论文 由一道中考数学题引发的思考

2022年安徽省中小学教育教学论文评选由一道中考数学题引发的思考摘要：2022年6月份，笔者有幸参加了安徽省滁州市的中考阅卷，负责的是第22题的批阅工作.阅卷结束后，笔者对这一题进行了分析与总结，这让笔者重新反思自己的几何问题的教学，引发了对几何问题的再思考.关键词：中考，压轴题，几何模型，教学反思一、试题呈现 试题（2022年安徽中考第22题）已知四边形ABCD中，BC＝CD，连接BD，过点C作BD的垂线交AB于点E，连接DE．（1）如图1，若DE//BC，求证：四边形BCDE是菱形；

（2）如图2，连接AC，设BD，AC相交于点F，DE垂直平分线段AC．（ⅰ）求∠CED的大小；（ⅱ）若AF＝AE，求证：BE＝CF．图1二、试题解读图2本题已知条件较少，给人的第一感觉是题目较为简单，但在实际解题过程中，根据已知条件能够推出多个结论.学生在考试过程中，由于时间紧张易陷入“迷茫”，无法将所得到的结论与问题联系起来，这也是大部分考生丢分、失分的主要原因.那么该如何进行解题呢？波利亚将解题过程分为“弄清问题、拟定计划、实现计划、回顾”四个阶段[1].接下来笔者将按照这四个阶段论解读本题. 1.首先，我们要清楚问题是什么？读完题目，稍作思考，我们会发现问题（1）中证明四边形BCDE是菱形，很容易联想到利用菱形的判定进行证明.问题（2）中的（ⅰ）12022年安徽省中小学教育教学论文评选求∠CED的大小，与角度有关，而已知条件中并没有角度，只有线段垂直平分线和等边，那么如何把这些已知条件转化成与角相关呢？我们可以联想到利用其性质，通过推出3个相等的角解得.问题（2）中的（ⅱ）证明BE＝CF，结合条件和图形，我们可以猜想通过全等进行证明.2.然后，对于问题（1）来说，比较简单，我们结合条件，通过菱形的判定可以利用多种方法进行证明.问题（2）中的（ⅰ）可利用线段垂直平分线的性质、等边对等角、等腰三角形“三线合一”的性质、全等的性质、平角的定义求出∠CED的大小.问题（2）中的（ⅱ）有些难度，但结合问题和图形，我们容易联想到一些几何全等模型，比如：公共角、公共边、8字全等模型，通过全等的性质证明边相等.此时，我们就有了方向和目标.3.最后，围绕问题，结合已知条件写出解题过程.本题主要考查了以下知识点：等腰三角形“三线合一”的性质、平行线的性质、角平分线的性质、等量代换、菱形的判定、线段垂直平分线的性质、等边对等角、全等的性质及判定、平角的定义、四点共圆等内容，这些都是教材中极为重要和基础的知识点.三、典型问题分析1.阅卷结束后，笔者发现这一题0分居多，占24.6%，按照本次的评分细则，本题的得分点应该有很多，如能利用菱形的判定定理证明四边形BCDE是菱形，即可得2分，作出辅助线即可得1分.在此情况下，仍出现如此之多的0分，说明部分考生的基础薄弱，看到题目无从下手.2.会出现跳跃关键步骤的现象.比如在第（1）问中，部分考生直接通过等腰三角形“三线合一”的逆定理推出"DE=DC"；在第（2）问的（ⅰ）中，部分考生通过线段垂直平分线的性质定理直接得到“∠AED=∠CED”或“∠CED=∠CEB”.3.思路复杂，弯路多.比如第（2）问中的（ⅱ）证明BE=CF，部分考生已经证明了△AEC≌△AFB，由全等的性质得到AB=AC，再加上已知条件AF＝AE，利用等式的基本性质两边同时减去AE、AF，即可证明BE=CF，但有些考生在证明△AEC≌△AFB后，又连接了EF，证明△EFC≌△FEB从而得到BE=CF，绕了很大的弯路，使得解题过程变得复杂了.