圆锥曲线专题复习第十三讲：图形问题1（解析版）

第十三讲：图形问题1【学习目标】基础目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的简单性质，特殊三角形的性质；应用目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线中三角形的几何特征，以及几何特征的代数转换；拓展目标：能够熟练应用等腰三角形，等边三角形三线合一垂直的应用，直角三角形，角度的向量表示.素养目标：通过数形结合，转化与化归等思想方法，培养独立思考和逻辑分析能力，提升学生的数学运算和数学抽象的核心素养.【基础知识】1、等腰三角形取底边中点，利用中线与底边垂直，从几何特征转化为代数计算（三线合一）2、等边三角形取其中一边中点，利用中线与这条边垂直，从几何特征转化为代数计算（三线合一）3、直角三角形邻边垂直，利用向量进行代数的计算，即向量的数量积为（斜率相乘等于）【考点剖析】考点一：等腰三角形例1．已知椭圆的离心率为，右焦点为.(1)求椭圆的方程；(2)斜率为1的直线与椭圆交于两点，以为底边作等腰三角形，顶点为.求直线的方程.【答案】(1)；(2)解析：（1）由已知得，而，解得，所以，故椭圆的方程为．（2）设直线的方程为，由得设、的坐标分别为，，中点为，则，，因为是等腰的底边，所以．所以的斜率为，解得，即，所以直线的方程为，即．变式训练1：已知椭圆的离心率为，右焦点为,斜率为1的直线与椭圆交于两点，以为底边作等腰三角形，顶点为.（1）求椭圆的方程；（2）求的面积.【答案】（1）；（2）解析：（1）由已知得，，解得，又，所以椭圆的方程为．（2）设直线的方程为，由得，①设、的坐标分别为，（），中点为，则，，因为是等腰△的底边，所以．所以的斜率为，解得，此时方程①为．解得，，所以，，所以，此时，点到直线：的距离，所以△的面积．变式训练2：已知点在椭圆上，椭圆的离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)设，，，是椭圆上一点，且不与顶点重合，若直线与直线交于点，直线与直线交于点.证明：是等腰三角形.【答案】(1)；(2)证明见解析解析：（1）根据题意可得，所以，所以椭圆方程为；（2）证明：由（1）可得，，直线的方程为，直线的方程为，设直线的方程为：，由，可得：，由，所以，即，，，所以直线的方程为，由得，由得，又的中点的坐标为，所以轴，的中线，所以是等腰三角形.变式训练3：圆：与轴的两个交点分别为，，点为圆上一动点，过作轴的垂线，垂足为，点满足(1)求点的轨迹方程；(2)设点的轨迹为曲线，直线交于，两点，直线与交于点，试问：是否存在一个定点，当变化时，为等腰三角形【答案】(1)；(2)存在，证明见解析解析：（1）设点在圆上，故有，设，又，可得，，即，代入可得，化简得：，故点的轨迹方程为：.（2）根据题意，可设直线的方程为，取，可得，，可得直线的方程为，直线的方程为联立方程组，可得交点为；若，，由对称性可知交点，若点在同一直线上，则直线只能为：上，以下证明：对任意的，直线与直线的交点均在直线：上.由，整理得设，，则，设与交于点，由，可得设与交于点，由，可得，因为，因为，即与重合，所以当变化时，点均在直线：上，因为，，所以要使恒为等腰三角形，只需要为线段的垂直平分线即可，根据对称性知，点.故存在定点满足条件.考点二：等边三角形例1．已知椭圆C：（）的右顶点为，且为其上一点.(1)求椭圆C的方程及离心率；(2)B是椭圆C上异于左右顶点的一点，线段的中垂线交y轴于点D，且为等边三角形，求B点横坐标.【答案】(1)，；(2)B点横坐标.解析：（1）由题设，，又在椭圆上，则，可得，所以椭圆C的方程，故离心率为.（2）令且，则中点为，中垂线斜率，故线段的中垂线为，故，又为等边三角形，即，所以，且，整理得，而或（舍），所以，即，当时，，经验证为等边三角形，满足题设；当时，，经验证为等边三角形，满足题设；所以横坐标为.变式训练1：已知椭圆：（）过点，过右焦点且垂直于x轴的直线交椭圆C于、两点，且，为坐标原点．(1)求椭圆C的方程；(2)若过原点的直线与椭圆C交于、两点，且在直线：上存在点，使得为等边三角形，求直线的方程．【答案】(1):；(2)或解析：(1)∵椭圆过点，∴∵，轴且与椭圆相交于、两点，则直线的方程为，联立，解得，则，又∵，∴，∴，所以椭圆的方程为．