721多元函数的极限与连续

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7.2(1)多元函数的极限与连续一、多元函数的极限二、多元函数的连续

一、多元函数的极限以二元函数为例进行探讨.以二元函数为例进行探讨.定义8.2设二元函数f(P)=f(x,y)的定义域为D,P(x0,y0)0

的聚点，是D的聚点，假使存在常数A,使得对任意给定的正数ε,总存在

正数δ,只要点P(x,y)∈DIU0(P,δ)时，就有0|f(P)A|=|f(x,y)A|ε时的极限，则称A为函数f(x,y)当P(x,y)趋于P(x0,y0)时的极限，记作0P→0P

limf(P)=A或

(x,y)→x0,y0)(

lim

f(x,y)=A

也记作f(P)→A(P→P)或f(x,y)→A((x,y)→(x0,y0))0

我们把二元函数的极限叫做二重极限.仿此可定义n元函数我们把二元函数的极限叫做二重极限.的极限.的极限.注意:注意二重极限存在，二重极限存在，必需是当动点P(x,y)在D上以任何方

式趋于定点P(x0,y0)时，f(x,y)都无限接近于A.假使仅当P(x,y)0以某一特别方式，以某一特别方式，例如沿一条定直线或定曲线趋于P(x0,y0)时，0存在极限.即使f(x,y)无限接近于A,也还不能断定f(x,y)存在极限.但是

趋于不同的值，假使当P(x,y)以不同方式趋于P(x0,y0)时，f(x,y)趋于不同的值，0

的极限不存在.则可以断定f(x,y)的极限不存在.

例1证明

证明由于

(x,y)→(2,3)

lim(2x+y)=7.

|(2x+y)7|=|2(x2)+(y3)|≤2|x2|+|y3|

且

|x2|≤(x2)2+(y3)2,|y3|≤(x2)2+(y3)2

故对任意给定的正数ε,当0(x2)2+(y3)2δ时，有|(2x+y)7|2+δ=3δδ

于是，只要取δ=,则当0(x2)2+(y3)2δ时，于是，3就有|(2x+y)7|ε(x,y)→(2,3)

ε

因此

lim(2x+y)=7

例2

考察以下函数的极限：考察以下函数的极限：sinxy1(1)lim(2)limxysin2(x,y)→(0,1)(x,y)→(0,2)xx+y2xyP(x,y)趋于(0,0)时的极限(3)f(x,y)=22当点x+ysinxysinxy=limy=12=2(x,y)→(0,2)(x,y)→(0,2)xxylim1limxy=01=0,而|sin2|≤12(x,y)→(0,1)x+y(x,y)→(0,1)

解(1)

(2)由于

故

limxysin

1=022x+y

(3)当点P(x,y)沿x轴趋于点(0,0)时，

limf(x,y)=limf(x,0)=lim0=0x→0y=0x→0x→→0

当点P(x,y)沿y轴趋于点(0,0)时，limf(x,y)=limf(0,y)=lim0=0.y→0x=0y→0y→→0

虽然点P(x,y)沿上述两种特别方式趋于原点时函数极限存在并

且相等，趋于原点时，且相等，但当点P(x,y)沿直线y=kx趋于原点时，有xykx2klim=lim2=x→x+k2x20(x,y)→(0,0)x2+y21+k2y=kx

取不同值时，上述极限值显然也不同.当k取不同值时，上述极限值显然也不同.因此

当(x,y)→(0,0)xy的极限不存在.时，f(x,y)=2的极限不存在.2x+y

二、多元函数的连续性仍以二元函数为例进行探讨.仍以二元函数为例进行探讨.与一元函数中连续与休止的概念

类似，可以给出二元函数连续的定义.类似，可以给出二元函数连续的定义.定义8.3设二元函数f(P)=f(x,y)的定义域为D,P(x0,y0)0

的聚点，是D的聚点，且P(x0,y0)∈D,假使0(x,y)→x0,y0)(

lim

f(x,y)=f(x0,y0)

处连续.则称f(x,y)在点P(x0,y0)处连续.假使f(x,y)在D的每一点处都连0

上连续，上的连续函数；续，则称f(x,y)在D上连续，或称f(x,y)是D上的连续函数；不连续，的休止点.假使f(x,y)在点P(x0,y0)不连续，则称P为f(x,y)的休止点.00

需指出的是，需指出的是，函数f(x,y)在休止点P处可以没有定义，另外，0处可以没有定义，另外，f(x,y)不仅可以有休止点，不仅可以有休止点，且有时休止点还可以形成一条曲线称为

休止线.休止线.例如，例如，(0,0)是函数f(x,y)=f(x,y)=

1的休止点，的休止点，x2+y2=1是函数22x+y

1的休止线.的休止线.22x+y1

和一元函数一样，和一元函数一样，利用多元函数的极限运算法则可以证明，多元连续函数的和，以证明，多元连续函数的和，差，积，商(在分母不为零处)仍是连续函数，为零处)仍是连续函数，多元连续函数的复合函数也是连续函数.是连续函数.与一元函数类似，根据上面所述连续函数和，与一元函数类似，根据上面所述连续函数和，差，商的连续性及连续函数的复合函数的连续性，积，商的连续性及连续函数的复合函数的连续性，再利用初等函数的连续性，可得如下结论：利用初等函数的连续性，可得如下结论：一切多元初等函数在其定义区域内是连续的.一切多元初等函数在其定义区域内是连续的.其中定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域.定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域.因此，因此，在求多元初等函数f(P)在点P处的极限时，只要点P在0处的极限时，0函数的定义区域内，则由函数的连续性，函数的定义区域内，则由函数的连续性，该极限值就等于函数在点P0的函数值，的函数值，即P→0P

limf(P)=f(P)0

例3

x+y.求lim(x,y)→(1,2)xy

解

函数f(x,y)=

x+y是初等函数，是初等函数，它的定义域为xy

D={(x,y)|x≠0,y≠0}

故存在P(1,2)的一邻域U(P)D,因此由函数的连续性即得00

x+y3lim=f(1,2)=(x,y)→(1,2)xy2

最终，对应于闭区间上一元连续函数的性质，最终，对应于闭区间

上一元连续函数的性质，列举几个在有界闭区域上连续的多元函数的性质