2023年高考最后一轮复习微专题22 计数原理与概率统计压轴小题（原卷版）

微专题22计数原理与概率统计压轴小题【典型例题】例1．（2023·全国·高三专题练习）现实世界中的很多随机变量遵循正态分布.例如反复测量某一个物理量，其测量误差通常被认为服从正态分布.若某物理量做n次测量，最后结果的误差，则为使的概率控制在0.0456以下，至少要测量的次数为（

）A．32 B．64 C．128 D．256例2．（2023·上海·高三专题练习）若，则（

）A．244 B．243C．242 D．241例3．（2023·上海·高三专题练习）信息熵是信息论中的一个重要概念．设随机变量X所有可能的取值为1，2，…，n，且，定义X的信息熵．命题1：若，则随着n的增大而增大；命题2：若，随机变量Y所有可能的取值为1，2，…，m，且，则．则以下结论正确的是（

）A．命题1正确，命题2错误 B．命题1错误，命题2正确C．两个命题都错误 D．两个命题都正确例4．（2023·全国·高三专题练习）足球运动被誉为“世界第一运动”．深受青少年的喜爱．为推广足球运动，某学校成立了足球社团，社团中的甲、乙、丙三名成员将进行传球训练，从甲开始随机地球传给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第次触球者是甲的概率为，即．则下列说法正确的个数是（

）（1）；（2）；（3）；（4）．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个例5．（2023·上海·高三专题练习）用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），在任意相邻两个数字的奇偶性不同的条件下，1和2相邻的概率是（

）A． B． C． D．例6．（2023·全国·高三专题练习）如图，用五种不同的颜色给图中的O，A，B，C，D，E六个点涂色（五种颜色不一定用完），要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂法种数是（

）A．480 B．720 C．1080 D．1200例7．（2023·上海·高三专题练习）甲乙丙三人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人．则n次传球后球在甲手中的概率______．例8．（2023·全国·高三专题练习）(1)若数列的通项公式为，则该数列中的最小项的值为__________．(2)若的展开式中含有常数项，则n的最小值等于__________．(3)如图所示的数阵中，用表示第m行的第n个数，则以此规律为__________．(4)的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.已知，且，有下列结论：①；②；③，时，的面积为；④当时，为钝角三角形．其中正确的是__________填写所有正确结论的编号例9．（2023·全国·高三专题练习）如图，将一个大等边三角形分成三个全等三角形与中间的一个小等边三角形，设.若在大等边三角形内任取一点P，则该点取自小等边三角形内的概率为___________.例10．（2023·全国·高三专题练习）设整数数列，，…，满足，，且，，则这样的数列的个数为___________.例11．（2023·全国·高三专题练习）若一个三位数的各位数字之和为10，则称这个三位数“十全十美数”，如208，136都是“十全十美数”，现从所有三位数中任取一个数，则这个数恰为“十全十美数”的概率是____________例12．（2023·全国·高三专题练习）如图，用四种不同颜色给图中的A，B，C，D，E，F，G，H八个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段上的点颜色不同，则不同的涂色方法有___________种.【过关测试】一、单选题1．（2023·河北·河北衡水中学校考模拟预测）过正态分布曲线上非顶点的一点作切线，若切线与曲线仅有一个交点，则（

）A． B． C． D．2．（2023·全国·高三专题练习）小林同学喜欢吃4种坚果：核桃､腰果､杏仁､榛子，他有5种颜色的“每日坚果”袋.每个袋子中至少装1种坚果，至多装4种坚果.小林同学希望五个袋子中所装坚果种类各不相同，且每一种坚果在袋子中出现的总次数均为偶数，那么不同的方案数为（

）A．20160 B．20220 C．20280 D．203403．（2023·全国·高三专题练习）根据气象学上的标准，连续5天的日平均气温低于即为入冬，将连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是自然数）作为一组样本，现有4组样本①、②、③、④，依次计算得到结果如下：①平均数；②平均数且极差小于或等于3；③平均数且标准差；④众数等于5且极差小于或等于4．则4组样本中一定符合入冬指标的共有（

）A．1组 B．2组 C．3组 D．4组4．（2023·全国·高三专题练习）已知的展开式中各项系数和为4，则的系数为（

）A．16 B．8 C．0 D．5．（2023·全国·高三专题练习）如图，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或右上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如1→3→4→5→6→7就是一条移动路线，则从数字“1”到“7”，漏掉两个数字的移动路线条数为（

）A．5 B．6 C．7 D．86．（2023·全国·高三专题练习）由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数，从中任意抽取一个，则其恰好为“前3个数字保持递减，后3个数字保持递增”（如五位数“43125”，前3个数字“431”保持递减，后3个数字“125”保持递增）的概率是（

）A． B． C． D．7．（2023·全国·高三专题练习）已知数列{an}满足a1＝0，且对任意n∈N*，an+1等概率地取an+1或an﹣1，设an的值为随机变量ξn，则（）A．P（ξ3＝2）＝ B．E（ξ3）＝1C．P（ξ5＝0）＜P（ξ5＝2） D．P（ξ5＝0）＜P（ξ3＝0）8．（2023·全国·高三专题练习）设函数，若是从三个数中任取一个，是从五个数中任取一个，那么恒成立的概率是（