(2)由题意，当的斜率不存在时，，此时的中垂线交于点，不满足条件．当的斜率时，此时，直线与轴的交点满足题意；当的斜率时，设直线，与椭圆联立得，，设，则，∴，，∴，又的垂直平分线方程为，由，解得，∴，∴，∵为等边三角形，∴，即，解得（舍去），，∴直线的方程为综上可知，直线的方程为或．变式训练2：已知椭圆的左顶点A与上顶点B的距离为.(1)求椭圆C的方程和焦点的坐标；(2)点P在椭圆C上，且P点不在x轴上，线段的垂直平分线与y轴相交于点Q，若为等边三角形，求点的P横坐标.【答案】(1)椭圆方程为，焦点坐标为；:(2)．解析：(1)由题意左顶点A与上顶点B的距离为，解得，所以，椭圆方程为，焦点坐标为；(2)由已知，设方程为，，代入椭圆方程并整理得：，由是此方程的一个解得，所以，的中点坐标为，的垂直平分线方程为，令得，为等边三角形，则，所以，解得，所以．变式训练3：已知分别是椭圆的左､右焦点，点是椭圆上的一点，且的面积为1.(1)求椭圆的短轴长；(2)过原点的直线与椭圆交于两点，点是椭圆上的一点，若为等边三角形，求的取值范围.【答案】(1)2；(2)解析：(1)因为，所以，又因为，所以，，所以，则椭圆的短轴长为2.(2)若为等边三角形，应有，即.当直线的斜率不存在时，直线的方程为，且，此时若为等边三角形，则点应为长轴顶点，且，即.当直线的斜率为0时，直线的方程为，且，此时若为等边二角形，则点应为短轴顶点，此时,不为等边三角形.当直线的斜率存在且不为0时，设其方程为，则直线的方程为.由得,同理.因为，所以，解得.因为，所以，则，即.综上，的取值范围是.考点三：直角三角形例1．已知椭圆C：（）的左，右焦点分别为，，上，下顶点分别为A，B，四边形的面积和周长分别为2和.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l：（）与椭圆C交于E，F两点，线段EF的中垂线交y轴于M点，且为直角三角形，求直线l的方程.【答案】(1)(2)或解析：（1）由题意知，解得故椭圆的方程为（2）设联立，整理得由韦达定理得，，，所以线段EF的中垂线方程为，令，解得，，，又为直角三角形，且，，即所以直线l的方程或变式训练1：设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于、两点，过作的平行线交于点，记点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程；(2)过坐标原点的直线交曲线于、两点，点在第一象限，轴，垂足为，连接并延长交曲线于点.证明：是直角三角形.【答案】(1)(2)证明见解析解析：(1)圆的标准方程为，圆心为，半径为，因为，则，即，因为，所以，，故，由题意可知，点不在轴上，故点的轨迹是以点、为焦点且去掉长轴顶点的椭圆，且，得，，得，则，故点的轨迹方程为.(2)证明：设点，其中、，则、，设点，因为点、都在曲线上，则，两式作差得，所以，，则，，，因为、、三点共线，则，即，则，故，因此，为直角三角形.变式训练2：已知椭圆E：的离心率为，P为椭圆E上一点，Q为圆上一点，的最大值为3（P，Q异于椭圆E的上下顶点）.(1)求椭圆E的方程；(2)A为椭圆E的下顶点，直线AP，AQ的科率分别记为，，且，求证：APQ为直角三角形.【答案】(1)(2)证明见解析解析：(1)因为，∴，∵，∴|PQ|的最大值为，即，又，∴，解得，，∴椭圆E的方程为；(2)直线，联立方程组，消去y得，则，.即，直线AQ：，联立方程组，消去y得，则，，即，，∴，即，∴APQ为直角三角形.变式训练3：已知点A(-2，0)，B(2，0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为．记M的轨迹为曲线C．(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连接QE并延长交C于点G．证明△PQG是直角三角形．【答案】(1)=1(|x|≠2)；C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点(2)证明见解析解析：(1)由题设得·=，化简得=1(|x|≠2)，所以C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点．