江苏省扬州市邗沟中学2021-2022学年高三数学理期末试卷含解析

江苏省扬州市邗沟中学2021-2022学年高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S4﹣S1=7a2，a3=5，则Sn=（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】等比数列的前n项和．【分析】设正项等比数列{an}的公比为q＞0，q≠1，由S4﹣S1=7a2，a3=5，可得a4+a3+a2=7a2，即=6a2，=5，联立解得q，a1．利用求和公式即可得出．【解答】解：设正项等比数列{an}的公比为q＞0，q≠1，∵S4﹣S1=7a2，a3=5，∴a4+a3+a2=7a2，即=6a2，=5，联立解得q=2，a1=．则Sn==5×2n﹣2﹣．故选：D．【点评】本题考查了比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2.在ABC中，a，b，c分别是内角A，B．C的对边，

sinBsinC，则cosC=(

)．

(A)

(B)(C)

(D)参考答案：A3.椭圆的焦距比短轴长(

)A． B．

C．

D．参考答案：D4.设直线l与球O有且只有一个公共点P，从直线l出发的两个半平面α，β截球的两截面圆的半径分别为1和，二面角α－l－β的平面角为150°，则球O的表面积为A．4π

B．16π

C．28π

D．112π

参考答案：D过两截面圆心和球心作球的截面，如图，设OO1＝h1，OO2＝h2，则h＋1＝h＋3，根据余弦定理h＋h－2h1h2cos30°＝1＋3－2×1×cos150°＝7，消掉h1得方程2h－5＝h2，两端平方整理得h－26h＋25＝0，解得h＝1(舍去)，或h＝25，即h2＝5，所以球的半径r＝＝，故球的表面积是4πr2＝112π.5.以表示标准正态总体在区间内取值的概率，若随机变量，则概率等于

（

）A． B． C．

D．参考答案：B略6.（5分）（2015秋?太原期末）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象如图所示，若f（α）=3，α∈（，），则sinα的值为（）A．B．C．D．参考答案：A【分析】根据函数的最值得到A，再由图象可得函数的周期，结合周期公式得到ω的值，再根据函数的最大值对应的x值，代入并解之得φ，从而得到函数的表达式，最后求得cos（α+）的值，利用两角差的正弦函数公式即可得解．【解答】解：∵函数f（x）的最大值为5，最小值为﹣5，∴A=5，又∵函数的周期T=2（）=2π，∴ω===1，∴函数图象经过点（，5），即：5sin（+φ）=5，∴解得：+φ=+2kπ，k∈Z，可得：φ=+2kπ，k∈Z，∵0＜φ＜π，∴取k=0，得φ=．∴函数的表达式为：f（x）=5sin（x+），∵f（α）=5sin（α+）=3，解得：sin（α+）=，又∵α∈（，），可得：α+∈（，π），∴cos（α+）=﹣=﹣，∴sinα=sin（α+﹣）=sin（α+）cos﹣cos（α+）sin=×﹣（﹣）×=．故选：A．【点评】本题给出函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象，要我们确定其解析式并根据解析式求特殊的函数值，着重考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质的知识，属于中档题．7.设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A?C，B??UC”是“A∩B=?”的（）A．充分而不必要的条件 B．必要而不充分的条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：C考点：充要条件；集合的包含关系判断及应用．专题：集合；简易逻辑．分析：通过集合的包含关系，以及充分条件和必要条件的判断，推出结果．解答：解：由题意A?C，则?UC??UA，当B??UC，可得“A∩B=?”；若“A∩B=?”能推出存在集合C使得A?C，B??UC，∴U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A?C，B??UC”是“A∩B=?”的充分必要的条件．故选：C．点评：本题考查集合与集合的关系，充分条件与必要条件的判断，是基础题．8.在各项均为正数的等比数列中，，则＝A．12

B．10 C．8 D．参考答案：B9.设为单位向量，若向量满足，则的最大值是

（

）（A）1

（B）

（C）2

（D）参考答案：D10.已知命题，命题的解集是，下列结论：①命题“”是真命题；②命题“”是假命题；③命题“”是真命题；④命题“”是假命题其中正确的是（

）A.②③

B①②④

C.①③④

D.①②③④参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在平面直角坐标系内，直线，将与两条坐标轴围成的封闭图形绕轴旋转一周，所得几何体的体积为___________．参考答案：【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.【知识内容】图形与几何/简单几何体的研究/锥体.【试题分析】设直线与条坐标轴的交点分别为A,B,则，B（0,2），于是绕y轴旋转一周，该几何体为底面半径为1，高为2的圆锥，所以，故答案为.12.已知复数z＝(3＋i)2(i为虚数单位)，则|z|＝________参考答案：1013.（1﹣）5的展开式中x2的系数为

