全国通用版讲义第2章 函数2-3

§2.3函数的应用(Ⅰ)学习目标1.通过运用函数的有关知识解决实际生活中的问题，加深对函数概念的理解.2.会应用一次函数、二次函数模型解决实际问题.3.了解数学知识来源于生活，又服务于生活．知识点一常见的函数模型思考用函数知识解决实际问题需要用到一些函数模型，常见的函数模型有哪些？答案一次函数、二次函数、反比例函数．梳理三类常见函数模型名称解析式条件一次函数模型y＝kx＋bk≠0反比例函数模型y＝eq\f(k,x)＋bk≠0二次函数模型一般式：y＝ax2＋bx＋c顶点式：y＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(b,2a)))2＋eq\f(4ac－b2,4a)a≠0知识点二函数应用的模型思考解决实际问题的基本过程是什么？答案①分析问题，②建立函数模型，③解决函数问题，④回到实际问题．梳理数学模型的基本程序类型一一次函数模型的应用例1某地的水电资源丰富，并且得到了较好的开发，电力充足．某供电公司为了鼓励居民用电，采用分段计费的方法来计算电费．月用电量x(千瓦时)与相应电费y(元)之间的函数关系如图所示．(1)月用电量为100千瓦时时，应交电费多少元？(2)当x≥100时，求y与x之间的函数关系式；(3)月用电量为260千瓦时时，应交电费多少元？解(1)月用电量为100千瓦时时，应交电费60元．(2)当x≥100时，y与x之间为一次函数关系．设y＝kx＋b(k≠0)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(200k＋b＝110，,100k＋b＝60，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝\f(1,2)，,b＝10，))∴y＝eq\f(1,2)x＋10.(3)当x＝260时，y＝eq\f(1,2)×260＋10＝140.∴月用电量为260千瓦时时，应交电费140元．引申探究若将本例(2)中的x≥100去掉，求y与x的关系式．解由函数图象不在同一条直线上，∴选择分段求解．(1)当0≤x≤100时，设y＝kx(k≠0)，则60＝100k，∴k＝eq\f(3,5)，∴y＝eq\f(3,5)x.(2)当x>100时，同上例(2)，y＝eq\f(1,2)x＋10.∴y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)x，0≤x≤100，,\f(1,2)x＋10，x＞100.))反思与感悟一次函数模型的应用层次要求不高，一般情况下按照“问什么，设什么，列什么”的原则来处理，求解过程也较简单．跟踪训练1商店出售茶壶和茶杯，茶壶每个定价20元，茶杯每个定价5元，该商店现推出两种优惠办法：(1)买一个茶壶赠送一个茶杯；(2)按购买总价的92%付款．某顾客需购茶壶4个，茶杯若干个(不少于4个)，若购买茶杯数为x(个)，付款为y(元)，试分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数关系式，并指出如果顾客需购买茶杯40个，应选择哪种优惠办法？解(1)买4个茶壶，送4个茶杯，再单买x－4个茶杯，∴y＝5(x－4)＋20×4(x≥4)，即y＝5x＋60(x≥4)．当x＝40时，y＝5×40＋60＝260(元)．(2)按总价的92%付款，则y＝(20×4＋5x)×92%(x≥4)，即y＝4.6x＋73.6(x≥4)．当x＝40时，y＝257.6.比较两种方案，可以看出，应选择第(2)种方案更优惠．类型二二次函数模型的应用例2如图，要建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，如果用50m长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为x米．要使鸡场面积最大，养鸡场的长度应为多少米？解设养鸡场面积为S.∵养鸡场总长为x，∴宽为eq\f(50－x,3)(0<x<50)．∴S＝x·eq\f(50－x,3)即S＝－eq\f(1,3)(x2－50x)＝－eq\f(1,3)(x－25)2＋eq\f(625,3)，∴当x＝25时，Smax＝eq\f(625,3).即养鸡场的长度为25米时，面积最大．引申探究若将本例改为：要使养鸡场面积为eq\f(625,3)，怎样设计可使所用的篱笆最短？解∵长为x，∴宽为eq\f(625,3x)，∴L＝x＋eq\f(625,3x)×3，即L＝x＋eq\f(625,x).由对勾函数的性质知，L＝x＋eq\f(625,x)在(0,25)上为减函数，在(25，＋∞)上为增函数，∴当x＝25时，Lmin＝25＋25＝50.即养鸡场的长度为25m时，可使用的篱笆最短．反思与感悟(1)根据实际问题建立函数解析式(即二次函数关系式)．(2)利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题．(3)解答二次函数最值问题最好结合二次函数的图象．跟踪训练2据市场分析，烟台某海鲜加工公司，当月产量在10吨至25吨时，月生产总成本y(万元)可以看成月产量x(吨)的二次函数；当月产量为10吨时，月总成本为20万元；当月产量为15吨时，月总成本最低为17.5万元，为二次函数的顶点．(1)写出月总成本y(万元)关于月产量x(吨)的函数关系；(2)已知该产品销售价为每吨1.6万元，那么月产量为多少时，可获最大利润？