2022-2023学年山西省长治市上党区校高二年级上册学期期末数学试题【含答案】

2022-2023学年山西省长治市上党区校高二上学期期末数学试题一、单选题1．已知数列满足，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据递推关系即可逐一代入求值.【详解】.故选:C2．已知函数，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据导数运算法则直接求解即可.【详解】.故选：A.3．《红楼梦》是中国古代章回体长篇小说，中国古典四大名著之一，《红楼梦》第三十七回贾探春提议邀集大观园中有文采的人组成海棠诗社．诗社成立目的旨在“宴集诗人於风庭月榭；醉飞吟盏於帘杏溪桃，作诗吟辞以显大观园众姊妹之文采不让桃李须眉．”诗社成员有8人：林黛玉、薛宝钗、史湘云、贾迎春、贾探春、贾惜春、贾宝玉及李纨，若这8人排成一排进人大观园，且林黛玉、薛宝钗、贾宝玉3人不相邻，则不同的排法种数有（

）A．1440 B．2400 C．14400 D．86400【答案】C【分析】根据插空法，利用排列数公式求解.【详解】不相邻问题用插空法，先将其他5人排好，有种不同的排法，再将林黛玉、薛宝钗、贾宝玉3人排入其他5人隔开的6个空中，有种不同的排法，所以有（种）不同的排法.故选：C4．有6名选手（含选手甲、乙）参加了男子100米赛跑决赛，则在甲的名次比乙高的条件下，甲、乙两人名次相邻的概率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分甲第一名，甲第二名，甲第三名，甲第四名，甲第五名五种情况讨论分别求出甲的名次比乙高和甲的名次比乙高且甲乙相邻的基本事件的个数，再根据条件概率公式即可得解.【详解】甲的名次比乙高，当甲第一名时，乙有5种位置，其中甲乙相邻有1种情况，当甲第二名时，乙有4种位置，其中甲乙相邻有1种情况，当甲第三名时，乙有3种位置，其中甲乙相邻有1种情况，当甲第四名时，乙有2种位置，其中甲乙相邻有1种情况，当甲第五名时，乙有1种位置，其中甲乙相邻有1种情况，所以甲的名次比乙高共有种情况，甲的名次比乙高且甲乙相邻有5种情况，所以在甲的名次比乙高的条件下，甲、乙两人名次相邻的概率为.故选：A.5．若角的终边经过点，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意可求得，利用同角的三角函数关系结合二倍角公式化简，代入求值，可得答案.【详解】根据角的终边经过点，得，又,故选:C.另解：根据三角函数的定义，得，，所以，所以，故选：C.6．某班开展阅读比赛，老师选择了5本不同的课外书，要求每位同学在3天内阅读完这5本课外书，每天至少选一本阅读，选择的课外书当天需阅读完，则不同的选择方式有（

）A．540种 B．300种 C．210种 D．150种【答案】D【分析】先将本数分成3组，有和两种分组方案，然后再分配到每天即可.【详解】先将每天读书的本数分组，有和两种分组方案，当按分组时，有种方法，当按按分组时，有种方法，所以不同的选择方式有种.故选：D.7．已知数列满足，，设数列的前项和为，若，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据等差数列定义和通项公式可推导得到，由此可得，利用裂项相消法可求得，由可构造不等式求得的范围，进而得到最小值.【详解】，，数列是以为首项，为公差的等差数列，，则，，，由得：，解得：，又，.故选：B.8．已知函数与函数的图像上恰有两对关于轴对称的点，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意函数与的图像上恰有两对关于轴对称的点，得到方程有两解，分离参数构造新函数，利用导数求出最值，结合题意分析即可得.【详解】因为函数与的图像上恰有两对关于轴对称的点，所以，即有两解，所以有两解，令，则，所以当时，0，此时函数在上单调递增；当时，，函数在上单调递减，所以在处取得极大值，，且时，的值域为，时，的值域为，因此有两解时，实数的取值范围为，故选：C.二、多选题9．已知直线与直线平行，且与圆相切，则直线的方程是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】由圆的方程可确定圆心和半径，设，根据直线与圆相切可知圆心到直线距离等于半径，由此可构造方程求得结果.【详解】由圆的方程可知：圆心，半径；设直线，则圆心到直线的距离，解得：或，直线的方程为：或.故选：AC.10．若，则（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】利用赋值法令求出判断A，令，得到两式，两式相加、相减即可判断BC，令判断D．【详解】令时，，故A错误；时，；时，；所以，，B正确；，C错误；令，可得，故，故D正确.故选：BD．11．已知是数列的前项和，，，，则（

）A．B．数列是等比数列C．D．【答案】ABD【分析】根据递推关系式依次求得数列的前项，加和即可知A正确；将递推关系式转化为，结合，由等比数列定义可得B正确；利用累加法可求得C错误；采用分组求和的方式，结合等比数列求和公式可求得D正确.【详解】对于A，，，，，，，，A正确；对于B，由得：，又，数列是以为首项，为公比的等比数列，B正确；对于C，由B知：，当时，，又满足，，C错误；对于D，，D正确.故选：ABD.12．已知函数的两个极值点分别是，则（