）A． B． C． D．9．（2023·全国·高三专题练习）已知，则（

）A． B．C． D．10．（2023·全国·高三专题练习）已知，且，记随机变量为x，y，z中的最大值，则（

）A． B．C．5 D．二、多选题11．（2023秋·江苏苏州·高三统考期末）中国蹴鞠已有两千三百多年的历史，于2004年被国际足联正式确认为世界足球运动的起源．蹴鞠在2022年卡塔尔世界杯上再次成为文化交流的媒介，走到世界舞台的中央，诉说中国传统非遗故事．为弘扬中华传统文化，我市四所高中各自组建了蹴鞠队（分别记为“甲队”“乙队”“丙队”“丁队”）进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次（积分多者名次靠前，积分同者名次并列），积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，则在比赛结束时（

）A．四支球队的积分总和可能为15分B．甲队胜3场且乙队胜1场的概率为C．可能会出现三支球队积分相同且和第四支球队积分不同的情况D．丙队在输了第一场的情况下，其积分仍超过其余三支球队的积分的概率为12．（2023秋·江苏无锡·高三统考期末）甲箱中有4个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有3个红球，3个白球和3个黑球，先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以，和表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B表示由乙箱取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（

）A．事件B与事件相互独立 B．C． D．13．（2023秋·辽宁·高三校联考期末）将1，2，3，4，5，6，7这七个数随机地排成一个数列，记第i项为，则下列说法正确的是（

）A．若，则这样的数列共有360个B．若所有的奇数不相邻，所有的偶数也不相邻，则这样的数列共有288个C．若该数列恰好先减后增，则这样的数列共有50个D．若，则这样的数列共有71个14．（2023·广东肇庆·统考二模）随着春节的临近，小王和小张等4位同学准备互相送祝福.他们每人写了一个祝福的贺卡，这四张贺卡收齐后让每人从中随机抽取一张作为收到的新春祝福，则（

）A．小王和小张恰好互换了贺卡的概率为B．已知小王抽到的是小张写的贺卡的条件下，小张抽到小王写的贺卡的概率为C．恰有一个人抽到自己写的贺卡的概率为D．每个人抽到的贺卡都不是自己写的概率为15．（2023·全国·高三专题练习）对于伯努利数，有定义：.则（

）A． B．C． D．16．（2023·全国·高三专题练习）学校食坣每天中都会提供两种套餐供学生选择（学生只能选择其中的一种），经过统计分析发现：学生第一天选择套餐的概率为，选择套餐的概率为.而前一天选择了套餐的学生第二天诜择套餐的概率为，选择套餐的概率为；前一天选择套餐的学生第一天选择套餐的概率为，选择套餐的概率也是，如此往复.记某同学第天选择套餐的概率为，选择套餐的概率为.一个月（30天）后，记甲､乙､丙3位同学选择套餐的人数为，则下列说法正确的是（

）A． B．数列是等比数列C． D．17．（2023·全国·高三专题练习）已知某商场销售一种商品的单件销售利润为，a，2，根据以往销售经验可得，随机变量X的分布列为X0a2Pb其中结论正确的是（

）A．B．若该商场销售该商品5件，其中3件销售利润为0的概率为C．D．当最小时，18．（2023·山西大同·大同市实验中学校考模拟预测）如图，已知正方体顶点处有一质点Q，点Q每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同．从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次．若质点Q的初始位置位于点A处，记点Q移动n次后仍在底面ABCD上的概率为，则下列说法正确的是（

）A．B．C．点Q移动4次后恰好位于点的概率为0D．点Q移动10次后仍在底面ABCD上的概率为三、填空题19．（2023·上海·高三专题练习）现有n（，）个相同的袋子，里面均装有n个除颜色外其他无区别的小球，第k（，2，3，…，n）个袋中有k个红球，个白球.现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出三个球（每个取后不放回），若第三次取出的球为白球的概率是，则___________.20．（2023秋·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）现有一款闯关游戏，共有4关，规则如下：在第关要抛掷骰子次，每次观察向上面的点数并做记录，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于，则算闯过第关，，2，3，4．假定每次闯关互不影响，则下列结论错误的序号是______．（1）直接挑战第2关并过关的概率为；（2）连续挑战前两关并过关的概率为；（3）若直接挑战第3关，设A＝“三个点数之和等于15”，B＝“至少出现一个5点”，则；（4）若直接挑战第4关，则过关的概率是．21．（2023·全国·高三专题练习）设项数为的数列满足：，且对任意，，都有，则这样的数列共有_____个.22．（2023·全国·高三专题练习）将一枚均匀的硬币连续抛掷n次，以表示没有出现连续3次正面的概率.给出下列四个结论：①；②；③当时，；④.其中，所有正确结论的序号是__________.23．（2023·全国·高三专题练习）在曲线上及其内部随机取一点，则该点取自圆上及其内部的概率为______．24．（2023·全国·高三专题练习）