《一元二次方程》名师教案

21.1一元二次方程（王鹏鹏）一、教学目标 （一）学习目标1.理解一元二次方程的概念.2.理解一般式的概念及其派生的其他概念.3.应用一元二次方程概念解决一些简单题目.（二）学习重点一元二次方程的有关概念及其一般形式，并用这些概念解决问题.（三）学习难点通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念.二、教学设计（一）课前设计预习任务理解一元二次方程的概念：整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式：，其中：二次项为;一次项为;常数项为c;二次项系数为a;一次项系数为b.预习自测（1）方程是否是一元二次方程？【知识点】HYPERLINK一元二次方程概念【思路点拨】整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次，这样的方程叫做一元二次方程.【解题过程】解：此方程只含有一个未知数，未知数的次数为一次，所以不是一元二次方程.【答案】否（2）方程是否是一元二次方程？【知识点】HYPERLINK一元二次方程概念【思路点拨】整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次，这样的方程叫做一元二次方程.【解题过程】解：此方程含有两个未知数，所以不是一元二次方程.【答案】否（3）一元二次方程的一般形式是.【知识点】HYPERLINK一元二次方程的一般形式.【思路点拨】一元二次方程的一般形式：【解题过程】将原方程化简后整理得，一般形式：【答案】（4）一元二次方程的一次项系数是.【知识点】HYPERLINK一元二次方程的一般形式.【思路点拨】一元二次方程的一般形式：【解题过程】将原方程化整理成一般形式：，一次项系数为-2【答案】-2(二)课堂设计1.问题探究探究一一元二次方程的概念和一般形式★▲●活动①以旧引新问题：有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一个正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖长方体盒子.如果要制作的无盖长方体盒子底面积为3600cm2,那么铁皮各角应切去边长为多少cm的正方形?请大家根据题目设未知数、列出方程.学生回答：设铁皮各角应切去边长为的正方形，由题意知整理所列方程后观察：老师问：方程中未知数的个数和最高次数各是多少？学生回答：方程可化为：.未知数的个数是1个，最高次数是2次.【设计意图】复习设未知数列方程的步骤。通过对旧知识的复习，为新知识的学习作铺垫.●活动②大胆猜想，探究新知观察这两个方程，小组讨论，有何发现？回答下列问题：上面方程整理后含有几个未知数？学生回答：1个未知数.按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？学生回答：2次有等号吗？还是与多项式一样只有式子？学生回答：是等式【设计意图】让学生充分感受所列方程的特点,通过比较，对一元二次方程的概念达到共识，从而为掌握概念作准备.●活动③集思广益，归纳概念老师问：一元二次方程的概念是什么？概念归纳：1.一元二次方程的概念：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式：，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．【设计意图】概括归纳出一元二次方程的概念和一元二次方程的一般形式.●活动④掌握一元二次方程的特点提出问题：(1)一元二次方程的一般形式有什么特点？等号的左、右分别是什么？(2)为什么要限制a≠0，b，c可以为0吗？(3)一元二次方程3x2－x＋2＝0的一次项系数是1吗？为什么？学生回答：一元二次方程是整式方程，等号左边只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2.等号右边为0.学生回答：若则二次项不存在，所以要限制a≠0，b，c可以为0.学生回答：一元二次方程3x2－x＋2＝0的一次项系数不是1，应是-1.老师总结：一元二次方程特殊形式：；；【设计意图】加深对概念的理解，从而达到真正理解定义的目的。●活动⑤类比一元一次方程的根的概念获得一元二次方程的根的概念一元二次方程的根：老师问：一元一次方程的根是什么？学生回答：使一元一次方程成立的未知数的值叫做一元一次方程的解（或根）.老师问：一元二次方程的根的概念是什么？学生回答：使一元二次方程成立的未知数的值叫做一元二次方程的解（或根）.【设计意图】识记、理解相关概念.通过类比，迁移提高.探究二利用一元二次方程的概念解决简单的问题.★▲●活动①一元二次方程的概念和一元二次方程的根的概念的应用例1.判断下列方程是否为一元二次方程？【知识点】一元二次方程的概念【解题过程】（1）不是方程；（2）含有一个未知数并且未知数最高次数为2的整式方程；（3）整理后二次项系数为0；（4）不是整式方程；（5）不是整式方程；（6）二次项系数可能为0.