2023年复旦大学高考冲刺数学模拟试题含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设。={一1,0,1,2},集合A={xlf<l,xeU},则QA=（）

A.{0,1,2}B.{-1,1,2}C.{-1,0,2}D.{-1,0,1)

1

2.下列与函数y=正定义域和单调性都相同的函数是（）

y=logg),1

A.y=2*B.2

C.=10g2-

X

3.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（）

C.321D.36%

4.《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题：“今有勾六步，股八步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已

知直角三角形两直角边长分别为6步和8步，问其内切圆的直径为多少步？”现从该三角形内随机取一点，则此点取自

内切圆的概率是（）

7171TI71

A.—B.—C.—D.一

12369

5.设全集U=R,集合M={X|X2<4N={X|2"V1},则Mn2N=（）

A.[0,1]B.（0,1]C.[0,1）D.（-oo,l]

6.点0在A4BC所在的平面内，曲|=|砺|=|无I，|雨=2,|就]=1,而=4通+〃沅（Zz/eR）,且

44-4=2(4/0),贝喈=()

A.-B.立C.7D.J7

32

x-y+\>0

7.如果实数X、y满足条件｛y+l>0,那么2x-y的最大值为（）

x+y+l<0

A.2B.1C.-2D.-3

8.阿波罗尼斯（约公元前262~190年）证明过这样的命题：平面内到两定点距离之比为常数％（%>0欢/1）的点的轨

迹是圆.后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A,3间的距离为2,动点P与A,3的距离之比为之，当P,A,

2

3不共线时，A7%3的面积的最大值是（）

A.272B.近C.D.叵

33

9.已知双曲线。:1-二=1（。>0）的一个焦点与抛物线/=8丫的焦点重合，则双曲线。的离心率为（）

a3

A.2B.5/3C.3D.4

r2y24

10.已知双曲线C：__2_=1（«>0,。>0）的右焦点为F,过原点O作斜率为一的直线交C的右支于点A,若|（M|=|OF|,

ab'3

则双曲线的离心率为（）

A.百B.75C.2D.G+1

11.以下两个图表是2019年初的4个月我国四大城市的居民消费价格指数（上一年同月=100）变化图表，则以下说

图表一图表

（注：图表一每个城市的条形图从左到右依次是1、2、3、4月份；图表二每个月份的条形图从左到右四个城市依次是

北京、天津、上海、重庆）

A.3月份四个城市之间的居民消费价格指数与其它月份相比增长幅度较为平均

B.4月份仅有三个城市居民消费价格指数超过102

C.四个月的数据显示北京市的居民消费价格指数增长幅度波动较小

D.仅有天津市从年初开始居民消费价格指数的增长呈上升趋势

12.某高中高三（1）班为了冲刺高考，营造良好的学习氛围，向班内同学征集书法作品贴在班内墙壁上，小王，小董,

小李各写了一幅书法作品，分别是：“入班即静”，“天道酬勤”，“细节决定成败”，为了弄清“天道酬勤”这一作品是谁

写的，班主任对三人进行了问话，得到回复如下：

小王说：“入班即静”是我写的；

小董说：“天道酬勤”不是小王写的，就是我写的；

小李说：“细节决定成败”不是我写的.

若三人的说法有且仅有一人是正确的，贝!1“入班即静”的书写者是（）

A.小王或小李B.小王C.小董D.小李

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

5

13.已知实数。#（）,对任意xeR,有（1一℃丫=/++…'I-a5x,且44+4=0,贝!]

+4+生+,•■+%=-

14.安排4名男生和4名女生参与完成3项工作，每人参与一项，每项工作至少由1名男生和1名女生完成，则不同的

安排方式共有种（用数字作答）.

15.设定义域为R的函数“X）满足/'（X）＞"X）,则不等式＜/（2x-l）的解集为.

22

16.若双曲线。：・一4=1（。＞0/＞0）的离心率为5/而，则双曲线。的渐近线方程为.

a~b'

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）心形线是由一个圆上的一个定点，当该圆在绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上滚动时，这个定

点的轨迹，因其形状像心形而得名，在极坐标系Qx中，方程Q=a（l-sin。）（。＞0）表示的曲线G就是一条心形

线，如图，以极轴3所在的直线为x轴，极点。为坐标原点的直角坐标系xQy中.已知曲线G的参数方程为

x=1+

-a为参数）.

