第五知识块数列知识网络及题型解读

第五知识块数列知识网络及题型解读考点透析高考对数列的考查比较全面，重点是等差、等比数列的定义、通项公式、前n项和公式、等差（比）中项及等差和等比数列性质的灵活运用；在能力要求上，主要考查学生的运算能力，逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力，其中考查思维能力是支柱，运算能力是主体，应用是归宿．主要考点有：1．数列的概念和简单表示法（1）了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式）；（2）了解数列是自变量为正整数的一类函数．2．等差数列、等比数列（1）理解等差数列、等比数列的概念；（2）掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式；（3）能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；（4）了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系．知识网络2022考纲解读1、理解数列的概念，了解数列通项公式的意义．了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项．2、理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和的公式，并能解决简单的实际问题．3、理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题．重难点重点:等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式难点：递推数列及与其他知识点结合2022命题趋势1、数列是特殊的函数，而不等式则是深刻认识函数和数列的重要工具，三者的综合求解题是对基础和能力的双重检验，而三者的求证题所显现出的代数推理是近年来高考命题的新热点；2、数列推理题是新出现的命题热点.以往高考常使用主体几何题来考查逻辑推理能力，近两年在数列题中也加强了推理能力的考查；3、数列在历年高考中都占有较重要的地位，一般情况下都是一个客观性试题加一个解答题，分值占整个试卷的10%左右；4、客观性试题主要考查等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n项和公式等内容，对基本的计算技能要求比较高；5、数列解答试题理科多与不等式联系，而文科往往与等式相关．考查的知识重点和热点是数列的通项公式、前项和公式以及二者之间的关系，等差数列和等比数列，归纳与猜想，数学归纳法．考查的题型出现比较多的如不等式证明，比较大小，参数取值范围的探求，判定一个数列是否等差数列或等比数列，数列应用性问题、探索性问题在高考里多有涉及．（也可能是简单解答题）。数列多与函数、不等式、方程、三角函数、解析几何等知识相交汇，以便考查学生在学习数学时对知识的灵活变通、融合与迁移，考查学生数学视野的广度和进一步学习数学的潜能．近年来加强了对递推数列考查的力度，和常见数学思想方法的应用，如：函数思想、方程思想、数形结合、分类讨论、化归与转化。这点应当引起我们高度的重视．备考指导在进行数列一轮复习时，建议可以具体从以下几个方面着手:1、运用基本量思想(方程思想)解决有关问题；2、注意等差、等比数列的性质的灵活运用；3、注意等差、等比数列的前n项和的特征在解题中的应用；4、注意深刻理解等差数列与等比数列的定义及其等价形式；5、根据递推公式，通过寻找规律，运用归纳思想，写出数列中的某一项或通项，主要需注意从等差、等比、周期等方面进行归纳；6、掌握数列通项an与前n项和Sn之间的关系；7、根据递推关系，运用化归思想，将其转化为常见数列；8、掌握一些数列求和的方法(1)分解成特殊数列的和(2)裂项求和(3)“错位相减”法求和9、以等差、等比数列的基本问题为主，突出数列与函数、数列与方程、数列与不等式、数列与几何等的综合应用．热点题型解读考点一、数列的有关概念1、（2022安徽文5）设数列的前n项和，则的值为（A）15(B)16(C)49（D）64【解析】.【方法技巧】直接根据即可得出结论.2、（2022福建理11）在等比数列中,若公比,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式．【解析】由题意知，解得，所以通项。【命题意图】本题考查等比数列的通项公式与前n项和公式的应用，属基础题。考点二、等差数列及前n项和3、（2022全国卷2理4）如果等差数列中，，那么（A）14（B）21（C）28（D）35【解析】【命题意图】本试题主要考查等差数列的基本公式和性质.4、（2022福建理3）设等差数列的前n项和为,若,,则当取最小值时,n等于A．6 B．7 C．8 D．9【解析】设该数列的公差为，则，解得，所以，所以当时，取最小值。【命题意图】本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力。5、（2022山东理18）已知等差数列满足：，，的前n项和为．（Ⅰ）求及；（Ⅱ）令bn=(nN*)，求数列的前n项和．【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为d，因为，，所以有，解得，所以；==。（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以bn===，所以==，即数列的前n项和=。【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式的应用、裂项法求数列的和，熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。6、已知等差数列的前n项和为，且，.数列是等比数列，（其中）（I）求数列和的通项公式；（II）记.解析：（I）公差为d，则.设等比数列的公比为， .（II） 作差： .点评：本题考查了等差数列与等比数列的基本知识，第二问，求前n项和的解法，要抓住它的结特征，一个等差数列与一个等比数列之积，乘以２后变成另外的一个式子，体现了数学的转化思想。考点三、等比数列及前n项和8、（2022全国卷1文4）已知各项均为正数的等比数列{}，=5，=10，则=（）(A)(B)7(C)6(D)【解析】由等比数列的性质知,所以,所以【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想.9、（2022天津理6）已知是首项为1的等比数列，是的前n项和，且，则数列的前5项和为（A）或5（B）或5（C）（D）【解析】显然q1，所以，所以是首项为1，公比为的等比数列，前5项和.