．参考答案：﹣10【考点】二项式系数的性质．【分析】（1﹣）5的展开式中x2的项为C52（﹣）3，计算即可【解答】解：（1﹣）5的展开式中x2的项为C52（﹣）3=﹣10x2，故答案为：﹣10．14.若某程序框图如图所示，则运行结果为．参考答案：515.椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率为_______.参考答案：16.若（1+2x）n展开式中含x3项的系数等于含x项系数的8倍，则正整数n=．参考答案：5考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：由题意可得Tr+1=Cnr（2x）r=2rCnrxr分别令r=3，r=1可得含x3，x项的系数，从而可求解答：解：由题意可得二项展开式的通项，Tr+1=Cnr（2x）r=2rCnrxr令r=3可得含x3项的系数为：8Cn3，令r=1可得含x项的系数为2Cn1∴8Cn3=8×2Cn1∴n=5故答案为：5点评：本题主要考查了利用二项展开式的通项公式求解指定的项，解题的关键是熟练掌握通项，属于基础试题17.（5分）直线l1：x+my+6=0与直线l2：（m﹣2）x+3y+2m=0互相平行，则m的值为

．参考答案：﹣1考点： 两条直线平行的判定．专题： 计算题．分析： 利用两直线平行，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，解方程求的m的值．解答： 解：由于直线l1：x+my+6=0与直线l2：（m﹣2）x+3y+2m=0互相平行，∴，∴m=﹣1，故答案为﹣1．点评： 本题考查两直线平行的性质，两直线平行，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.椭圆C：(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上，满足，，．（1）求椭圆C的方程．（2）设O为坐标原点，过椭圆C的左焦点F1的动直线l与椭圆C相交于M，N两点，是否存在常数t，使得为定值，若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由椭圆定义得，由=|PF2|2，得c=2，由此能求出椭圆方程．（2）当直线L的斜率存在时，设点M（x1，y1），N（x2，y2），直线L为y=k（x+2），由，得，由此利用韦达定理、向量知识，结合已知条件能求出结果．【解答】解：（1），得，由=|PF2|2，得c=2，由c2=a2﹣b2得b=1，∴椭圆方程为；…..（2）当直线L的斜率存在时，设点M（x1，y1），N（x2，y2），直线L为y=k（x+2）把y=k（x+2）代入得：…．由，得，，所以，所以…当时，t=﹣11，此时即当t=﹣11时，可得为定值6；，当直线L的斜率不存在时，直线L为x=﹣2，则，当t=﹣11时，可得为定值6，由上综合可知，当t=﹣11时，可得为定值6．…19.（本小题满分12分）已知三棱柱中，在底面ABC上的射影恰为AC的中点D.（1）求证：；（2）求四棱锥的体积.参考答案：（1）见解析（2）

【知识点】直线与平面垂直的性质B4（1）证明：∵A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，∴A1D⊥平面ABC，∵A1D平面A1AC，∴平面A1AC⊥平面ABC，∵BC⊥AC，平面A1AC∩平面ABC=AC，∴BC⊥平面A1AC，∵AC1平面A1AC，∴BC⊥AC1，∵四边形ACC1A1为平行四边形，AA1=AC，∴四边形ACC1A1为菱形，∴A1C⊥AC1，∵A1C平面A1CB，BC平面A1CB，A1C∩BC=C，∴AC1⊥平面A1CB，∵BA1平面A1CB，∴AC1⊥BA1．（2）∵=S△ABC?A1D=××××=．=S△ABC?A1D=×××=．∴=﹣=﹣=．【思路点拨】（1）先利用面面垂直的判定定理证明出平面A1AC⊥平面ABC，进而证明出BC⊥AC1，同理根据菱形的性质证明出A1C⊥AC1，利用线面垂直的判定定理证明出AC1⊥平面A1CB，最后根据线面垂直的性质证明出AC1⊥BA1．（2）分别求出和最后作差即可．20.在长方形AA1B1B中，AB=2AA1，C，C1分别是AB，A1B1的中点（如下左图）．将此长方形沿CC1对折，使平面AA1C1C⊥平面CC1B1B（如下右图），已知D，E分别是A1B1，CC1的中点．（1）求证：C1D∥平面A1BE;（2）求证：平面A1BE⊥平面AA1B1B.参考答案：.解：（1）取的中点F,连结

即四边形为平行四边形,

………4分

（2）依题意：,

由面面垂直的性质定理得

……6分

平面A1BE⊥平面AA1B1B.

……8分21.（本小