基本不等式基础知识梳理

b认识基本不等 的证明过程，理解基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号2 会用基本不等 解决最大（小）值问题2重要不等式 a 基本不等 不 假如 R，那么 2ab（当且仅当ab时取等号“=”）a,b是正数，那么

ab（当且仅当 b时取等号“2重点解说： 2ab和a ab二者的异同2（1）成立的条件是不一样的：前者只需求a,b都是实数，尔后者要求a,b（2）取等号“=”的条件在形式上是同样的，都是“当且仅 a（3） 2ab能够变形为：

ab能够变形为： ab() ()如图，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC a,BC b，过点C作DC AB交圆于点D，连结AD、BD.易证RtACD~ DCB，那么CD CACB，即 ab 这个圆的半径 ab，此中当且仅当点C与圆心重合，即a 时，等号成立重点解说：1

ab为a,b的几何均匀数.所以基2不等式可表达为：两个正数的算术均匀数不小于它们的几何均匀 a2

看作是正数a,b的等差中项 ab看作是正数a,b的等比中项，那么基本不等式能2 考点二：基本不等 的证2如图，在正方形ABCD a、b，那么正方形的边长为 。这样，4个直角三角形 2ab，正方形ABCD的面积为a2 b2。因为4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：a2 2ab。当直角三角形变成等腰直角三角形，即 ab时，正方形EFGH缩为一个点，这时有a2 2ab。获得结论：假如a,b R+，那么a2 2ab（当且仅当a b时取等号“=”）特其他，假如a 0，b a、b分别取代a、b，可得：假如a0， 0,则 2ab，（当且仅当 b时取等号“=”）往常我们把上式写作：假 0 ∵a2 (ab)2 0，当a b时，(a 0；

，（当且仅当ab时取等号“2当ab时， 0所以 b2 2ab，（当且仅当 b时取等号“=”）特其他，假如a 0，b 0,我们用 a、b分别取代a、b，可得：假如 0， 0,则 2ab，（当且仅当ab时取等号“=”）假如 0，

，（当且仅当ab时取等号“=”）2b重点三、用基本不等 2

求最大（小）在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件 一正二定三取等 a a R，当且仅当a=b=a a R，当且仅当a=b=2a a 0；特别地 2 0 a b

a,b a 4 种类一：基本不等

2例1. 0，b0，给出以下推导，此中正确的 （填序号）1 的最小值为 2（2） b)( 1)的最小值 4 的最小值 2 0， 0，∴a

2

22（当且仅当

时取等号） 0， 0，∴ b)( 1 4（当且仅当 b时取等号） 0，∴ a

42(a

a （当且仅当

1即 4 3时取等号aa0

【总结升华】在用基本不等式求函数的最值时，一定同时具备三个条件：一正二定三取等，缺一不 【变式1 ∵a, R，∴ 2a 2 b ∵x, R，∴lg lg lg lgy ∵aR，a0 ∵x, R， 0 ) 2 A. 【分析】①∵a, a②固然x, ，但当 (0,1)或 (0,1)时，lgx,lgy是负数，∴②的推导是错误 ③由

4 ④由 0,得y,x均为负数，但在推导过程中，将整 y提出负号后， x) .选【变式2是 A.函数

的最小值为 B.函x

3的最小值为 C.函数 23x4(x0)最大值为 x

y2 4(x0)的最小值为x【分析】A选项中，∵ 0，∴当 0,时由基本不等式 x当x0时 xB选项中

2.Ax2 2

x

1的最小值为 （当且仅 1时，成立可是 2，∴这是不行能的 ∴选项B错误C选项中，∵ 0，∴ 2 2(3 4)243，应选项C正确 种类二：利用基本不等

求最2【高清讲堂：基本不等式394847 b0，则 的最小值 a( A B． D． aba(a 1 4 1 即 2, 2时取等号 【变式1

0,求f(

9x

0,所以 0 由基本不等式得f( (4 (4x)(9 2(4x)( 23612 （当且仅 即 时 取等号 故当 时 f 获得最大 x【变式2】已知 0，求f 的最大值x【分析】∵ 0，∴ 0∴(42(4224（x42时，等号成立xxx∴f 4 4（当且仅 4，即 故当 2时，f(x)的最大值为1 4的最小值 B．

【分析】∵ 0,b0114)(a1b124a92b2ab2ab2∴ 答案选【变式1】若 0, 1,求xy的最小值 【分析】∵ 0, 0∴ （281xy2 4，（281xy2∴xy 64（当且仅当x4，y 16时，等号成立）故当x 4，y 16时，xy的最小值为64.1【变式2】已知x＞0，y＞0， 1，求x+y的最小值 1【分析】 y(1910xxyxyy y （当且仅

y=3x时，取等号1 1，∴x=4 x=4y=12x+y取最小值16。 例 设x, R, y1,求证：(x)( 【证明

x2y y 25xy14x2y 25xy 4x2y 33 4 42 4【变式1】已知 【分析

3

( 2 3a （

3即 5,等号成立）a【例5】(2015 东城区期末)已知 0, 0，且 b 若 c则

1的值 1

【分析】(1)由题意可得 b

1

(2)由题意和基本不等式可 0， 0，

a

ab1

ab1 caca 2bc2ac2 【变式】 石家庄一 )已知函数 m的定义域为务实数m的取值范围mnab知足【(1)R,

3a a

n时，求 的最小值 3 0xxm4设函数g 3则m不大于g xxm4(2)(1)

1 125112515223a2ba94ab4a2bb4当且仅当a b时，即 2a时取等号 4b的最小值为4例 某农场有荒弃的猪圈 留有一面旧墙长12m,现准备在该地域从头成立一座猪圈 平面图为矩形112m2，估计（1）1m旧墙的花费是建筑1m新墙花费的25，（2）拆去1m旧墙用以改造1m50%，（3）成1m新墙的花费是建 1m的空缺。试问：这设修复成新墙的旧墙 xm,则拆改成新墙的旧墙 x)m于是还需要建筑新墙的长

(x1) x)

设建筑1m新墙需用a元，建筑围墙的总造价 y元则 xa x)a50%(2a(7x 2

x

2时，等号成立 故拆掉改造旧墙约为 2米时，总造价最小【变式1】某游泳馆销售冬天学生游泳卡，每张卡 240元.