共48页，2023年，2月20日，星期六第9页，共48页，2023年，2月20日，星期六第10页，共48页，2023年，2月20日，星期六向量的收敛性第11页，共48页，2023年，2月20日，星期六第12页，共48页，2023年，2月20日，星期六矩阵范数第13页，共48页，2023年，2月20日，星期六矩阵范数与向量范数的相容第14页，共48页，2023年，2月20日，星期六算子范数第15页，共48页，2023年，2月20日，星期六第16页，共48页，2023年，2月20日，星期六第17页，共48页，2023年，2月20日，星期六第18页，共48页，2023年，2月20日，星期六第19页，共48页，2023年，2月20日，星期六第20页，共48页，2023年，2月20日，星期六常见的矩阵范数第21页，共48页，2023年，2月20日，星期六第22页，共48页，2023年，2月20日，星期六第23页，共48页，2023年，2月20日，星期六第24页，共48页，2023年，2月20日，星期六矩阵的谱半径和矩阵序列收敛性第25页，共48页，2023年，2月20日，星期六比较谱半径和范数的关系？第26页，共48页，2023年，2月20日，星期六第27页，共48页，2023年，2月20日，星期六第28页，共48页，2023年，2月20日，星期六第29页，共48页，2023年，2月20日，星期六矩阵序列的收敛性第30页，共48页，2023年，2月20日，星期六第31页，共48页，2023年，2月20日，星期六病态方程组与矩阵的条件数第32页，共48页，2023年，2月20日，星期六第33页，共48页，2023年，2月20日，星期六第34页，共48页，2023年，2月20日，星期六第35页，共48页，2023年，2月20日，星期六第36页，共48页，2023年，2月20日，星期六第37页，共48页，2023年，2月20日，星期六病态方程组扰动方程由于计算机字长限制，在解AX=b时，舍入误差是不可避免的。因此我们只能得出方程的近似解。是方程组（A+△A）x=b+△b(1)

第38页，共48页，2023年，2月20日，星期六在没有舍入误差的解。称方程（1）为方程Ax=b的扰动方程。其中△A，△b为由舍入误差所产生的扰动矩阵和扰动向量。当△A，△b的微小扰动，解得（1）的解与Ax=b的解x的相对误差不大称为良态方程，否则为病态方程。第39页，共48页，2023年，2月20日，星期六扰动方程组的误差界第40页，共48页，2023年，2月20日，星期六第41页，共48页，2023年，2月20日，星期六第42页，共48页，2023年，2月20日，星期六第43页，共48页，2023年，2月20日，星期六第44页，共48页，2023年，2月20日，星期六第45页，共48页，2023年，2月20日，星期