(2)设直线PQ的斜率为k，则其方程为y=kx(k>0)．由得x=±．记u=，则P(u，uk)，Q(-u，-uk)，E(u，0)．于是直线QG的斜率为，方程为y=(x-u)．由得(2+k2)x2-2uk2x+k2u2-8=0．①设G(xG，yG)，则-u和xG是方程①的解，故xG=，由此得yG=．从而直线PG的斜率为．所以PQ⊥PG，即△PQG是直角三角形．【当堂小结】1、知识清单：（1）椭圆，双曲线，抛物线简单性质；（2）椭圆中的图形，等腰三角形，等边三角形，直角三角形的翻译；2、易错点：圆锥曲线性质的简单计算，特殊图形的翻译；3、考查方法：数形结合思想，数与形的转化；4、核心素养：数学运算，数学抽象.【过关检测】1．已知椭圆的一个顶点为，且离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)直线与椭圆交于两点，且，求的值.【答案】(1)；(2)解析：(1)设椭圆的半焦距为.由题意得解得.所以椭圆的方程为.(2)由得.由，解得.设，，则.设线段的中点为，则，.“”等价于“”.所以.解得，符合题意.所以.2．已知抛物线的准线方程为．(1)求C的方程；(2)直线与C交于A，B两点，在C上是否存在点Q，使得直线QA，QB分别与y轴交于M，N两点，且？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1)；(2)见解析解析：(1)(2)设，联立，得由，得，假设C上存在点Q，使得直，则又即存在点满足条件.3．已知椭圆的右焦点为，，为上不同的两点，且，．(1)证明：，，成等差数列；(2)试问：轴上是否存在一点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析；(2)存在，解析：(1)当直线斜率不存在时，．不如令，，则，．∴，，，∴，，成等差数列；当直线的斜率存在时，设．由得，∴．∵，，∴，∴，，成等差数列．(2)当直线的斜率存在时设，的中点为．∵，∴．∵∴∴，∴，即，∴．由（1）知，∴，∴，∴，∴存在点，使得．当直线的斜率不存在时，显然点，满足．故总是存在点，使得．4．已知椭圆，左焦点为，上顶点为，直线BF与椭圆交于另一点Q，且，且点在椭圆上.(1)求椭圆C的方程；(2)设，，M是椭圆C上一点，且不与顶点重合，若直线与直线交于点P，直线与直线交于点.证明：是等腰三角形.【答案】(1)；(2)证明见解析解析：（1）因为，，，故，故，所以即，而在椭圆上，故，故，解得，所以，故椭圆方程为：.（2）设，，故，而，由可得，同理.,因为在椭圆上，故，故即，而所以，故是等腰三角形.5．在平面直角坐标系中，，，，，点P是平面内的动点.若以为直径的圆O与以为直径的圆T内切.(1)证明：为定值，并求点P的轨迹E的方程；(2)设斜率为的直线l与曲线E相交于C、D两点，问在E上是否存在一点Q，使直线、与y轴所围成的三角形是底边在y轴上的等腰三角形？若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，说明理由.【答案】(1)证明见解析，；(2)存在，解析：(1)依题意有，连结，由点O和T分别是和的中点知，故有，即又，所以点P的轨迹是以M，N为焦点的椭圆因为，，所以，故点P的轨迹E的方程为(2)假设存在满足条件的点Q，依题意知，设，，，则，由得，，设l的方程为，代入椭圆方程得，.由得，，由韦达定理得，，，又，，所以所以故有，解得，显然满足所以在E上存在一点Q，使直线、与y轴所围成的三角形是以点Q为顶角的等腰三角形，此时点Q的横坐标为6．已知椭圆C：（）经过，，，，五个点中的三个．(1)求椭圆C的方程．(2)直线l与椭圆C交于P，Q两点，且与圆O：相切，证明：为直角三角形．【答案】(1)(2)证明见解析解析(1)由椭圆的对称性可得点，都在椭圆上或都不在椭圆上，，最多有1个点在椭圆上，，最多有1个点在椭圆上，因为椭圆经过，，，，五个点中的三个，所以，都在椭圆上，不在椭圆上，因为，，所以不在椭圆上，在椭圆上，所以，，所以．所以椭圆的方程为．(2)证明：当直线的斜率不存在时，的方程为．当时，，，所以，所以；当时，同理得．当直线的斜率存在时，设其方程为，设，，因为直线与圆相切，所以，即．由得，，所以，所以．综上所述，所以，所以为直角三角形．7．已知抛物线的焦点，点在抛物线上.