V-----\-t

I3

(i)求曲线G的极坐标方程；

(2)若曲线G与相交于A、。、B三点,求线段AB的长.

18.(12分)在平面直角坐标系xOy中，曲线(夕为参数)，以坐标原点。为极点，x轴的正半轴为

[y=sma

极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为夕=-2sin氏

(1)求曲线G的普通方程和曲线02的普通方程；

(2)若P,Q分别为曲线G，G上的动点，求IP0I的最大值.

19.(12分)已知函数/(尤)=111%+(4-；)/一2a.

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)若/(x)在定义域内是增函数，且存在不相等的正实数中马，使得/(须)+/(%)=-3,证明：玉+/>2.

20.(12分)已知a,b,。为正数，且aZ?c=l,证明：

(1)(2a+l)(2Z?+l)(2c+l)>27；

[+]+[<3

⑵a(b+c)2b(a+c)2c(o+Z?)24，

21.(12分)平面直角坐标系xOy中，曲线C：(8-1)2+：/=1.直线/经过点2(％0),且倾斜角为以。为极点,

X轴正半轴为极轴，建立极坐标系.

(1)写出曲线C的极坐标方程与直线/的参数方程；

(2)若直线/与曲线C相交于A，B两点，且4Hp即=1,求实数〃？的值.

22.(10分)已知函数/(x)=tanx+asin2x-2x(04x<5).

(1)若a=0,求函数/(X)的单调区间；

(2)若.f(x)20恒成立，求实数。的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

先化简集合A,再求

【详解】

由_?<1得：一1<%<1,所以A={0},因此+A={—1,1,2},故答案为B

【点睛】

本题主要考查集合的化简和运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算推理能力.

2.C

【解析】

分析函数y=J=的定义域和单调性，然后对选项逐一分析函数的定义域、单调性，由此确定正确选项.

【详解】

函数y={的定义域为（0,+8）,在（0,+力）上为减函数.

A选项，y=2幅”的定义域为（0,+e），在（0,+8）上为增函数，不符合.

B选项，j=lOg2^的定义域为R,不符合.

C选项，>=1。82，的定义域为（（）,+力），在（0,+8）上为减函数，符合.

X

D选项，>=［的定义域为［0,+8）,不符合.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查函数的定义域和单调性，属于基础题.

3.C

【解析】

由三视图可知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是底边为26,高为1的等腰三角形，侧棱长为4,利用正弦定

理求出底面三角形外接圆的半径，根据三棱柱的两底面中心连线的中点就是三棱柱的外接球的球心，求出球的半径，

即可求解球的表面积.

【详解】

由三视图可知，

几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是底边为2g,高为1的等腰三角形，

侧棱长为4,如图：

由底面边长可知，底面三角形的顶角为120，

由正弦定理可得2A=4,解得AD=2,

sin1200

三棱柱的两底面中心连线的中点就是三棱柱的外接球的球心，

所以|0川="寿=20,

该几何体外接球的表面积为：S=4乃＜2⑹2=327.

故选：C

【点睛】

本题考查了多面体的内切球与外接球问题，由三视图求几何体的表面积，考查了学生的空间想象能力，属于基础题.

4.C

【解析】

利用直角三角形三边与内切圆半径的关系求出半径，再分别求出三角形和内切圆的面积，根据几何概型的概率计算公

式，即可求解.

【详解】

由题意，直角三角形的斜边长为府与'=10，

利用等面积法，可得其内切圆的半径为r=-------=2,

6+8+10

兀_7T

所以向次三角形内投掷豆子，则落在其内切圆内的概率为1:。=7.

—x6x8

2

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了面积比的几何概型的概率的计算问题，其中解答中熟练应用直角三角形的性质，求得其内切圆的半径

是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.

5.A

【解析】

求出集合M和集合N,,利用集合交集补集的定义进行计算即可.

【详解】

M={X|X2<X}={X|0<X<1},N={X[2*<1}={X|XV0},

Q/N={x|xNO},

则MndN={x|OWxWl}=[O,l],

故选：A.

【点睛】

本题考查集合的交集和补集的运算，考查指数不等式和二次不等式的解法，属于基础题.

6.D

【解析】

54

确定点。为AABC外心，代入化简得到4=二，〃=；,再根据元=前-通计算得到答案.

