二次函数综合题型

二次函数综合题型题型一利用对称性解决距离和最小值问题-涉及动点关键：找到对称关系，将其中某个线段通过对称转化，最后归结到两点之间线段最短，从而找到取得最小值时动点的位置。涉及几何模型：“两点之间的连线中，线段最短”。一般求“变动的两线段之和的最小值”时，一般都应用条件：如图，A、B是直线/同旁的两个定点.这一模型。问题：在直线/上确定一点P，使PA+PB的值最小.方法：作点A关于直线/的对称点连结A'B交/于点P,则PATB V=A'B的值最小与此模型类似的：应用“三角形两边之差小于第三边”，一般求“变动的两线段之差的最大值”时，一般都应用这一模型。例1：如图，巳知抛物线y=ax2+bx+c(a八O)的对称轴为x=l,且抛物线经过A(—1,0)、C(0,—3)两点，与x轴交于另一点B.求这条抛物线所对应的函数关系式；在抛物线的对称轴x=l上求一点M,使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小,并求此时点M的坐标；设点P为抛物线的对称轴x=l上的一动点，求使匕PCB=90。的点P的坐标.1.例2：如图，抛物线y=一为-x+2的顶点为A,与y轴交于点B.4⑴求点A、点B的坐标；(2)若点P是x轴上任意一点，求证：PA-PBWAB；(3)当PA-PB最大时，求点P的坐标练习:交x练习:交x轴于A、B两点，交1、如图，抛物线1、如图，抛物线y'ax'+bx的顶点P的坐标为y轴于点C(0,-V3).(1)求抛物线的表达式.(2)把AABC绕AB的中点E旋转180°,得到四边形ADBC.判断四边形ADBC的形状，并说明理由.(3)试问在线段AC上是否存在一点F,使得AFBD的周长最小，若存在，请写出点F的坐标；若不存在，请说明理由.让我们一起为了孩子的进步而努力!i专业个性化学习社区।.i专业个性化学习社区।.纳思书院NiceEducation2、如图，己知二次函数y=ax2-4x+c的图象与坐标轴交于点A（-1,0）和点C（0,5).（1）求该二次函数的解析式和它与x轴的另一个交点B的坐标.（2）在上面所求二次函数的对称轴上存在一点P（2,-2）,连接0P,找出x轴上所有点M的坐标，使得AOPM是等腰三角形.（3）己知该函数图象的对称轴上存在一点Q,使得4ACQ的周长最小.请求出点Q的坐标.点处出发，沿直线运动到工轴上的某点（设为点E），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的点处出发，沿直线运动到工轴上的某点（设为点E），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点F），最后又沿直线运动到点A，求使点P运动的总路程最短的点E,点F的坐I专业个性化学习社区I题型二与多边形综合-如因动点产生等腰三角形、梯形、三角形面积、三角形相似问题等例3：涉及等腰梯形、三角形相似如图，四边形ABCD是平行四边形，AB=4,08=2，抛物线过A、B、C三点、，与x轴交于另一点D.一动点P以每秒1个单位长度的速度从B点出发沿BA向点A运动，运动到点A停止，同时一动点。从点。出发，以每秒3个单位长度的速度沿OC向点C运动，与点P同时停止.(1)求抛物线的解析式；(2)若抛物线的对称轴与AB交于点E,与x轴交于点F,当点P运动时■间t为何值时〃,四边形POQE是等腰梯形？(3)当，为何值时，以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、3、。为顶点的三角形相似？例4：涉及等腰三角形、三角形面积如图，已知抛物线与x轴交于A(-1,0)、B(4,0)两点，与y轴交于点C(0,3).(1)求抛物线的解析式；(2)点P在x轴下方的抛物线上，且APAB的面积等于AABC的面积，求点P的坐标；(3)点Q是直线BC±的一个动点，若左QOB为等腰三角形，请写出此时点Q的坐标.例5：涉及三角形相似、周长最小问题(2013张家界)如图，抛物线y=ax2+bx+c(aP)的图象过点C(0,1)，顶点为Q(2,3),点D在x轴正半轴上，且OD=OC.(1)求直线CD的解析式；(2)求抛物线的解析式；(3)将直线CD绕点C逆时针方向旋转45。所得直线与抛物线相交于另一点E,求证：△CEQs/ACDO；(4)在⑶的条件下，若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P点和F点移动过程中，APCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这如图，抛物线y=-x2+Z?x+c与x轴交与A(1,O),B(-3,0)两点，(1)求该抛物线的解析式；(2)设(1)中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得AQAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.(3)在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P,使^QgC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及△质的面积最大值.