(1)求；(2)过点向轴作垂线，垂足为，过点的直线与抛物线交于两点，证明：为直角三角形（为坐标原点）.【答案】(1)(2)证明见解析解析：(1)点在抛物线上.，则，所以.(2)证明：由题，设直线的方程为：，点联立方程，消得：，由韦达定理有，由，所以，所以，所以，所以为直角三角形.8．已知椭圆的两焦点，的坐标分别为和，点在椭圆上．(1)求椭圆的标准方程．(2)过坐标原点的直线交椭圆于，两点，点在第一象限，轴，垂足为，连接并延长交于点．①证明：是直角三角形：②求面积的最大值．【答案】(1)(2)①证明见解析；②解析：(1)由题意，，，所以，所以椭圆的方程为：.(2)①：设直线PQ的斜率为k.则其方程为，由，得，记，则，，，于是直线QG的斜率为，方程为，由得，设，则和是方程的解，故，由此得，从而直线PG的斜率为，所以，即是直角三角形.②：由①得，，所以的面积，又，所以，设，则由得，当且仅当时取等号，因为，而在单调递增，所以当，即时，S取得最大值，最大值为.因此，面积的最大值为.9．已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在抛物线上，且．(1)求抛物线的标准方程．(2)若过点的直线与抛物线交于，两点，点在的准线上，则是否存在点及直线，使得为等边三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在，解析：(1)如图，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，则，．因为，所以，所以，即，又，所以，解得，所以抛物线的标准方程为．(2)假设存在点及直线，使得为等边三角形．①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，代入抛物线方程得，不妨令，，则，此时，，不符合题意．②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，点，的坐标分别为，，将直线的方程与抛物线方程联立，得，化简得，所以，，故线段的中点为，设，连接，因为，所以，即，则，，若为等边三角形，则，即，即，解得，所以，所以存在点及直线，使得为等边三角形，且点的坐标为10．已知抛物线的焦点为F，抛物线H上的一点M的横坐标为5，为坐标原点，．(1)求抛物线H的方程；(2)若一直线经过抛物线H的焦点F，与抛物线H交于A，B两点，点C为直线上的动点．①求证：．②是否存在这样的点C，使得△ABC为正三角形?若存在，求点C的坐标；若不存在，说明理由，【答案】(1)抛物线H的方程为；(2)证明见解析；存在点，使得为正三角形，理由见解析.解析：(1)因为抛物线的方程为，M抛物线上且的横坐标为5，所以M的纵坐标为，当点的坐标为时，过点作，垂足为,因为，所以，所以又，所以，所以，所以，又所以，同理当点的坐标为时，所以抛物线的方程为；(2)①设直线，,由，得，则.，，所以，所以②假设存在这样的点，设的中点为，由①知;，则，则，则，而，由得，，所以存在点.11．已知椭圆：的离心率为，且短轴长等于双曲线：的实轴长.(1)求椭圆的标准方程；(2)若，为椭圆上关于原点对称的两点，在圆：上存在点，使得为等边三角形，求直线的方程.【答案】(1)(2)解析：(1)依题意有，解得，.∴椭圆的标准方程为(2)∵点在圆：上，∴又∵为等边三角形，且为线段的中点，∴，①当直线的斜率不存在时，，为椭圆的上下顶点，∴，不符合题意；②当直线的斜率存在时，设，直线的方程为联立解得，∴，解得∴直线的方程为：12．设圆的圆心为，点与点关于原点对称，P是圆上任意一点，线段的垂直平分线交线段于点M，记点M的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)已知点，曲线C上是否存在点B，使得在y轴上能找到一点D满足为等边三角形？若存在，求出所有点B的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在，、、解析：(1)由题意得，，圆的半径为4，点与点关于原点对称，∴，线段的垂直平分线交线段于点M，∴，∴，又，∴的轨迹是以、为焦点的椭圆，其中长轴，焦距，故短半轴，∴曲线C的方程为；(2)当AB的斜率为0时，点B的坐标为，点D的坐标为或，满足题意，当AB的斜率不为0时，设，，线段AB的中点为Q，，∴，直线