解(1)由题意知，可设y＝a(x－15)2＋17.5(a≠0)，将x＝10，y＝20代入上式，得20＝25a＋17.5.解得a＝0.1.所以y＝0.1x2－3x＋40(10≤x≤25)．(2)设最大利润为Q(x)，则Q(x)＝1.6x－y＝1.6x－(0.1x2－3x＋40)＝－0.1(x－23)2＋12.9(10≤x≤25)．因为x＝23∈[10,25]，所以当月产量为23吨时，可获最大利润12.9万元．类型三分段函数模型的应用例3某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购1个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？(2)设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P＝f(x)的表达式；(3)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？(工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价－成本)解(1)设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x0个，则x0＝100＋eq\f(60－51,0.02)＝550(个)．因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元．(2)当0＜x≤100时，P＝60；当100＜x≤550时，P＝60－0.02(x－100)＝62－eq\f(x,50)；当x＞550时，P＝51.∴P＝f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(60，0＜x≤100，,62－\f(x,50)，100＜x≤550，,51，x＞550.))(x∈N＋)．(3)设销售商一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，则L＝(P－40)x＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(20x，0＜x≤100，,22x－\f(x2,50)，100＜x≤550，x∈N＋.,11x，x＞550，))当x＝500时，L＝6000；当x＝1000时，L＝11000.因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6000元；如果订购1000个，利润是11000元．反思与感悟分段函数模型的求解技巧(1)在求其解析式时，应先确定分“段”，即函数分成几段，并抓住“分界点”，确保分界点“不重，不漏”．(2)求函数值时，先确定自变量的值所属的区间，再代入；同样，已知函数值，求解自变量的值时，就是解方程的过程，即每段都令y取已知函数值，解出相应x的值，再判别是否属于所在区间．跟踪训练3某上市股票在30天内每股的交易价格P(元)与时间t(天)组成有序数对(t，P)，点(t，P)落在如图中的两条线段上，该股票在30天内(包括30天)的日交易量Q(万股)与时间t(天)的部分数据如表所示.第t天4101622Q(万股)36302418(1)根据提供的图象，写出该种股票每股交易价格P(元)与时间t(天)所满足的函数关系式；(2)根据表中数据确定日交易量Q(万股)与时间t(天)的一次函数关系式；(3)在(2)的结论下，用y(万元)表示该股票日交易额，写出y关于t的函数关系式，并求出这30天中第几日交易额最大，最大值为多少？解(1)由图知该种股票每股交易价格P(元)与时间t(天)所满足的函数图象为两条直线段，且在前20天，图象经过点(0,2)和(20,6)，后10天经过点(20,6)和(30,5)，故解析式为P＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)t＋2，0＜t≤20，t∈N＋，,－\f(1,10)t＋8，20＜t≤30，t∈N＋.))(2)设Q＝at＋b(a，b为常数且a≠0)，将(4,36)与(10,30)代入，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a＋b＝36，,10a＋b＝30.))解得a＝－1，b＝40.日交易量Q(万股)与时间t(天)的一次函数关系式为Q＝40－t,0＜t≤30，t∈N＋.(3)由(1)(2)可得y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)t＋2))×40－t，0＜t≤20，t∈N＋,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,10)t＋8))×40－t，20＜t≤30，t∈N＋.))即y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5)t2＋6t＋80，0＜t≤20，t∈N＋，,\f(1,10)t2－12t＋320，20＜t≤30，t∈N＋.))当0＜t≤20时，当t＝15时，ymax＝125；当20＜t≤30时，y＝eq\f(1,10)t2－12t＋320在(20,30]上是减函数，又当20＜t≤30时，ymax＜eq\f(1,10)×202－12×20＋320＝120＜125，所以第15日交易额最大，最大值为125万元．