第5章傅里叶变换应用于通信系统-滤波、调制与抽样

5.2利用系统函数H(jω)求响应拉氏变换傅氏变换S=jω

（有条件）H(s)E(s)R(s)R(s)=E(s)H(s)h(t)激励e(t)响应r(t)r(t)=e(t)*h(t)H(jω)E(jω)R(jω)R(jω)=E(jω)H(jω)第一页，共64页。第一页，共64页。在时域中其中：H(j)=FT[h(t)]称频域系统函数则h(t)=IFT[H(j)]称时域冲激响应也称系统的频率响应。称为幅频特性，称相频特性。激励的频谱响应的频谱一、周期性信号的稳态响应在频域中第二页，共64页。第二页，共64页。设激励f(t)=ejt式中为h(t)的傅里叶变换，则系统零状态响应为可见，系统的零状态响应yzs(t)是等于激励ejt

乘以加权函数H(j)，此加权函数H(j)即为频域系统函数，亦即为h(t)的傅里叶变换。！第三页，共64页。第三页，共64页。正弦周期激励f(t)=Acos(ω0t)求系统零状态响应y(t)所以第四页，共64页。第四页，共64页。设系统的频率响应为例

若输入信号求系统响应因此系统响应为因为故响应y2(t)=0对于作用于系统时，用叠加定理：作用于系统时解第五页，共64页。第五页，共64页。例

正弦波通过RC电路求系统响应y(t)

幅频特性相频特性系统函数为解带宽B=1/RC

设B=1000rad/s

即τ=RC=0.001第六页，共64页。第六页，共64页。b=[01000];a=[11000];%生成向量b，a[h,w]=freqs(b,a,0:5000);%求系统频响特性h1=abs(h);%求幅频响应h2=angle(h)*180/pi;%求相频响应subplot(211);plot(w,h1);gridxlabel('角频率w(rad/s)');ylabel('幅值H(jw)');subplot(212);plot(w,h2);gridxlabel('角频率w(rad/s)');ylabel('相位(度)');画RC电路频响特性波形图MATLAB源程序为：程序运行结果如图所示。第七页，共64页。第七页，共64页。用MATLAB画出的幅频和相频特性图截止频率第八页，共64页。第八页，共64页。当rad/s时所以，系统响应为

当rad/s时第九页，共64页。第九页，共64页。用MATLAB画出的输入和输出波形第十页，共64页。第十页，共64页。某线性非时变系统的幅频响应|H(j)|和相频响应()如图所示。若激励,求该系统的响应y(t)。()-220-|H(j)|2-220解例第十一页，共64页。第十一页，共64页。该信号通过系统后，其响应的频谱为：傅里叶反变换即可得：因为当|ω|≥2时，|H(jω)|=0；所以|ω|≥2激励的F(jω)中的各项冲激频谱[如δ(ω+2)+δ(ω-2)]被系统|H(jω)|滤掉。第十二页，共64页。第十二页，共64页。非正弦周期信号激励时的响应由于这类计算通常比较烦琐，因此最适合用Matlab来计算。输出信号的频谱为输出信号的响应为第十三页，共64页。第十三页，共64页。例输入信号的频谱为RC电路，若输入信号为周期矩形脉冲波如下图所示。求系统响应。解其中，T1=2，基波频率ω1=2π/T1=π，τ=1因此，有RC电路的频率响应为ω1T1第十四页，共64页。第十四页，共64页。RC电路的频率响应为系统响应为输出信号的频谱为因此第十五页，共64页。第十五页，共64页。RC电路输出的幅度频谱第十六页，共64页。第十六页，共64页。RC电路输出的时域波形

第十七页，共64页。第十七页，共64页。频域分析方法的求解步骤为：1、先求出输入信号的频谱F(j)和频域系统函数H(j)2、由于y(t)=h(t)f(t)，利用连续时间非周期信号的傅里叶变换的时域卷积性质，有

