矢量分析与场论

矢量分析与场论第1页，共36页，2023年，2月20日，星期一导论第2页，共36页，2023年，2月20日，星期一“Thebeautyofelectricity...[is]thatitisunderlaw.”

——MichaelFaraday第3页，共36页，2023年，2月20日，星期一电磁力(作用)电磁力（Electromagnetism）是自然界四种基本力（相互作用）之一。其它三种力（相互作用）是：重力（gravity）强相互作用力（stronginteraction）弱相互作用力（weakinteraction）第4页，共36页，2023年，2月20日，星期一场的含义空间性：场是所关注量的空间分布特性，其可以是矢量场，也可以是标量场。时间性：场不但是空间的函数，往往也是时间的函数。事件性：当一个事件对另一个空间位置的某个事件产生影响，称这些事件被场所联系。第5页，共36页，2023年，2月20日，星期一什么是电磁场“电磁场”（electromagnetism）的研究内容是电荷在静止或者运动状态的电磁作用。其研究内容可分为以下三类：静电场：静止电荷产生的电场；静磁场：稳定运动电荷（直流）产生的磁场动态场：运动电荷（非直流）产生的电磁场。第6页，共36页，2023年，2月20日，星期一课程目标理解电磁现象的物理本质掌握电磁场问题的基本概念和基本分析方法应用所学知识分析解决典型电磁场问题拓宽知识面，为后续课程和其它研究工作打下基础。第7页，共36页，2023年，2月20日，星期一课程的知识结构Maxwell方程静电场静磁场动态场电磁场基本定律特殊情形电路理论元件尺度远小于电磁波波长第8页，共36页，2023年，2月20日，星期一课程简介复习场论、相量等概念；静电场基础（Electrostatics）静磁场基础（Magnetostatics）电磁场边值问题（BoundaryValueProblems）材料的电磁特性及其与电磁场的相互作用机理Maxwell方程（Maxwell’sEquations）第9页，共36页，2023年，2月20日，星期一电磁场课程难点？电场和磁场的特点为：是三维的空间函数（3D）是空间矢量不仅是空间的函数，而且是时间的函数描述场的方程是偏微分方程（PDEs）第10页，共36页，2023年，2月20日，星期一电磁场课程难点？电磁场问题的求解通常需要较强的抽象思维能力。电磁场问题的求解不仅需要对物理现象有深刻的理解，同时，还必须熟练掌握数学工具和一定的数学技巧。第11页，共36页，2023年，2月20日，星期一标量场和矢量场标量场的梯度矢量场的通量与散度矢量场的环量与旋度亥姆霍兹定理电磁场的特殊形式第0章矢量分析下页返回VectorAnalysis第12页，共36页，2023年，2月20日，星期一场在某一空间区域内，某一物理量是该区域内关于空间位置函数，则在该区域内建立了该物理量的场。场中任一个点都与一个确定的标量或矢量函数值对应。采用标量函数描述的场即为标量场，采用矢量函数描述的场即为矢量场。0.1标量场和矢量场ScalarFieldandVectorField下页上页返回第13页，共36页，2023年，2月20日，星期一例如，在直角坐标下,空间区域内的某个物理量满足如下两个函数：标量场矢量场如温度场、电位场、高度场等；如流速场、电场、涡流场等。下页上页返回第14页，共36页，2023年，2月20日，星期一其方程为:高度场的等高线(1)标量场--等值线(面)形象描绘场分布的工具——场线思考在某一高度上沿什么方向高度变化最快？下页上页返回第15页，共36页，2023年，2月20日，星期一三维场二维场图0.1.2矢量线矢量场--矢量线其方程为：在直角坐标下：下页上页返回第16页，共36页，2023年，2月20日，星期一0.2标量场的运算－梯度

GradientofScalarField

设一个标量函数(x，y，z)，若函数在点P可微，则在点P

沿任意方向

的方向导数为设

式中,,分别是任一方向与x,y,z轴的夹角则有：当，最大下页上页返回第17页，共36页，2023年，2月20日，星期一——梯度(gradient)——哈密顿算子式中图0.1.3等温线分布梯度的方向为该点最大方向导数的方向。梯度的大小为该点标量函数的最大变化率，即最大方向导数。标量场的梯度是一个矢量，是空间坐标点的函数。梯度的意义下页上页返回第18页，共36页，2023年，2月20日，星期一例0.2.1

