高中数学-分类加法计数原理与分步乘法计数原理 第二课时教学设计学情分析教材分析课后反思

§1.1.分类加法计数原理与分步乘法计数原理（2）学习目标1.能根据具体问题的特征，选择运用分类计数原理、分步计数原理；2.能综合运用两个原理解决一些简单的实际问题；3.会用列举法解一些简单问题，并体会两个原理的作用.重点：运用两个原理解决一些简单的实际问题；难点：分类计数原理与分步乘法原理的综合应用学习过程一、课前准备（预习教材P6~P10，找出疑惑之处）复习1：什么是分类计数原理？什么是分步计数原理？它们在使用时的主要区别是什么？复习2：现有高二年级某班三个组学生24人，其中第一、二、三组各7人、8人、9人，他们自愿组成数学兴趣小组.⑴选其中1人为负责人，有多少种不同的选法？⑵每组选1名组长，有多少种不同的选法？设计意图：复习巩固分类加法计数原理与分步乘法计数原理，进一步明确做题思路。二、新课导学问题：如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有3条路；从甲地到丙地有4条路，从丙地到丁地有2条路.从甲地到丁地共有多少条不同的路线？设计意图：让学生明白：用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前进行仔细分析，正确选择是分类还是分步.分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用加法原理求和；分步要做到“步骤完整”，完成所有步骤，恰好完成任务.二、典型例题例1.给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母A～G或U～Z,后两个要求用数字1～9.问最多可以给多少个程序命名？分析：要给一个程序模块命名，可以分三个步骤：第1步，选首字符；第2步，选中间字符；第3步，选最后一个字符．而首字符又可以分为两类．解：先计算首字符的选法．由分类加法计数原理，首字符共有7+6=13种选法．再计算可能的不同程序名称．由分步乘法计数原理，最多可以有13×9×9==1053个不同的名称，即最多可以给1053个程序命名．反思：在实际问题中，一个问题可能同时使用两个原理，有时还可能多次使用同一原理.练习1.如图，一条电路从A处到B处接通时，可有多少条不同的线路？设计意图：理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理异同点①相同点：都是完成一件事的不同方法种数的问题②不同点：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事，是独立完成；而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事，是合作完成.例2.随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有3个不重复的英文字母和3个不重复的阿拉伯数字，并且3个字母必须合成一组出现，3个数字也必须合成一组出现．那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照？分析：按照新规定，牌照可以分为2类，即字母组合在左和字母组合在右．确定一个牌照的字母和数字可以分6个步骤．解：将汽车牌照分为2类，一类的字母组合在左，另一类的字母组合在右．字母组合在左时，分6个步骤确定一个牌照的字母和数字：第1步，从26个字母中选1个，放在首位，有26种选法；第2步，从剩下的25个字母中选1个，放在第2位，有25种选法；第3步，从剩下的24个字母中选1个，放在第3位，有24种选法；第4步，从10个数字中选1个，放在第4位，有10种选法；第5步，从剩下的9个数字中选1个，放在第5位，有9种选法；第6步，从剩下的8个字母中选1个，放在第6位，有8种选法．根据分步乘法计数原理，字母组合在左的牌照共有26×25×24×10×9×8=11232000（个）.同理，字母组合在右的牌照也有11232000个．所以，共能给11232000+11232000=22464000（个）.辆汽车上牌照． 设计意图：用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析―需要分类还是需要分步．分类要做到“不重不漏”．分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．分步要做到“步骤完整”―完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立．分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．练习2.如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？解:按地图A、B、C、D四个区域依次分四步完成,第一步,m1=3种,第二步,m2=2种,第三步,m3=1种,第四步,m4=1种,所以根据乘法原理,得到不同的涂色方案种数共有N=3×2×1×1=6设计意图：分步计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事.动手试试练习3.某商场有6个门，如果某人从其中的任意一个门进入商场，并且要求从其他的门出去，共有多少种不同的进出商场的方式？练习4.甲、乙、丙3个班各有三好学生3,5,2名，现准备推选两名来自不同班的三好学生去参加校三好学生代表大会，共有种不同的推选方法？设计意图：进一步巩固两个原理，使用分步计数原理时，要注意各步中所有的可能情况，做到不重不漏.三、总结提升※学习小结1.正确选择是分类还是分步的方法2.分类要做到“不重不漏”，分步要做到“步骤完整”.※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.从5名同学中选出正，副组长各一名，共有种不同的选法.2.某电话局管辖范围内的电话号码由8位数字组成，其中前4位的数字是不变的，后4位数字都是0到9之间的一个数字，那么这个电话局最多有个.3.设A={a,b,c,d,e,f},B={x,y,z},从A到B共有多少种不同的映射?4.由数字0，1，2，3，4，5可以组成多少个三位数？5.积展开后共有多少项？反思：运用分类加法计数原理与分步乘法计数原理的注意点：分类加法计数原理：首先确定分类标准，其次满足：完成这件事的任何一种方法必属于某一类，并且分别属于不同的两类的方法都是不同的方法，即"不重不漏".