Y(j)=H(j)F(j)3、将Y(j)进行傅里叶反变换就得到y(t)二、非周期信号通过线性系统的零状态响应补充RC电路，若输入信号为矩形脉冲波如图所示。求系统响应。矩形脉冲波第十八页，共64页。第十八页，共64页。输入信号的频谱为解RC电路的系统函数为因此，输出频谱为因为第十九页，共64页。第十九页，共64页。令1/RC=a，可得第二十页，共64页。第二十页，共64页。用Matlab画出的输出信号的频谱如图所示图中画出了带宽的两种情况RC电路输出的幅度频谱第二十一页，共64页。第二十一页，共64页。RC电路输出的时域波形第二十二页，共64页。第二十二页，共64页。由于RC电路的低通特性，高频分量有较大的衰减，故输出波形不能迅速变化。输出波形不再是矩形脉冲信号，而是以指数规律逐渐上升和下降。当带宽增加时，允许更多的高频分量通过，输出波形的上升与下降时间缩短，和输入信号波形相比，失真减小。结论第二十三页，共64页。第二十三页，共64页。在如图所示系统中，f(t)为已知激励

，。例求零状态响应y(t)。即有：H(j)=F[h(t)]=-jsgn()故得：Y(j)=H(j)F(j)=[-jsgn()][-jsgn()]F(j)=-sgn()sgn()F(j)=-F(j)所以：y(t)=-f(t)可见此系统为一反相器。根据对偶性设f(t)F(j)解h(t)h(t)f(t)y(t)第二十四页，共64页。第二十四页，共64页。为起始频率，，1．h=freqs(b,a,w)式中对应于式(3-159)中的向量，对应于式（3-159）中的向量使用形式如为终止频率，为频率取样间隔。向量返回在频率向量上的系统函数样值。，w为频率取值范围，2．[h,w]=freqs(b,a)该调用格式将计算默认频率范围内200个频率点的系统函数样值，并赋值给返回变量h，200个频率点记录在w中。三、MATLAB仿真实现第二十五页，共64页。第二十五页，共64页。4．freqs(b,a)该调用格式并不返回系统函数样值，而是以对数坐标的方式绘出系统的幅频响应和相频响应。3．[h,w]=freqs(b,a,n)该调用格式将计算默认频率范围内200个频率点的系统函数样值，并赋值给返回变量，个频率点记录在w中。试用MATLAB的freqs()函数求解该系统频率响应并绘图。，，右图是常见的用RLC元件构成的某系统电路。设例

RLC二阶低通滤波器电路图第二十六页，共64页。第二十六页，共64页。根据原理图，容易写出系统的频率响应为：式中，将R、L、C的值代入的表达式，得：解第二十七页，共64页。第二十七页，共64页。b=[001];a=[0.080.41];%生成向量b，a[h,w]=freqs(b,a,100);%求系统频响特性h1=abs(h);%求幅频响应h2=angle(h);%求相频响应subplot(211);plot(w,h1);gridxlabel('角频率(w)');ylabel('幅度');title('H(jw)的幅频特性');subplot(212);plot(w,h2*180/pi);gridxlabel('角频率(w)');ylabel('相位(度)');title('H(jw)的相频特性');MATLAB源程序为：程序运行结果如图所示。第二十八页，共64页。第二十八页，共64页。RLC二阶低通滤波器的幅频特性及相频特性第二十九页，共64页。第二十九页，共64页。5.3无失真传输概念无失真传输指输出信号与输入信号只是大小和出现的时间不同，而其波形形状相同。x(t)t系统y(t)tt01K即：y(t)=K

x(t-t0)第三十页，共64页。第三十页，共64页。无失真传输系统的频率响应为：

第三十一页，共64页。第三十一页，共64页。1．幅频特性在整个频率范围内为一常数，即系统的带宽为无穷大；2．相频特性在整个频率范围内为一通过原点的直线，其斜率为。可看出,无失真传输系统在频域应满足的条件为：第三十二页，共64页。第三十二页，共64页。失真分类若系统输出响应中出现有输入激励信号中所没有的新频率分量，则称之为非线性失真。非线性失真线性失真仅让信号的幅度和相位发生了失真。在线性失真中响应信号中不会出现激励信号中所没有的新频率成分。