）A．或B．C．存在实数，使得D．【答案】BD【分析】对于A，由题意可得在上有2个不等的实根，从而可求出的范围，对于B，根据根与系数的关系结合的范围进行判断，对于C，由题意得，令，利用导数可求得，从而可进行判断，对于D，，令，利用导数可求出其在上的最大值小于零即可.【详解】由有两个极值点，得在上有2个不等的实根，即在上有2个不等的实根，则解得，A错误；由韦达定理，得，当时，，B正确；，令，则，所以在上单调递减，所以，所以恒成立，C错误；，令，令，所以在上单调递减，所以，即，所以在上单调递减，.所以，D正确.故选：BD.【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数解决函数极值问题，解题的关键是根据题意可得在上有2个不等的实根，即在上有2个不等的实根，然后利用根与系数的关系分析判断，考查数学计算能力，属于较难题.三、填空题13．有一批同规格的产品，由甲、乙、丙三家工厂生产，其中甲、乙、丙工厂分别生产3000件、3000件、4000件，而且甲、乙、丙工厂的次品率依次为6%、5%、5%，现从这批产品中任取一件，则取到次品的概率为______．【答案】##【分析】设任取一件产品来自甲厂为事件、来自乙厂为事件、来自丙厂为事件，根据题意求出各自的概率，然后利用全概率公式可求出从中任取一件，取到次品的概率.【详解】设任取一件产品来自甲厂为事件、来自乙厂为事件、来自丙厂为事件，则彼此互斥，且,，，，设任取一件产品，取到的是次品为事件，则故答案为：14．如图，在平行四边形中，点，分别在，边上，且，，若，，，则______.【答案】【分析】由题知，，再根据数量积的运算律运算求解即可.【详解】解：因为，，所以，，，因为，，，所以.故答案为：15．若曲线与曲线在公共点处有相同的切线，则实数__________.【答案】【分析】令，，公共点为，结合导数几何意义可构造方程组，由此可解得，进而求得的值.【详解】令，，则，；设与的公共点为，与在公动点处有相同的切线，，即，，解得：，，解得：.故答案为：.16．过抛物线的焦点F作直线PQ，MN分别与抛物线C交于P，Q和M，N，若直线PQ，MN的斜率分别为，，且满足，则的最小值为______．【答案】【分析】求出直线方程，再与抛物线联立，利用弦长公式分别求出弦，再利用基本不等式即可得出答案.【详解】抛物线的焦点，则直线的方程为，联立，消得，设，则，则，所以，同理可得，所以，由，得，当且仅当，即时，取等号，所以的最小值为.故答案为：.四、解答题17．在的展开式中，第3项的二项式系数是第2项的二项式系数的4倍．(1)求n的值；(2)求的展开式中的常数项．【答案】(1)9(2)【分析】（1）根据二项展开式的通项公式及二项式系数的概念求解；（2）由二项展开式通项公式，令求解即可.【详解】（1）由二项展开式通项公式可知，，所以由题意知，解得.（2）由（1）知二项展开式的通项公式为，令，解得，故展开式中的常数项为.18．如图，在直四棱柱中，底面是正方形，，为的中点.(1)证明：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用勾股定理和线面垂直的性质可证得，，由线面垂直的判定定理可证得结论；（2）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用面面角的向量求法可求得结果.【详解】（1）四边形为矩形，，为中点，，又，，；平面，平面，；，平面，平面.（2）以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，；设平面的法向量，则，令，解得：，，；由（1）知：平面，平面的一个法向量为，，即平面与平面夹角的余弦值为.19．为丰富师生的课余文化生活，倡导“每天健身一小时，健康生活一辈子”，深入开展健身运动，增强学生的身体素质和团队的凝聚力，某中学将举行趣味运动会．某班共有8名同学报名参加“四人五足”游戏，其中男同学4名，女同学4名．按照游戏规则，每班只能选4名同学参加这个游戏，因此要从这8名报名的同学中随机选出4名．(1)求选出的4名同学中有男生的概率；(2)记选出的4名同学中女同学的人数为，求随机变量的分布列及数学期望．【答案】(1)(2)分布列见解析，【分析】（1）根据古典概型求解即可；（2）先写出随机变量的所有可能取值，再求出对应随机变量的概率，即可得出分布列，再根据期望公式求出期望即可.【详解】（1）选出的4名同学中有男生的概率为；（2）随机变量可取，，，，，，则分布列为期望.20．在数列中，.(1)证明：是等比数列；(2)若数列的前项和，求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据已知可得，进而可证明为等比，（2）根据的关系可求解，由（1）知，进而可得，由错位相减法即可求解.【详解】（1）证明：因为，所以，又，所以，所以.所以是首项为1，公比为的等比数列.（2）由（1）知，因为数列的前项和，所以当时，，当时，，满足上式，所以.所以.，①由①，得，②①②相减得所以.21．在平面直角坐标系中，，，为平面内的一个动点，且，线段的垂直平分线交于点，设点的轨迹是曲线.(1)求曲线的方程；(2)设动直线与曲线有且只有一个公共点，且与直线相交于点，问是否存在定点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)(2)存在，定点【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到，得到轨迹为椭圆，再计算得到椭圆方程.（2）联立方程，根据有唯一交点得到，解得的坐标，假设存在定点，则，代入数据计算得到答案.【详解】（1）由垂直平分线的性质可知，所以.又，所以点N的轨迹C是以，为焦点，长轴长为4的椭圆.设曲线C的方程为，则，，所以，所以曲线C的方程为.（2）由，消去y并整理，得，因为直线与椭圆C有且只有一个公共点P，所以，即，所以，此时，，所以，由得，假设存在定点，使得以PQ为直径的圆恒过点H，则，又，，所以，整理得对任意实数，k恒成立.所以，解得，故存在定点，使得以PQ为直径的圆恒过点H.【点睛】本题考查了椭圆的轨迹方程，定点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中将题目条件转化为向量的乘积为零是解题的关键.22．已知函数，（，为自然对数的底数）.(1)求函数的极值；(2)若对，恒成立，求的取值范围.【答案】(1)极大值为，无极小值(2)【分析】（1）求导后，根据的正负可求得的单调性，根据极值的定义可求得结果；（2）分离变量可将问题转化为在上恒成立；求导后可令，利用导数可求得的单调性，利用零点存在定理可求得的零点，并得到的单