1．某文体商店出售羽毛球拍和羽毛球，球拍每副20元，球每只5元，该店制订了两种优惠方法：①买一副球拍赠送一只球；②按球拍和球的总价的92%付款．某单位计划购买4副球拍和30只球，该单位若想更省钱，则应选优惠方法()A．①B．②C．两种一样D．不能确定答案A解析若按第①种优惠方法，共需要花费4×20＋26×5＝210(元)，若按第②种优惠方法，共需要花费0.92×(4×20＋30×5)＝211.6(元)，故选A.2．某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是()A．118元B．105元C．106元D．108元答案D解析设进货价为x，则10%·x＝132×0.9－x，∴x＝108.3．将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个，为了获得最大利润，每个售价应定为()A．95元B．100元C．105元D．110元答案A解析设每个售价定为x元，总利润为y元，则y＝(x－80)[400－20(x－90)]＝－20(x－95)2＋4500，x＞80，当x＝95时，ymax＝4500.4．用长度为24m的材料围成一矩形场地，并且中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为()A．3mB．4mC．6mD．12m答案A解析如图所示，设隔墙长为xm，则矩形长为eq\f(24－4x,2)＝12－2x(0<x<6)．∴S矩形＝x(12－2x)＝－2x2＋12x＝－2(x－3)2＋18.∴当x＝3时，矩形的面积最大．解决函数应用问题的一般程序(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系．(2)建模：将文字语言转化成数学语言，选择适当的函数建立函数模型．(3)求模：求解数学模型，得到数学结论．(4)还原：将得到的结论，还原为实际问题的结果．一、选择题1．在自然界中，某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表所示：x123…y135…下面的函数关系式中，能表达这种关系的是()A．y＝2x－1B．y＝x2－1C．y＝2x＋1D．y＝1.5x2－2.5x＋2答案A解析将各数据代入y＝2x－1均成立，故选A.2．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是()A．310元B．300元C．290元D．280元答案B解析由题意可知，收入y是销售量x的一次函数，设y＝ax＋b，将(1,800)，(2,1300)代入得a＝500，b＝300.当销售量为x＝0时，y＝300.3．化工厂在一月份生产某种产品200t，三月份生产yt，则y与月平均增长率x之间的关系是()A．y＝200xB．y＝200x2C．y＝200(1＋x)D．y＝200(1＋x)2答案D解析一月份为200t，二月份为200x＋200＝200(x＋1)t，三月份为200(x＋1)x＋200(x＋1)＝200(x＋1)(x＋1)＝200(x＋1)2t，即y＝200(x＋1)2.4．若等腰三角形的周长为20，底边长y是关于腰长x的函数，则它的解析式为()A．y＝20－2x(x≤10)B．y＝20－2x(x＜10)C．y＝20－2x(5≤x≤10)D．y＝20－2x(5＜x＜10)答案D解析由题意，得2x＋y＝20，∴y＝20－2x.∵y＞0，∴20－2x＞0，∴x＜10.又∵三角形两边之和大于第三边，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＞y，,y＝20－2x，))解得x＞5，∴5＜x＜10，故选D.5．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x，1≤x≤10，x∈N＋，,2x＋10，10＜x＜100，x∈N＋，,1.5x，x≥100，x∈N＋，))其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数，若面试人数为60，则该公司拟录用人数为()A．15B．40C．25D．130答案C解析若4x＝60，则x＝15＞10，不合题意；若2x＋10＝60，则x＝25，满足题意；若1.5x＝60，则x＝40＜100，不合题意．故拟录用25人．6.已知直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥OC，AB＝1，OC＝BC＝2，直线x＝t截这个梯形位于此直线左方的图形的面积(如图中阴影部分)为y，则函数y＝f(t)的大致图象为()答案C解析由题意知，y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，0＜x≤1，,2x－1，1＜x≤2.))所以C正确．二、填空题7．某商人购货，进价已按原价a扣去25%，他希望对货物定一新价，以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的利润，则此商人经营这种货物的件数x与按新价让利总额y之间的函数关系式是________．答案y＝eq\f(a,4)x(x∈N＋)解析设新价为b，则售价为b(1－20%)．∵原价为a，∴进价为a(1－25%)．