若没有，请说明理由.一II专业个性化学习甄练习:B(3,0)两点，与B(3,0)两点，与y轴交于点C(0,3)。I、如图，己知抛物线与x轴交于A(-1,0)、(1)求抛物线的解析式；(2)设抛物线的顶点为D,在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P,使得APDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若点M是抛物线上一点，以B、C、D、M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标。2、如图，已知抛物线y=%+bx+c与工轴交于A(-4,0)和8(1,0)两点，与y轴交于C点.(1)求此抛物线的解析式；(2)设E是线段仙上的动点，作EF〃AC交BC于F,连接CE,当的面积是面积的2倍时，求E点的坐标；(3)若P为抛物线上A、C两点间的一个动点，过P作y轴的平行线，交AC于Q,当P点运动到什么位置时，线段PQ的值最大，并求此时户点的坐标.fVI专业个性化学习社区 I.3、如图，己知抛物线y=x2+bx+c经过矩形ABCD的两个顶点A、B,AB平行于x轴，对角线BD与抛物线交于点P,点A的坐标为（0,2）,AB=4.（1）求抛物线的解析式；⑵若S△侦二-,求矩形ABCD的面积.24、如图，在平面直角坐标系中，081匕0人且0B=20A,点A的坐标是（一1,2）.（1）求点B的坐标；（2）求过点A、0、B的抛物线的表达式；（3）连接AB,在（2）中的抛物线上求出点P,使得SaabP=SAABO.5、如图，已知抛物线与尤交于A(-1,0)、E(3,0)两点，与y轴交于点B(0,3)。(1)求抛物线的解析式；(2)设抛物线顶点为D,求四边形AEDB的面积；(3)AAOB与ADBE是否相似？如果相似，清给以证明；如果不相似，请说明理由。6、如图，已知抛物线>二。（工-1）2+3右色壬0）经过点A（-2,0），抛物线的顶点为过O作射线OM//AD.过顶点。平行于工轴的直线交射线于点C,B在x轴正半轴上，连结BC.（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P从点。出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为i（s）.问当，为何值时，四边形ZMOP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（3）若。C=OB,动点P和动点Q分别从点。和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿。。和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动.设它们的运动的时间为l（s），连接FQ,当，为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时FQ的长.例7：本题涉及直线和圆相切、距离和最小问题2（2013遵义）如图，己知抛物线y=ax2+bx+c（a*0）的顶点坐标为（4,--）,且与y轴交于点C（0,2）,与x轴交于A,B两点（点A在点B的左边）.（1）求抛物线的解析式及A,B两点的坐标；（2）在（1）中抛物线的对称轴1上是否存在一点P,使AP+CP的值最小？若存在，求AP+CP的最小值，若不存在，请说明理由；(3)以AB为直径的。M相切于点E,CE交x轴于点D,求直线CE的解析式.'纳思书院」'纳思书院」例8：涉及正方形、三角形、圆、垂直平分线如图，在平面直角坐标系中，已知点B(-2V2,0),A(〃7,0)(—JIv〃2<0),以A8为边在x轴下方作正方形ABCD,点E是线段0D与正方形ABCD的外接圆除点D以外的另一个交点，连结BE与相交于点尸.(1)求证：BF=DO；(2)设直线/是△82)。的边8。的垂直平分线，且与BE相交于点G.若G是△位)。的外心，试求经过B旦。三点的抛物线的解析表达式;(3)在(2)的条件下，在抛物线上是否存在点P,使该点关于直线BE的对称点在x轴上?若存在，求出所有这样的点的坐标；若不存在，请说明理由.别为(-1,0),(3,0)。(0,3),过A,B,C三点的抛物线的对称轴为直线/,D为对称轴/上一动点.求抛物线的解析式；求当AD+CD最小时点。的坐标；以点A为圆心，以AD为半径作。A.%1证明：当AD+CD最小时，直线BD与(DA相切.%1写出直线BD与(DA相切时，D点的另一个坐标：I专业个性化学习社区 I2、如图，点”4,0)，以点〃为圆心、2为半径的圆与x轴交于点4、B.己知抛物线9^二一- -…、一八 ，一入一 、，——is,，y=-x过点，和8,与〃轴交于点C.(1)求点。的坐标，并画出抛物线的大致图象.(2)点。(8,〃7)在抛物线y=-C2+/?x+c土点夕为此抛物线对称轴上一个动点,求国+用的最小值.(3)您是过点。的的切线，点尤是切点，求彼所在直线的解析式.3、如图，抛物线y=ax2+/?x-3与x轴交于A8两点，与y轴交于C点、，旦经过点(2,-3。)