北京市西城区2022年抽样测试高三数学试卷2022.4

北京市西城区2022年抽样测试高三数学试卷（理科）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分.考试时间120分钟.题号分数一二三总分151617181920第Ⅰ卷(共40分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知全集，集合，那么集合等于（）A.B.C.D.2.设i是虚数单位，复数i，则等于（）A.iC.iD.i3.若数列是公比为4的等比数列，且，则数列是（）A.公差为2的等差数列B.公差为的等差数列C.公比为2的等比数列D.公比为的等比数列4.设a为常数，函数.若为偶函数，则等于（）A.-2B.2C.-1D.15.已知直线a和平面，那么的一个充分条件是（）A.存在一条直线b，B.存在一条直线b，C.存在一个平面D.存在一个平面6.与直线和圆都相切的半径最小的圆的方程是（）A.B.C.D.7．设R， 且，，则()A.B.C.D.8.函数f(x)的定义域为D，若对于任意，当时，都有，则称函数在D上为非减函数.设函数f(x)在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件：eq\o\ac(○,1)；eq\o\ac(○,2)；eq\o\ac(○,3).则等于（）A.B.C.1D.北京市西城区2022年抽样测试高三数学试卷（理科）第Ⅱ卷(共110分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9.的值等于___________.10.的展开式中的系数是___________；其展开式中各项系数之和为________.(用数字作答)11.不等式的解集为_____________.12.设O为坐标原点，向量.将绕着点按逆时针方向旋转得到向量,则的坐标为____________.13.给出下列四个函数：①；②；③；④.其中在上既无最大值又无最小值的函数是_________________.（写出全部正确结论的序号）14.已知函数由下表给出：01234其中等于在中k所出现的次数.则=______________；___________.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题满分12分）某个高中研究性学习小组共有9名学生，其中有3名男生和6名女生.在研究学习过程中，要进行两次汇报活动（即开题汇报和结题汇报），每次汇报都从这9名学生中随机选1人作为代表发言.设每人每次被选中与否均互不影响.（Ⅰ）求两次汇报活动都由小组成员甲发言的概率；（Ⅱ）设为男生发言次数与女生发言次数之差的绝对值，求的分布列和数学期望. 16.（本小题满分12分）OAxBy如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴正半轴上，直线AB的倾斜角为OAxBy（Ⅰ）用表示点B的坐标及；（Ⅱ）若，求的值.17.（本小题满分14分）ABDCP如图，在四棱锥ABDCP.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角B-PD-C的大小；（Ⅲ）求点B到平面PAD的距离.18.（本小题满分14分）设R，函数.（Ⅰ）若函数在点处的切线方程为，求a的值；（Ⅱ）当a<1时，讨论函数的单调性.19.（本小题满分14分）已知椭圆C，过点M(0,3)的直线l与椭圆C相交于不同的两点A、B.（Ⅰ）若l与x轴相交于点N，且A是MN的中点，求直线l的方程；（Ⅱ）设P为椭圆上一点,且(O为坐标原点).求当时，实数的取值范围.20.（本小题满分14分）设，对于有穷数列(),令为中的最大值，称数列为的“创新数列”.数列中不相等项的个数称为的“创新阶数”.例如数列的创新数列为2,2,3,7,7，创新阶数为3.考察自然数的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列.（Ⅰ）若m=5,写出创新数列为3,4,4,5,5的所有数列；(Ⅱ)是否存在数列，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出所有的数列，若不存在，请说明理由；（Ⅲ）在创新阶数为2的所有数列中，求它们的首项的和.

北京市西城区2022年抽样测试参考答案 高三数学试卷（理科）题号12345678答案CBABCCDA一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.10.10，24311.12.13.eq\o\ac(○,2)eq\o\ac(○,4)14.注：两空的题目，第一个空3分，第二个空2分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.15.（本小题满分12分）（Ⅰ）解：记“2次汇报活动都是由小组成员甲发言”为事件A.-----------------------------1分由题意，得事件A的概率，即2次汇报活动都是由小组成员甲发言的概率为.---------------------------5分（Ⅱ）解：由题意，ξ的可能取值为2,0,----------------------------6分每次汇报时，男生被选为代表的概率为，女生被选为代表的概率为.；；所以，的分布列为：20P---------------------------10分的数学期望.---------------------------12分16.（本小题满分12分）（Ⅰ）解：由三角函数的定义，得点B的坐标为.---------------------------1分在中，|OB|=2，，由正弦定理，得，即，所以.--------------------------5分注：仅写出正弦定理，得3分.若用直线AB方程求得也得分.（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得，---------7分因为，所以，----------------------------9分又 ，---------------------------11分所以.---------------------------12分17.（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：在中，，，，即，---------------------------1分，平面.---------------------------4分（Ⅱ）方法一：解：由（Ⅰ）知，又，平面，---------------------------5分如图，过C作于M，连接BM，是BM在平面PCD内的射影，，又为二面角B-PD-C的平面角.---------------------------7分在中,,PC=1,，AABDCPM又，，.---------------8分在中,,BC=1,,,二面角B-PD-C的大小为.---------------------------9分方法二：ABDCPxyzM解：如图，在平面ABDCPxyzM则,---------------------------5分过C作于M，连接BM，设，则，，；eq\o\ac(○,1)共线，，eq\o\ac(○,2)由eq\o\ac(○,1)eq\o\ac(○,2)，解得，点的坐标为，，，,，又，为二面角B-PD-C的平面角.---------------------------7分，，，二面角B-PD-C的大小为.--------------------------9分（Ⅲ）解：设点B到平面PAD的距离为h，，，平面ABCD，，，在直角梯形ABCD中，，.在中，，，，，的面积，---------------------------10分三棱锥B-PAD的体积，，---------------------------12分即，解得，点B到平面PAD的距离为.---------------------------14分18.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：函数的定义域为，---------------------------1分.---------------------------4分因为，所以.---------------------------5分（Ⅱ）解：当时，因为，所以，故在上是减函数；------------------------7分当a=0时，当时，，故在上是减函数，当时，，故在上是减函数，因为函数在上连续，所以在上是减函数；--------------------------9分当0<a<1时，由,得x=，或x=.--------------------------10分x变化时，的变化如情况下表：0+0极小值极大值所以在上为减函数、在上为减函数；在上为增函数.-----------13分综上，当时，在上是减函数；当0<a<1时，在上为减函数、在上为减函数；在上为增函数.------------------------14分19.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：设A(x1,y1)，因为A为MN的中点，且M的纵坐标为3，N的纵坐标为0，所以，---------------------------1分又因为点A(x1,y1)在椭圆C上所以，即，解得，则点A的坐标为或，-------------------------3分所以直线l的方程为或.--------------------------5分（Ⅱ）解：设直线AB的方程为或，A(x1,y1)，B(x2,y2)，，当AB的方程为时，，与题意不符.--------------------------6分当AB的方程为时：由题设可得A、B的坐标是方程组的解，消去y得，所以即，则，---------------------------8分因为，所以，解得，所以.--------------------------10分因为，即，所以当时，由，得，上述方程无解，所以此时符合条件的直线不存在；--------------------11分当时，，，因为点在椭圆上，所以，-------------------------12分化简得，因为，所以，则.综上，实数的取值范围为.---------------------------14分20.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由题意，创新数列为3,4,4,5,5的数列有两个，即：（1）数列3，4，1，5，2；---------------------------2分（2）数列3，4，2，5，1.--