63

【详解】

由网=|词=|因可知，点。为AABC外心，

则A8.A0=』A8=2,AC-AO=—AC=—,XAO=AAB+/.IAC,

222

，________________._________

AOAB^AAB'+pACAB^4A+^ACAB^2,

所以<______________.一._-2一._.1①

AOAC^XABAC+^AC+=

因为44一〃=2,②

54_______.—._.

联立方程①②可得义=:，〃=彳，ABAC=-1＞因为前=正—而，

所以初=恁?+而2-2而•通=7,BP|BC|=V7.

故选：D

【点睛】

本题考查了向量模长的计算，意在考查学生的计算能力.

7.B

【解析】

解：当直线2x—y=z过点A（O,-1）时，z最大，故选B

【解析】

根据平面内两定点A,8间的距离为2,动点P与A,8的距离之比为巫，利用直接法求得轨迹，然后利用数形结

合求解.

【详解】

如图所示:

、（、（、（、J（x+［）2+y26

设A（-1,O）,3（1,0）,P（x,y）,则/,="，

V（x-l）2+y22

化简得（x+3）?+y2=8,

当点P到AB（x轴）距离最大时，AE43的面积最大，

面积的最大值是,x2x2夜=2夜.

2

故选：A.

【点睛】

本题主要考查轨迹的求法和圆的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.

9.A

【解析】

根据题意，由抛物线的方程可得其焦点坐标，由此可得双曲线的焦点坐标，由双曲线的几何性质可得/+3=4,解

可得“=1,由离心率公式计算可得答案.

【详解】

根据题意，抛物线f=8y的焦点为（0,2）,

22

则双曲线当一二=1的焦点也为（0,2）,即。=2,

/3

则有4+3=4，解可得67=1,

双曲线的离心率6=£=2.

a

故选：A.

【点睛】

本题主要考查双曲线、抛物线的标准方程，关键是求出抛物线焦点的坐标，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

10.B

【解析】

222

"+y=C（a\lc2+b2b2>

以。为圆心，以|0月为半径的圆的方程为丁+丁=。2,联立心2y2_,可求出点A二-------,贝!|

示一5=1（c。）

h2

4

整理计算可得离心率.

a\]c2+b2

【详解】

解：以。为圆心，以|0尸|为半径的圆的方程为/+>2=,2,

尤2+f[x=遗运

联立J/v2,取第一象限的解得,,

2

--2----2-1b

Lby=­

c

生

ayJc2+b2b2、c=4

c

整理得(9c2-5a2)(c2-56r2)=0,

251

则r==己<1(舍去)，Ci-=5,

a29a2

e=£=V5.

a

故选：B.

【点睛】

本题考查双曲线离心率的求解，考查学生的计算能力，是中档题.

11.D

【解析】

采用逐一验证法，根据图表，可得结果.

【详解】

A正确，从图表二可知，

3月份四个城市的居民消费价格指数相差不大

B正确，从图表二可知，

4月份只有北京市居民消费价格指数低于102

C正确，从图表一中可知，

只有北京市4个月的居民消费价格指数相差不大

D错误，从图表一可知

上海市也是从年初开始居民消费价格指数的增长呈上升趋势

故选：D

【点睛】

本题考查图表的认识，审清题意，细心观察，属基础题.

12.D

【解析】

根据题意，分别假设一个正确，推理出与假设不矛盾，即可得出结论.

【详解】

解：由题意知，若只有小王的说法正确，则小王对应“入班即静”，

而否定小董说法后得出：小王对应“天道酬勤”，则矛盾；

若只有小董的说法正确，则小董对应“天道酬勤”，

否定小李的说法后得出：小李对应“细节决定成败”，

所以剩下小王对应“入班即静”，但与小王的错误的说法矛盾；

若小李的说法正确，贝IJ“细节决定成败”不是小李的，

则否定小董的说法得出：小王对应“天道酬勤”，

所以得出“细节决定成败”是小董的，剩下“入班即静”是小李的，符合题意.

所以“入班即静”的书写者是：小李.

故选：D.

【点睛】

本题考查推理证明的实际应用.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.-1

【解析】

由二项式定理及展开式系数的求法得4c(-4+仁(-。)2=0,又所以。=2,令x=l得:

(1-2x1)5=%+4+%+4+。4+4，所以4+4+«2+4+4+“5=-1，得解.