分步乘法计数原理：首先确定分步标准，其次满足：必须并且只需连续完成这n个步骤，这件事才算完成.

课后作业1.设，，则在直角坐标系中满足条件的点共有个；2.在在平面直角坐标系内，斜率在集合B=｛1，3，5，7｝,y轴上的截距在集合C=｛2，4，6，8｝内取值的不同直线共有条.3.有3个班的同学分别从5个风景点中选择一处游览，不同选法种数是.4.在1～20共20个整数中取两个数相加,使其和为偶数的不同取法共有种.5.用1，2，3三个数字，可组成个无重复数字的自然数.6.一个班级有8名教师，30位男同学，20名女同学，从中任选教师代表和学生代表各一名，共有不同的选择种数为.学情分析1.认知基础分析：

学生在初中学习过用列举法或树状图来解决一些计数问题，以学生现有知识解决与计数有关问题，基本采用一一列举或画树状图。但当数目很大时，显得很麻烦，有时很难实施。另一方面作为高二的学生已具备一定的分析、归纳、类比的能力。但是很多学生主动探究知识的意识还较弱，习惯于被动地接受知识，需要引导加强

2.可能学习障碍分析：正确使用两个计数原理的前提是要学生清楚两个计数原理使用的条件：分类用加法原理，分步用乘法原理，单纯这点学生是容易理解的。加法和乘法在小学就会，那么，在中学再学它与以往有什么不同?不同在于小学阶段重在运算结果的追求，而忽视了其过程中包含的深层次思想；两个原理恰恰深刻反映了人类计数最基本的“大事化小”，即“分解”的思想。更具体地说就是把完成一件事的方法数分成类或分成步去数。学生往往在判断是分类还是分步去完成一件事会有一定的障碍，部分学生对乘法原理的运算结果难以理解。因此，把本节课的教学难点定为：（1）如何判断完成一件事是分类或分步完成；（2）理解分步计数原理中的运算方法，即总方法数为各步骤方法数之积。３.突破难点分析：要准确的判断是分类还是分步去完成一件事，首先得明确这是一件什么事，该怎样去完成。在分析的过程中，便会发现有些事可以按某些方法独立完成，有些事需要多个步骤才能完成。能独立完成的就用分类，需多个步骤完成的就用分步。为此，设计了两个小组活动来让学生体会。

对于分步计数原理的运算结果，可利用树状图并结合小学对乘法的理解来突破。效果分析1.由于两个计数原理的理解并不困难，且高二的学生已具备一定的分析、归纳、类比的能力，大部分学生掌握的较好。但是也有很多学生主动探究知识的意识较弱，习惯于被动地接受知识，所以需要引导加强