【温馨提示】本题主要考查等比数列前n项和公式及等比数列的性质，属于中等题。在进行等比数列运算时要注意约分，降低幂的次数，同时也要注意基本量法的应用。10、（2022安徽文21）设是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在轴的正半轴上，且都与直线相切，对每一个正整数,圆都与圆相互外切，以表示的半径，已知为递增数列.(Ⅰ)证明：为等比数列；（Ⅱ）设，求数列的前项和.【命题意图】本题考查等比列的基本知识，利用错位相减法求和等基本方法，考察抽象概括能力以及推理论证能力.【解题指导】（1）求直线倾斜角的正弦，设的圆心为，得，同理得，结合两圆相切得圆心距与半径间的关系，得两圆半径之间的关系，即中与的关系，证明为等比数列；（2）利用（1）的结论求的通项公式，代入数列，然后用错位相减法求和.考点四：数列创新题11、（2022江苏）将全体正整数排成一个三角形数阵：1123456789101112131415………………按照以上排列的规律，第行（）从左向右的第3个数为解：前n－1行共有正整数1＋2＋…＋（n－1）个，即个，因此第n行第3个数是全体正整数中第＋3个，即为．点评：本小题考查归纳推理和等差数列求和公式，难点在于求出数列的通项，解决此题需要一定的观察能力和逻辑推理能力。12、定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做此数列的公和；已知数列{an}是等和数列,且a1=2，公和为5，那么的值为；这个数列的前n项和的计算公式为。解析：由题可得,两式相减得∴数列{an}是周期为2的周期数列,又a1=2,得a2=3,所以∴当为偶数时，；当为奇数时，评注：本题表面看有点繁琐,但只要解题时将阅读信息与所学的定义相结合，则一目了考点五、数列与解析几何13、设F是椭圆的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点Pi（i=1，2，3，…），使|FP1|，|FP2|，|FP3|，…组成公差为d的等差数列，则d的取值范围为.解析：由椭圆第二定义知P21P1xyoFPi/Pi，这些线段长度的最小值为右焦点到右顶点的距离即=，最大值为右焦点到左顶点的距离即P21P1xyoFPi/Pi评注：本题很好地将数列与椭圆的有关性质结合在一起，题型新颖，且有一定的难度，做后让人回味无穷，可见命题设计者的独具匠心。解题的关键是先用椭圆有关性质确定该数列的最大项、最小项，然后根据数列的通项公求出公差的取值范围。图B14、设平面内有条直线，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用表示这条直线交点的个数，则=____________；当时，（用表示）。图B答案：5，解析：由图B可得，由，，，，可推得∵n每增加1，则交点增加个，∴。点评：解决此类问题的思路是先将实际问题转化为数列模型来处理。考点六、数列与函数15、已知数列满足，且．（1）求数列的通项公式；（2）数列是否存在最大项？若存在最大项，求出该项和相应的项数；若不存在，说明理由．点拔：根据所给的条件，，从方程的角度来思考，将当成末知数，则可得到一个关于的一元二次方程，用求根公式可求得．第（2）问建立关于n的函数，再利用导数来判断函数的单调性，进而可求得最值．解析：（1）由得由一元二次方程求根公式得∵∴（2）由知数列各项满足函数∵当时，∴当时，即函数在上为减函数即有∴数列有最大项，最大项为第一项．点评：本题第（1）问是用方程的思想看待等式，则可以用解方程来求解，通常在解等差数列、等比数列的问题时，常常将题设条件转化成关于和d（或q）的方程（组）通过求解方程（组）来解决问题．求数列中的最值问题一般是建立n的函数，但要注意n的取值为正自然数．考点七、数列与向量16、设轴、轴正方向上的单位向量分别是、，坐标平面上点、分别满足下列两个条件：①且＝＋；②且＝．（1）求及的坐标；（2）若四边形的面积是，求的表达式；（3）对于（2）中的，是否存在最小的自然数M，对一切都有＜M成立？若存在，求M；若不存在，说明理由．点拔：本题首先利用有向线段的向量加法写出向量及的坐标，（2）问中利用直角坐标平面内的四边形面积转化为三角形面积来求解，（3）问是开放性的问题，常是先假设存在，然后去寻找或证明．解析：（1）．

．（2）．（3）．∴，，．，，，等等．即在数列中，是数列的最大项，所以存在最小的自然数，对一切，都有＜M成立点评：本题是向量与数列的结合，其实这里的向量只是个“外衣”，是个载体，利用向量的考点八：数列与不等式17、已知等比数列的首项为，公比满足。又已知，，成等差数列。（1）求数列的通项（2）令，求证：对于任意，都有解析：（1）∵∴∴∵∴∴（2）证明：∵，∴点评：把复杂的问题转化成清晰的问题是数学中的重要思想，本题中的第（２）问，采用裂项相消法法，求出数列之和，由n的范围证出不等式。考点九：数列与概率18、将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为（）Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．解：一骰子连续抛掷三次得到的数列共有个，其中为等差数列有三类：（1）公差为0的有6个；（2）公差为1或-1的有8个；（3）公差为2或-2的有4个，共有18个，成等差数列的概率为，选B点评：本题是以数列和概率的背景出现，题型新颖而别开生面，有采取分类讨论，分类时要做到不遗漏，不重复。考点十：数列与程序框图19、根据如图所示的程序框图，将输出的x、y值依次分别记为；（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）写出y1，y2，y3，y4，由此猜想出数列{yn}；的一个通项公式yn，并证明你的结论;（Ⅲ）求．解析：（Ⅰ）由框图，知数列∴（Ⅱ）y1=2，y2=8，y3=26，y4=80.由此，猜想证明：由框图，知数列{yn}中，yn+1=3yn+2∴∴∴数列{yn+1}是以3为首项，3为公比的等比数列。∴+1=3·3n－1=3n∴=3n－1（）（Ⅲ）zn==1×（3－1）+3×（32－1）+…+（2n－1）（3n－1）=1×3+3×32+…+（2n－1）·3n－[1+3+…+（2n－1）]记Sn=1×3+3×32+…+（2n－1）·3n，①则3Sn=1×32+3×33+…+（2n－1）×3n+1②①－②，得－2Sn=3+2·32+2·33+…+2·3n－（2n－1）·3n+1=2（3+32+…+3n）－3－（2n－1）