四、原因分析22022年安徽省中小学教育教学论文评选1.基础知识薄弱一方面部分考生可能没有真正地掌握数学定义、定理等知识点，导致自己不能够正确的运用所学的知识点.比如在第（2）小问的（ⅰ）中，由线段垂直平分线的性质定理得到的结论应该是两条线段相等，即AE=CE，再通过等腰三角形“三线合一”的性质才能够得到∠AED=∠CED,但是在阅卷过程中，笔者发现部分考生却直接由线段垂直平分线的性质定理得到∠AED=∠CED.另一方面也有可能部分考生对所学的数学定义、定理等知识点不能够进行灵活的应用，而且本题的每一小问都有多种方法进行求解，是比较灵活的，导致考生思路不清、无从下手.2.考试心理影响本题是倒数第二题.一方面或许一些考生在前面的答题过程中消耗了较多时间，导致后续时间紧张，从而产生慌乱；另一方面也有可能部分考生根据其所在试卷中的位置，想当然地认为其很难，一旦解题入手不顺利便产生急躁情绪，影响了考试心态，进而影响考生在考试中的发挥. 五、解法赏析

由于本题的前两小问比较简单，笔者就不再做过多的赘述，仅对第（2）问中的（ⅱ）给出以下四种证明方法. 证法1：通过公共角模型证明△AEC和△AFB全等,利用全等的性质得到AB=AC,再用等式的基本性质，即可得到结论.证明：由（i）得：AE＝EC,∠CEB＝∠CED＝60o∴∠AEC＝180o－∠CEB＝120o∴∠ACE＝30o同理可得：在等腰△DEB中，∠EBD＝30o∴∠ABF＝∠ACE＝30o又∵AF＝AE,∠FAB＝∠EAC∴△AFB≌△AECAAS)∴AB＝AC∴AB－AE＝AC－AF即BE＝CF3图32022年安徽省中小学教育教学论文评选证法2：通过公共边模型证明△EBF和△FCE全等,利用全等的性质即可得到结论.证明：如图所示：连接EF由（）得：AE＝EC,∠CEB＝∠CED＝60o图4∴∠AEC＝180o－∠CEB＝120o∴∠EAC＝∠ECA＝30o又∵AF＝AE∴∠AEF＝∠AFE＝75o∴∠BEF＝∠CFE＝105o∵CE⊥BD,∠CEB＝60o∴∠EBD＝30o∴∠EBF＝∠FCE又∵FE＝EF∴△EBF≌△FCEAAS)∴BE＝CF证法3：作辅助线连接EF,通过“8”字模型证明△EGB和△FGC全等,再利用全等的性质即可得到结论.证明：如图所示：连接EF,设BD与CE相交于点G由（）得：AE＝EC,∠CEB＝∠CED＝60o∴∠AEC＝180o－∠CEB＝120o∴∠EAC＝∠ECA＝30o又∵AF＝AE∴∠AEF＝∠AFE＝75o∴∠BEF＝∠CFE＝105o∴∠GEF＝∠BEF－∠CEB＝45o又∵CE⊥BD∴△FGE是等腰直角三角形∴GE＝GF∵CE⊥BD,∠BEG＝60o∴∠EBG＝∠FCG＝30o又∵∠EGB＝∠FGC∴△EGB≌△FGCAAS)∴BE＝CF4图52022年安徽省中小学教育教学论文评选证法4：作辅助线连接EF,通过四点共圆、平行线的性质和等量代换证明∠ABC和∠ACB相等,再利用等边对等角和等式的基本性质即可得到结论.证明：如图所示：连接EF,由（i）得：EA＝ECED＝EB∠AED＝∠CED＝∠BEC＝60o∴∠AEC＝∠BED＝120o∴∠EAC＝∠ECA＝30,o∠EBD＝∠EDB＝30o∴∠EAF＝∠EDF＝30,o∠EBF＝∠ECF＝30o∴、、、E四点共圆，、、、C四点共圆又∵AE＝AF∴∠AEF＝∠AFE＝∠ADE＝∠CDE＝∠CBE∴EF∥BC∴∠AFE＝∠ACB∴∠ABC＝∠ACB∴AB＝AC∴AB－AE＝AC－AF即BE＝CF六、教学反思图6在批改完这一题后，笔者从后台数据中发现这一题的得分率较低.