线性失真（1）幅度失真：系统对信号中各频率分量的幅度产生不同程度的衰减，引起幅度失真。（2）相位失真：系统对各频率分量产生的相移不与频率成正比，造成各频率分量在时间轴上的相对位置变化，引起相位失真。线性信号失真的原因：

第三十三页，共64页。第三十三页，共64页。5.4理想低通滤波器理想滤波器指信号的部分频率分量可无失真的完全通过，而另一部分频率分量则完全通不过。理想低通滤波器的频率响应即将频率低于的信号无失真的传送，而将频率高于的信号完全阻止。

第三十四页，共64页。第三十四页，共64页。滤波器的截止频率理想低通滤波器的频率响应为使信号通过的频率范围。通带阻止信号通过的频率范围。

阻带|H(jω)|t通带阻带第三十五页，共64页。第三十五页，共64页。1.理想低通滤波器的冲激响应为0理想低通滤波器第三十六页，共64页。第三十六页，共64页。由图可见，冲激信号经过理想低通滤波器后，波形发生了严重的失真，这是由于冲激信号的频谱为白色谱，即它的频带宽度为无限宽。即只有冲激函数的低频分量通过了滤波器，故导致波形发生了严重的失真。！欲使h(t)不失真，理想低通滤波器的带宽必须为无限宽，即应满足无失真传输的条件。理想低通滤波器为一非因果系统，实际中是不可实现的，但在分析和设计滤波器时仍具有理论指导意义。第三十七页，共64页。第三十七页，共64页。2.理想低通滤波器的阶跃响应为0第三十八页，共64页。第三十八页，共64页。阶跃响应的上升时间与理想低通滤波器的截止频率ωc【带宽B=ωc/2π（Hz）】成反比；阶跃信号通过理想低通滤波器后，上升沿变缓，带宽越宽，上升时间越短，上升沿变化越陡峭。

！1Otr(t)trt0tO阶跃响应波形为

理想低通滤波器第三十九页，共64页。第三十九页，共64页。补充：模拟滤波器一、巴特沃思低通滤波器的幅频特性1.巴特沃思低通滤波器幅频特性（最平响应特性滤波器）指对于低通滤波器在时，其幅频特性,幅频特性曲线的各阶导数为零，即在原点曲线是最平坦的，并不是指在整个通带内是平的，没有波动。指对于低通滤波器在时，其幅频特性,幅频特性曲线的各阶导数为零，即在原点曲线是最平坦的，并不是指在整个通带内是平的，没有波动。巴特沃思低通滤波器的幅频特性的平方为第四十页，共64页。第四十页，共64页。滤波器的半功率点

ω1ωco0.5n=2n=5n=4|Ha(jω)|当N取值越大，幅频特性在通带内就越平坦，过渡带就越陡峭，衰减得就越快，其特性越接近理想的低通滤波器，滤波器的实现也就越复杂。

不同阶次的巴特沃思低通滤波器的幅频特性：

滤波器的阶数！第四十一页，共64页。第四十一页，共64页。2.巴特沃思低通滤波器系统函数和极点分布由于系统是稳定系统，则系统函数满足：由上式可求出的2N个极点，即 因为

，k=1，2，3，…，2N

第四十二页，共64页。第四十二页，共64页。N=3，4时，极点在s平面的分布情况：径为的圆周上，且以原点为对称中心，成对出现，其中有N个为的极点，另外N个为的极点。的2N个极点以

为间隔，均匀地分布在半第四十三页，共64页。第四十三页，共64页。由的极点，就可写出的表达式。如当N=2时，为根据确定K=，因此二阶巴特沃思低通滤波器的系统函数为

令，对进行频率归一化处理得：第四十四页，共64页。第四十四页，共64页。3.巴特沃思低通滤波器的设计理想滤波器从通带到阻带的变换是阶跃性的，即理想滤波器的过渡带为零。实际滤波器的幅频特性和理想滤波器是有一定偏差的，允许的最大偏差称之为容限。典型的低通滤波器的幅频特性：通带截止频率阻带下限频率