【详解】

525

由(1-ar)=%+qx+a2x+...+a5x,且4q+a2=0,

则4c(-4+C；(-4=0,

又aH0,

所以a=2,

令x=l得：

(1—2xIp=%+q+a,+阻++%9

所以4+4+生+43+a4+”5=—I，

故答案为：—1.

【点睛】

本题考查了二项式定理及展开式系数的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

14.1296

【解析】

先从4个男生选2个一组，将4人分成三组，然后从4个女生选2个一组，将4人分成三组，然后全排列即可.

【详解】

由于每项工作至少由1名男生和1名女生完成，则先从4个男生选2个一组，将4人分成三组，所以男生的排法共有

=36,同理女生的排法共有《A；=36,故不同的安排共有第A；♦=1296种.

故答案为：1296

【点睛】

本题主要考查了排列组合的应用，考查了学生应用数学解决实际问题的能力.

15.(l,+oo)

【解析】

根据条件构造函数F(x)=/9,求函数的导数，利用函数的单调性即可得到结论.

【详解】

设尸(x)=丛0,

贝/")一"X),

ex

：.F'(x)>0,即函数f(x)在定义域上单调递增.

-J-7(X)</(2X-1)

即F（x）<F（2x-l）

•.丁

*,•x<2x-b即x>l

不等式e*T“尤）</（2x-l）的解为（1,物）

故答案为：(1,物)

【点睛】

本题主要考查函数单调性的判断和应用，根据条件构造函数是解决本题的关键.

16.y=±3x

【解析】

利用⑶Z1\2I

=1+-=10,得到。力的关系式，然后代入双曲线c的渐近线方程y=±—X即可求解.

【详解】

因为双曲线C的离心率为e=£=JI5,

a

2222

所以c=10a=a+b，即b=3a9

因为双曲线C的渐近线方程为y=±-x,

a

所以双曲线C的渐近线方程为.V=±3x.

故答案为:y=±3x

【点睛】

本题考查双曲线的几何性质;考查运算求解能力;熟练掌握双曲线的几何性质是求解本题的关键;属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

7T

17.(1)0=-(peR)；(2)2a.

6

【解析】

(1)化简得到直线方程为y=3%,再利用极坐标公式计算得到答案.

3

(2)联立方程计算得到A,计算得到答案.

【详解】

x=l+V3/广

百消，得，工一6丁=0即〉=也%,

(1)由，

y=——+t3

3

c,是过原点且倾斜角为?的直线，...a的极坐标方程为6=2(psR).

66

Cl

嗯得,.p3：,A

(2)由＜

71

/?=〃(1一sin0)

e~6

3a

8匹.

P=H|，+也=

由，6得＜/.|AB2a.

6=纭22

p=a(l-sin。)

6

【点睛】

本题考查了参数方程，极坐标方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.

2

18.(1)—+y=l,f+(y+i)2=i；(2)拽+1

43

【解析】

试题分析：(1)由sin'a+cos2a=1消去参数。，可得G的普通方程，由丁+/二。?y=0sin。可得G的普通

方程；

一3(sina-；)+号，结合

(2)设P(2cosa,sina)为曲线G上一点，点P到曲线。2的圆心(°，T)的距离d=

since[-1,1]可得最值，|尸。的最大值为d+厂，从而得解.

试题解析：

(1)G的普通方程为名+丁=1・

•••曲线。2的极坐标方程为P=-2sin。，

...曲线G的普通方程为x2+y2=-2y,即d+(y+厅=1.

(2)设P(2cosa,sina)为曲线G上一点,

则点P到曲线G的圆心(。,一1)的距离

d-^4COS2«+(sintz+1)="\/-3sin2(z+2sin«+5={-3卜+—•

•.,sinee［-l,l］,.,.当sina=；时，d有最大值^

又；P,Q分别为曲线G，曲线。2上动点，

的最大值为4+r=逋+1.

19.(1)当时，/(x)在(0,1)上递增，在(1,转)上递减；

当，<4<1时，/(X)在(0,1)上递增，在［1,J■［上递减，在+8］上递增;

2、，、，\ia-Y)

当4=1时，〃6在(0,+8)上递增；

当时，“X)在(0,上递增，在［Jplj上递减，在(1,钙)上递增；

(2)证明见解析

【解析】

⑴对/(x)求导，分“wg，3<。<1，4=1进行讨论，可得/(X)的单调性；

(2)/(x)在定义域内是是增函数，由(1)可知。=1,/(x)=lnx+1x2-2%,

设X1<X2，可得

e(O,l),对g(x)求导，利用其单

/(^)+/(X2)=-3=2/(1),则设g(x)=/(2-x)+/(x)+3,x

调性可证明玉+々>2.