关键是根据具体问题的特征选择对应的原理，特别是综合应用两个计数原理是学生感到困难的，因此本节先通过典型的、学生熟悉的实例出发复习两个计数原理，然后按照从单一到综合的方式安排例题，引导学生逐步体会两个计数原理的基本思想及其应用方法。2.在学习过程中，学生明确了两个计数原理的联系和区别：分类计数原理和分步计数原理都是计算完成一件事共有多少种不同方法数的原理，也叫加法原理和乘法原理。其区别在于：运用加法原理的前提条件是完成一件事有n类办法，选择任何一类办法中任何一种方法都可以独立完成此事，就是说，完成这件事的各种方法是相互独立的，所以总方法数为各类方法数之和；运用乘法原理的前提条件是完成一件事需n个步骤，只有依次完成所有步骤后才能完成这件事，就是说，完成这件事的各个步骤是相互依存的，所以总方法数为各步骤方法数之积。3.通过本节课的学习让学生经历两个原理使用过程，感受和体会通过归纳，类比把实际问题抽象、概括为数学原理的一般思想方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。通过对身边

实际问题的解决，使学生感受数学的作用与价值，提高学生学习兴趣，养成积极思考，勇于探索发现问题、的良好习惯教材分析教材的地位和作用《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》，是高中数学人教A版选修2-3第一章第一节课。分类加法计数原理和分步乘法计数原理是排列、组合的基础，学生对这两个原理的理解，掌握和运用，成为学好本章的一个关键。2.教学目标：知识和技能目标：（1）.能根据具体问题的特征，选择运用分类计数原理、分步计数原理；（2）.能综合运用两个原理解决一些简单的实际问题；（3）.会用列举法解一些简单问题，并体会两个原理的作用.过程和方法目标：

学生经历两个原理发现过程，感受和体会通过归纳，类比把实际问题抽象、概括为数学原理的一般思想方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力

情感和价值目标：

通过对身边

实际问题的解决，使学生感受数学的作用与价值，提高学生学习兴趣，养成积极思考，勇于探索发现问题、的良好习惯3.教学重点、难点：重点：运用两个原理解决一些简单的实际问题；难点：分类计数原理与分步乘法原理的综合应用评测练习课前导入练习：如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有3条路；从甲地到丙地有4条路，从丙地到丁地有2条路.从甲地到丁地共有多少条不同的路线？课内跟踪练习：练习1.如图，一条电路从A处到B处接通时，可有多少条不同的线路？练习2.如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上5种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？练习3.某商场有6个门，如果某人从其中的任意一个门进入商场，并且要求从其他的门出去，共有多少种不同的进出商场的方式？练习4.甲、乙、丙3个班各有三好学生3,5,2名，现准备推选两名来自不同班的三好学生去参加校三好学生代表大会，共有种不同的推选方法？课后巩固练习：1.从5名同学中选出正，副组长各一名，共有种不同的选法.2.某电话局管辖范围内的电话号码由8位数字组成，其中前4位的数字是不变的，后4位数字都是0到9之间的一个数字，那么这个电话局最多有个.3.设A={a,b,c,d,e,f},B={x,y,z},从A到B共有多少种不同的映射?4.由数字0，1，2，3，4，5可以组成多少个三位数？5.积展开后共有多少项？课后反思本节课的设计意图;通过问题形式，引导学生在解决问题的过程中获取新知；由浅入深，螺旋上升，由特殊到一般，充分体现新课程理念；引导学生自主学习的过程中，渗透思想发福的教育。课堂亮点：本节课的高潮在于课堂练习的形式，涂色练习，同学们有分布图色的，有分类涂色的，大家积极讨论，及时就诊错误解答，达到预期的目的，效果较好。这节课的不足：1．没有对学生的学习活动给予积极评价高中数学新课程要求既要关注学生数学学习的结果，又要关注他们数学学习的过程，既要关注学生数学学习的水平，又要关注他们在数学学习活动中所表现出来的情感变化。这节课中没有鼓励他们，但他们勇于回答数学问题的勇气还是值得肯定的，在同学们讨论练习二时，对有同学说可以有小学知识去做时，我也没有很好表扬这位同学很有“悟性”，在讨论时，有的同学确实不会做题，我也没有对他们这种勇于探索的精神和善于与人合作交流的态度进行表扬。心理学强调积极的评价和真诚的鼓励确实使人振奋。我想