三维高度场的梯度图0.2.1三维高度场的梯度高度场的梯度与过该点的等高线垂直；数值等于该点位移的最大变化率；指向地势升高的方向。下页上页返回第19页，共36页，2023年，2月20日，星期一例0.2.2电位场的梯度图0.2.2电位场的梯度电位场的梯度与过该点的等位线垂直；数值等于该点的最大方向导数；指向电位增加的方向。下页上页返回第20页，共36页，2023年，2月20日，星期一0.3矢量场的通量与散度0.3.1通量(Flux)

矢量E沿有向曲面S的面积分若S

为闭合曲面根据通量的大小判断闭合面中源的性质：FluxandDivergenceofVector>0

(有正源)<0

(有负源)=0(无源)图0.3.2矢量场通量的性质

下页上页返回图0.3.1矢量场的通量

第21页，共36页，2023年，2月20日，星期一0.3.2散度(Divergence)如果包围点P的闭合面S

所围区域V

以任意方式缩小到点P

时：———散度(divergence)下页上页返回第22页，共36页，2023年，2月20日，星期一散度的意义在矢量场中，若•

A=0，称之为有源场，称为(通量)源密度；若矢量场中处处•A=0

，称之为无源场。矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数；散度代表矢量场的通量源的分布特性。(无源）

(正源)

(负源)图0.3.3通量的物理意义

下页上页返回第23页，共36页，2023年，2月20日，星期一0.3.3高斯散度定理(DivergenceTheorem)图0.3.4散度定理通量元密度——高斯公式矢量函数的面积分与体积分的相互转换。下页上页返回第24页，共36页，2023年，2月20日，星期一0.4矢量场的环量与旋度0.4.1环量(Circulation)矢量A

沿空间有向闭合曲线L的线积分——环量环量的大小与闭合路径有关，它表示绕环线旋转趋势的大小。CirculationandRotationofVectorField下页上页返回图0.4.1环量的计算第25页，共36页，2023年，2月20日，星期一水流沿平行于水管轴线方向流动，=0，无涡旋运动。例：流速场图0.4.2流速场流体做涡旋运动，0，有产生涡旋的源。下页上页返回第26页，共36页，2023年，2月20日，星期一0.4.2旋度(Rotation)1.环量密度过点P作一微小曲面S，它的边界曲线记为L，面的法线方向与曲线绕向符合右手定则。当S

点P时，存在极限——环量密度环量密度是单位面积上的环量。下页上页返回第27页，共36页，2023年，2月20日，星期一2.旋度旋度是一个矢量，其大小等于环量密度的最大值；其方向为最大环量密度的方向——旋度(curl)－S

的法线方向它与环量密度的关系为在直角坐标下:下页上页返回第28页，共36页，2023年，2月20日，星期一3.旋度的物理意义矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。某点旋度的大小是该点环量密度的最大值，其方向是最大环量密度的方向。在矢量场中，若A=J0

称之为旋度场（或涡旋场），J

称为旋度源（或涡旋源）。若矢量场处处A=0，称之为无旋场。下页上页返回第29页，共36页，2023年，2月20日，星期一4.斯托克斯定理(Stockes’Theorem)矢量函数的线积分与面积分的相互转化。图0.4.3斯托克斯定理——斯托克斯定理下页上页在电磁场理论中，高斯定理和斯托克斯定理是两个非常重要的公式。返回第30页，共36页，2023年，2月20日，星期一

0.5亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理：在有限区域内，矢量场由它的散度、旋度及边界条件惟一地确定。已知：矢量A的通量源密度矢量A的旋度源密度场域边界条件电荷密度电流密度J场域边界条件在电磁场中HymherzeTheorem下页上页返回第31页，共36页，2023年，2月20日，星期一例0.5.1

试判断下列各图中矢量场的性质。000000下页上页返回第32页，共36页，2023年，2月20日，星期一0.6特殊形式的电磁场如果在经过某一轴线(设为z轴）的一族平行平面上，场F

的分布都相同，即F=f（x，y），则称这个场为平行平面场。1.平行平面场SpecialFormsofElectromagneticField如无限长直导线产生的电场。下页上页返回0第33页，共36页，2023年，2月20日，星期一如果在经过某一轴线(设为z轴)的一族子午面上，场F

的分布都相同，即F=f（r,），则称这个场为轴对称场。2.轴对称场如螺线管线圈产生的磁场；有限长直带