【详解】

解：“X)的定义域为((),+e),

因为/(x)=lnx+(a_g%2-2ax,

HII/、1/、(2a—1)工?—2QX+1(x—1)F(2^z—1)x—11

所以/〈x)=±+(2〃一1)工―2a='---------------=——』——J，

1f/7x)>04f/7x)<0

当。〈一时，令A、'7,得Ovxvl,令，'7,得了>1；

2x>0x>0

人［f(x)>01

当,<。<1时，则」一>1,令'，得Ovxvl,或x>-----

22。一1x>02。-1

/'(无)<01

x>Q'2。一1

当a=i时，r（x）>o,

1ff（x]<01

当。>1时，则0<----<1,令厂\,得------<X<1；

2。-1[x>02。-1

综上所述，当a4g时，/（力在（0,1）上递增，在（1,内）上递减；

当;<a<l时，/（力在（0,1）上递增，在[1,止j上递减，在3P+8）上递增;

当a=l时,〃6在（0,+8）上递增；

当4>1时，“X）在，/[上递增，在（/pl）上递减，在（1,讨）上递增;

(2)/(X)在定义域内是是增函数，由(1)可知4=1,

此时/(x)=Inx+gx?-2x,设占<七，

又因为/(玉)+/(々)=-3=2/(1),则0<西<1<々，

设g(x)=/(2-x)+/(x)+3,xw(O,l),则

g〈x)=—/(2—x)+r(x)=—，^-+在?=第3y>0对于任意xe(0,l)成立,

所以g(x)在(0,1)上是增函数，

所以对于Vxe(O,l),有g(x)<g⑴=2/(1)+3=0,

即Vxw(O,l),W/(2-x)+/(x)+3<0,

因为0〈尤I<1,所以/(2_玉)+/(%)+3<0,

即/(X2)>/(2-XJ,又/(x)在(0,+纥)递增，

所以々>2—玉，即玉+龙2>2.

【点睛】

本题主要考查利用导数研究含参函数的单调性及导数在极值点偏移中的应用，考查学生分类讨论与转化的思想，综合

性大，属于难题.

20.(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【解析】

(1)利用均值不等式a+匕+c23%无即可求证;

ab1

(2)利用一(----结合欣=1，即可证明.

(4+/?)4

【详解】

⑴•••2a+l=a+a+l23匠，同理有力+123海，2。+123病，

:.(2a+1)(2"l)(2c+l)>Tl^crlrc1=27.

ab1

(2)V(a+b\=a2+2ab+b2>Aab,-----q—

a+/?)24,

同理有7\2—~79~7,^2—~7.

(a+c)4[b+c)4

111

a{b+cfb(a+c)2c(a+b)~

ahcabcabc

=---------------1-------

a(Z?+c)"/?(a+c)2c(a+/?)2

beacab

------+------+------

(b+c)-(a+c)'(a+8y

1113

<—H•一+—=—.

4444

【点睛】

本题考查利用均值不等式证明不等式，涉及1的妙用，属综合性中档题.

x=m+乌

2i.(I)J2a为参数)；(n)加=1或加=i+&或加=i—JL

1y=2—t

【解析】

试题分析：本题主要考查极坐标方程、参数方程与直角方程的相互转化、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查

学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，用f+y2=02,x=0COS。化简表达式，得到曲

线C的极坐标方程，由已知点和倾斜角得到直线的参数方程；第二问，直线方程与曲线方程联立，消参，解出加的值.

试题解析：⑴曲线。的普通方程为：*-1)2+丁=1,即/+,2=2乂即夕2=2夕3。,

即曲线C的极坐标方程为:°=2cos6.

x=m-\---1

直线/的参数方程为｛2。为参数).

1

y=2(

(2)设A,5两点对应的参数分别为44,将直线/的参数方程代入f+y2=2%中，

得产+(V3m-垂>)t+m2-2m=0,所以A>0,。心=〃，一2m,,A>0=>—l<m<3

由题意得M-2同=1,得加=1,1+应或1-V2符合题意

考点：本题主要考查：1.极坐