，对称轴是直线x=l,顶点是(1)求抛物线对应的函数表达式；(2)经过C,M两点作直线与x轴交于点N,在抛物线上是否存在这样的点F,使以点P,AC,N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)设直线y=-x+3与)，轴的交点是。，在线段8。上任取一点E(不与8。重合)，经过AB,E三点的圆交直线BC于点试判断的形状，并说明理由；(4)当E是直线y=-x+3上任意一点时，(3)中的结论是否成立？(请直接写出4、涉及外接圆、直角梯形如图，二次函数y=X2+px+q(p<0)的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C(0,-1),AABC的面积为°。求该二次函数的关系式；(2)过y轴上的一点M(0,m)作y轴上午垂线，若该垂线与△ABC的外接圆有公共点,求m的取值范围；(3)在该二次函数的图象上是否存在点D,使四边形ABCD为直角梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由。易.(I)若尤］花<0，且m为正整数，求抛物线M的解析式；(II)若工］<1,x2>1,求的取值范围；(III)试判断是否存在使经过点A和点B的圆与y轴相切于点C(0,2),若存在，求出m的值；若不存在，试说明理由；(IV)若直线l\y=kx+b过点F(0,7)，与(I)中的抛物线M相交于P,。两点，且使PF1一求直线/的解析式.FQ2

题型四二次函数平移问题例9：涉及抛物线平移、三角函数(2013*株洲)已知抛物线Ci的顶点为P(1,0),且过点(0,1).将抛物线4CI向下平移h个单位(h>0)得到抛物线C2.一条平行于x轴的直线与两条抛物线交于A、B、C、D四点(如图)，且点A、C关于y轴对称，直线AB与x轴的距离是m2(m>0).(1)求抛物线G的解析式的一般形式；当m=2时，求h的值；(3)若抛物线C|的对称轴与直线AB交于点E,与抛物线C2交于点F.求证:tanZEDF-tanZECP=—.例10：涉及抛物线平移、距离和最小问题如图，已知点人(-4,8)和点B(2,〃)在抛物线y=ax2±.(1)求】的值及点B关于x轴对称点P的坐标，并在a•轴上找一点Q,使得AQ+QB最短，求出点。的坐标；⑵平移抛物线欲2,记平移后点A的对应点为A，，点B的对应点为8,点C(-2,0)和点D(-4,0)是x轴上的两个定点.%1当抛物线向左平移到某个位置时，AC+CB最短，求此时抛物线的函数解析式；%1当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A2CO的周长最短？若存在,求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由.题型五抛物线结合旋转、翻转例11：涉及图形旋转问题

如图，在平面直角坐标系中，将一块腰长为5的等腰直角三角板A8C放在第二象限，且斜靠在两坐标轴上，直角顶点C的坐标为(-1,0),点B在抛物线y=ax2-，x-2土..(1)点A的坐标为,点8的坐标为；(2)抛物线的关系式为；(3)设(2)中抛物线的顶点为D,求的面积；(4)将三角板A8C绕顶点A逆时•针方向旋转90°,到达△AB'C’的位置.请判断点B'、C'是否在(2)中的抛物线上，并说明理由.例12：涉及图形翻折、三角形相似如图，二次函数y=ax2+bx+c(。壬0)的图象与尤轴交于A、B两点、，与y轴相交于点C.连结AC、BC,A、C两点的坐标分别为A(—3,0)、C(0,JJ),且当x=—4和x=2时二次函数的函数值y相等.(1)求实数b,c的值；(2)若点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿酗、BC边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动.当运动时间为，秒时，连结MV,将沿M/V翻折，3点恰好落在AC边上的P处，求［的值及点P的坐标；(3)在(2)的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q,使得以3,N,Q为项点的三角形与△ABC相似？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由.

通过IS09001认通过IS09001认I专业个性诲习甄纳思书院NiceEducation题型六一次函数、反比例函数、二次函数的图象和性质综合例13：己知直线Ly=—x+ni（m尹0）交*轴、火轴于A、B两点，点C、M分别在线段0A、AB上，且OC=2CA,AM=2MB,连接MC,将Z\ACM绕点M旋转180°,得到^FEM,则点E在y轴上，点F在直线/上;取线段E0中点N,将ACM沿MN所在直线翻折，得到^PMa其中P与A为对称点.记：过点尸的双曲线为Q,过点M且以B为顶点的抛物线为G，过点P且以M为顶点的抛物线为C3.⑴如图，当m=6时，①直接写出点M、F的坐标，②求C.C2的函数解析式；（2）当m发生变化时，①在G的每一支上，y随工的增大如何变化？请说明理由。②若C2、Q中的y都随着彳的增大而减小，写出x的取值范围,练习:I专业个性化学习社区纳思书院练习:I专业个性化学习社区纳思书院NiceEducation1、涉及反比例函数、概率问题如图，曲线C是函数y=-在第一象限内的图象，抛物线是函