依题意，有b(1－20%)－a(1－25%)＝b(1－20%)×25%，化简得b＝eq\f(5,4)a，∴y＝b×20%·x＝eq\f(5,4)a×20%·x，即y＝eq\f(a,4)x(x∈N＋)．8．某商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料，根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶；若零售价每降低(升高)0.5元，则可多(少)销售40瓶，在每月的进货当月销售完的前提下，为获得最大利润，销售价应定为________元/瓶．答案6解析设销售价每瓶定为x元，利润为y元，则y＝(x－3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(400＋\f(4－x,0.5)×40))＝80(x－3)(9－x)＝－80(x－6)2＋720(x≥3)，所以x＝6时，y取得最大值．9．某工厂生产某种产品的固定成本为200万元，并且生产量每增加一单位，成本就增加1万元，又知总收入R(万元)是单位产量Q的函数：R(Q)＝4Q－eq\f(1,200)Q2，那么，总利润L(Q)的最大值是________万元，这时产品的生产数量为________．(总利润＝总收入－成本)答案250300解析L(Q)＝4Q－eq\f(1,200)Q2－(200＋Q)＝－eq\f(1,200)(Q－300)2＋250，则当Q＝300时，总利润L(Q)取最大值250万元．10．某种电热水器的水箱盛满水是200升，加热到一定温度可浴用．浴用时，已知每分钟放水34升，在放水的同时注水，t分钟注水2t2升，当水箱内水量达到最小值时，放水自动停止．现假定每人洗浴用水65升，则该热水器一次至多可供________人洗澡．答案4解析设最多用t分钟，则水箱内水量y＝200＋2t2－34t，当t＝eq\f(17,2)时y有最小值，此时共放水34×eq\f(17,2)＝289(升)，可供4人洗澡．三、解答题11．某旅游公司的最大接待量为1000(人)，为保证公司正常运作，实际的接待量x要小于1000，留出适当的空闲量(如：当接待量为800(人)时，则空闲量为200(人))，空闲量与最大接待量的比值叫作空闲率．已知该公司4月份接待游客的日增加量y(人)和实际接待量x(人)与空闲率的乘积成正比．(设比例系数k＞0)(1)写出y关于x的函数关系式，并指出定义域；(2)当k＝eq\f(1,10)时，求4月份游客日增加量的最大值．解(1)由题意知，当实际接待量为x(人)时，空闲率为eq\f(1000－x,1000).故y关于x的函数关系式为y＝kx·eq\f(1000－x,1000)(k＞0)，函数的定义域为0＜x＜1000.(2)当k＝eq\f(1,10)时，y＝eq\f(1,10)x·eq\f(1000－x,1000)＝eq\f(1,10000)(－x2＋1000x)＝eq\f(1,10000)[－(x－500)2＋250000]＝－eq\f(1,10000)(x－500)2＋25，∴当x＝500时，ymax＝25.∴4月份游客日增加量的最大值为25人．12．为了保护学生的视力，课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的．研究表明：假设课桌的高度为ycm，椅子的高度为xcm，则y应是x的一次函数，下表列出了两套符合条件的课桌椅的高度：第一套第二套椅子高度x(cm)40.037.0桌子高度y(cm)75.070.2(1)请你确定y与x的函数解析式(不必写出x的取值范围)；(2)现有一把高42.0cm的椅子和一张高78.2cm的课桌，它们是否配套？为什么？解(1)根据题意，课桌高度y是椅子高度x的一次函数，故可设函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)．将符合条件的两套课桌椅的高度代入上述函数解析式，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(40k＋b＝75，,37k＋b＝70.2，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝1.6，,b＝11，))所以y与x的函数解析式是y＝1.6x＋11.(2)把x＝42代入(1)中所求的函数解析式中，有y＝1.6×42＋11＝78.2，所以给出的这套桌椅是配套的．13．如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P处有一棵树与两墙的距离分别是a米(0<a<12)，4米，不考虑树的粗细．现在想用16米长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD，并要求将这棵树围在花圃内或在花圃的边界上，设BC＝x(米)，此矩形花圃的面积为y平方米．写出y关于x的函数关系，并求BC为何值时，花圃面积最大？解由已知AB＝16－x，∴y＝x(16－x)＝－x2＋16x.又x≥a,16－x≥4，∴a≤x≤12.即y＝－x2＋16x，x∈[a,12]．由y＝－(x－8)2＋64，对称轴为x＝8，又0<a<12，∴当0<a≤8，x＝8即BC＝8(米)时，ymax＝64(平方米)．当8<a<12时，y在[a,12]上递减，∴x＝a.即BC＝a米时，ymax＝－a2＋16a(平方米)．四、探究与拓展14．某人定制了一批地砖，每块地砖(如图1