第四十五页，共64页。第四十五页，共64页。要设计一个模拟滤波器，实际上就是要找一个系统函数来逼近理想滤波器，使之满足技术指标和容限图。低通滤波器的主要技术指标一般有：

（1）通带截止频率（2）通带最大衰减（3）阻带下限频率（4）阻带最小衰减频率归一化选定某一频率为基准频率，将实际频率除以基准频率，所得的比值称为归一化频率。

因各滤波器的工作频率不同，为设计简便，常将实际频率进行归一化。

！第四十六页，共64页。第四十六页，共64页。技术指标为fp＝2KHz，Ap＝3dB，fs＝4KHz，As≥30dB。设计一巴特沃思低通滤波器。（3）由N＝5，得归一化系统函数为（1）归一化频率：

（2）根据，As≥30dB，查图可知，5阶系统满足阻带衰减要求，即N＝5例解第四十七页，共64页。第四十七页，共64页。（4）以代入上式化简得第四十八页，共64页。第四十八页，共64页。二、切贝雪夫低通滤波器切贝雪夫Ⅰ型低通滤波器的幅频特性的平方为式中，为决定等波动起伏幅度的常数；N为滤波器的阶数；为N阶切贝雪夫多项式。（1）定义切贝雪夫Ⅰ型低通滤波器的幅频特性第四十九页，共64页。第四十九页，共64页。（2）切贝雪夫多项式满足的递推关系（当时）

第五十页，共64页。第五十页，共64页。1～4阶切贝雪夫多项式的曲线如下图：第五十一页，共64页。第五十一页，共64页。（3）不同阶次切贝雪夫Ⅰ型低通滤波器的幅频特性曲线N=3和N=5N=4和N=6第五十二页，共64页。第五十二页，共64页。由图可以看出：（1）当时，在1与之间等幅波动，越小，波动幅度越小；（2）在过渡带和阻带即时，幅频特性曲线单调下降，且N和的值越大，衰减得越快；（3）N为奇数时，N为偶数时；（4）无论N为何值，当时，。！第五十三页，共64页。第五十三页，共64页。2.切贝雪夫低通滤波器的传递函数和极点分布令

得极点为

式中

其传递函数为第五十四页，共64页。第五十四页，共64页。令

代入上式得：

设

短轴长轴

结论切贝雪夫低通滤波器的极点，是一组分布在

以为长轴，以为短轴的椭椭圆上的点。

第五十五页，共64页。第五十五页，共64页。归一化系统函数的分母多项式取位于左半平面的N个极点，即可得到系统函数为：设

，对进行归一化，得

式中

根据通带波纹ε和阶数N，的系数已被制成表格以供设计滤波器时查阅。！第五十六页，共64页。第五十六页，共64页。3．切贝雪夫低通滤波器的设计解:

设计一个切贝雪夫型模拟低通滤波器。通带边界频率，通带波动衰减，在阻带的最小衰减，求其阶数N和系统函数。例第五十七页，共64页。第五十七页，共64页。取由通带波纹衰减和N=6，查表得：其归一化传递函数为第五十八页，共64页。第五十八页，共64页。

令，可得所求滤波器的传递函数为式中4．利用MATLAB设计切贝雪夫模拟低通滤波器阻带边界频率通带衰减参数阻带衰减参数模拟滤波器通带边界频率（1）[n,wn]=cheb1ord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s‘)最小阶数截止频率第五十九页，共64页。第五十九页，共64页。（2）[z,p,k]=cheblap(n)

切贝雪夫低通滤波器原型设计函数，p，z，k分别为滤波器的极点，零点和增益，n为滤波器的阶数。（3）[b,a]=cheby1(n,Rp,wn,’s’)

切贝雪夫通滤波器设计函数，Rp，n，Wn分别滤波器的通带波纹，最小阶数和截止频率，’s’表示模拟滤波器，a，b分别为滤波器的传递函数分子和分母多项式向量。

第六