全市平均得分为4.61分，其中0分居多，占24,6％.针对以上情况，笔者就几何问题教学的具体做法谈几点自己的见解.1.注重基础知识的教学解决数学问题必须熟练掌握相关的基础知识，中考虽然是选拔性考试，但考查的难题并不多，大部分题目都是基础题，尤其在“双减”之后，更加体现了试题的基础性.例如：本题作为2022年安徽中考几何压轴题，无非考查了菱形、平行线、角平分线、等腰三角形、垂直平分线、全等的相关知识点及运用.学好基础知识就像盖房子打好地基一样，只有地基打牢了，后面的就是在原有的架构上添砖加瓦，才能建构好一个个知识楼层.所以，作为教师应该重视学生基础知识的掌握情况，引导学生构建自己的知识框架，从而形成各知识点相连接的知识网图.2.建立几何模型，培养直观能力52022年安徽省中小学教育教学论文评选几何是初中数学学习过程中的一大重要板块,也是数学教学的难点.在几何教学中采用模型教学的策略具有重要意义，可以将原来复杂抽象的知识通过几何模型直观的呈现到学生面前，降低了学生的理解难度，加深了学生对知识的理解，从而有利于提高教学效率和教学质量，发展学生的几何直观能力，进而提升学生的数学核心素养.在具体问题中几何模型有时单独出现，有时结伴而行.在教学过程中，教师应该注意揭示模型中的纽带，引导学生建立模型中的桥梁.对于模型中元素的特征及联系的分析彻底了，才能够更好的抓住模型的主要特征.这样，无论图形是如何变换的，隐藏在什么样复杂的图形中，学生都能够从中分离出简单的基本模型，从而提升了学生的几何直观能力[2].3.注重数学思想方法的渗透数学思想方法是数学的精髓、是数学的本质所在.日本数学教育家米山国藏在他的著作《数学的精神、思想和方法》中提出：“不管学生从事什么业务工作，即使把所教给的数学知识全忘了，惟有铭刻在他们心中的数学精神、思想和方法都随时随地地发生作用，使他们受益终生.”足以说明数学思想方法对数学教育本身和学生数学素养的重要性、必要性[3].所以，“授之以鱼，不如授之以渔”，教师在教学过程中不应只关注数学的知识和结论，在重视传授数学知识的同时，尽可能的要让学生能够体会到蕴含在知识内的数学思想方法，从而促进学生的思维发展、全面提高学生的数学素养,为学生的可持续发展奠定坚实的基础.4.培养学生的审题能力审题是对题目进行分析、综合、寻求解题思路和方法的过程，认真审题是正确解题的关键.从数学教学的实际情况看，教师大多只注重对知识的教与学，忽视了对学生习惯的培养.从学生终身发展的角度，达成学生培养目标层面上来看，也要重视学生这一习惯的培养.审题能力影响着学生的解题，如果在审题过程中出现错误，就会使得解题方向、解题知识点运用、解题方法运用等出现错误，最终导致题目解错.在教学过程中，教师应该严格要求审题，让学生养成良好的审题习惯.在课堂上讲解数学题时，对于一些关键条件，应该注意反复读题、分析，让学生在潜移默化的过程中认识到读题的重要性，并在以后自己解题时能够主动认真地审清题目、分析题意.62022年安徽省中小学教育教学论文评选5.强调“言必有据”在批改学生的证明题时，经常会发现学生在推导过程中会出现“无依据”、“无因果”、“少条件”、“多条件”等问题，究其原因在于对定理、定义等内容没有熟练的掌握，在用一个定理、定义时对所需的条件弄不清楚.这就要求我们教师在教学过程中应注