【思路点拨】一元二次方程的特点：首先它是整式方程，然后未知数的个数是1，最高次数是2【答案】（1）否（2）是（3）否（4）否（5）否（6）否【设计意图】通过练习，掌握一元二次方程的概念.练习1.在下列方程中，一元二次方程的个数是（）①3x2+7=0②ax2+bx+c=0③（x-2）（x+5）=x2-1④3x2-=0A．1个B．2个C．3个D．4个【知识点】一元二次方程的概念【解题过程】①3x2+7=0是②ax2+bx+c=0二次项系数可能为0，所以不是一元二次方程③（x-2）（x+5）=x2-1整理后二次项系数为0，所以不是一元二次方程④3x2-=0不是整式方程，所以不是一元二次方程【思路点拨】判断一个方程是否是一元二次方程的依据：(1)整式方程；(2)只含有一个未知数；(3)含有未知数的项的最高次数是2.注意有些方程化简前含有二次项，但是化简后二次项系数为0，这样的方程不是一元二次方程．【答案】A例2．下面哪些数是方程x2+5x+6=0的根？-4，-3，-2，0．【知识点】一元二次方程的根【解题过程】将x=-4代入原方程，，不是将x=-3代入原方程，，是将x=-2代入原方程，，是将x=0代入原方程，，不是【思路点拨】判断一个数是否为方程的解，可以将这个数代入方程，判断方程左、右两边的值是否相等．【答案】-3，-2练习2.已知关于x的一元二次方程的一个根是x=0，则a的值为_________【知识点】一元二次方程的根【解题过程】把x=0代入原方程得，【思路点拨】把所给方程的根代入原方程，再解方程求出所含字母的值【答案】-1【设计意图】通过练习，掌握一元二次方程的根的概念.●活动2一元二次方程的一般形式的应用例3.判断下列方程是不是关于x的一元二次方程，如果是，写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.（1）3x(x+2)=4(x-1)+7（2）(2x+3)2=(x+1)(4x-1)【知识点】一元二次方程的一般形式.【解题过程】（1）原方程整理得：，二次项系数为3、一次项系数为2，常数项为-3.（2）原方程整理得：9x+10=0，因此它不是一元二次方程.【思路点拨】将方程化成一般形式，再根据其一般形式确定它的二次项系数、一次项系数和常数项.【答案】（1）是一元二次方程；3；2；-3（2）不是一元二次方程.练习3.把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、常数项：方程一般形式二次项系数常数项3x2=5x-1(x+2)(x-1)=6【知识点】一元二次方程的一般形式.【解题过程】将3x2=5x-1化为一般形式，二次项系数为3、常数项为1.将(x+2)(x-1)=6化为一般形式，二次项系数为1、常数项为-8.【思路点拨】将方程化成一般形式，再确定二次项系数和常数项.【答案】（1）3；1（2）1；-8【设计意图】理解一元二次方程的一般形式，及其二次项和二次项系数、一次项和一次项系数、常数项.例4.若关于x的方程是一元二次方程，求m的取值范围.【知识点】一元二次方程的概念【解题过程】原方程整理得，因其是一元二次方程，∴m-20,∴m2.【思路点拨】先将原方程化为一般形式，再根据一元二次方程的二次项系数不能为0，求出m的范围.【答案】m2练习4.若关于x的方程是一元二次方程，求m的值.【知识点】一元二次方程的概念【解题过程】是关于x的一元二次方程【思路点拨】一元二次方程的一般形式为.【答案】【设计意图】加强对一元二次方程的概念的理解，不能忽略a0这一隐含条件.●活动3综合应用例5.已知关于x的方程（1）k为何值时，此方程为一元二次方程？并写出该一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项.（2）k为何值时，此方程为一元一次方程?【知识点】一元二次方程和一元一次方程的概念.【解题过程】（1）是一元二次方程该方程的二次项系数为、一次项系数为k+1、常数项为-2.（2）是一元一次方程【思路点拨】根据一元二次方程和一元一次方程的概念分别列不等式（组）求解.【答案】(1)k1，，k+1，-2；（2）k=1练习5.已知关于x的方程当_____________时，是一元二次方程当_____________时，是一元一次方程【知识点】一元二次方程和一元一次方程的概念【解题过程】是一元二次方程是一元一次方程【思路点拨】根据一元二次方程和一元一次方程的概念分别列不等式（组）求解.【答案】【设计意图】加强对一元二次方程和一元一次方程概念的理解例6.已知方程x2+bx+a=0有一根为-a，（a≠0）则下列代数式的值恒为常数的是（）A.abB.C.a+bD.a-b【知识点】一元二次方程的根的概念【解题过程】有一根为【思路点拨】一元二次方程的根就是使原方程成立的未知数的值，所以将根代入原方程.【答案】D练习6．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）(1)满足a+b+c=0时，有根x=_________.(2)满足a-b+c=0时，有根x=_________.(3)满足c=0时，有根x=_________.【知识点】一元二次方程的根的概念【解题过程】（1）当时，一元二次方程ax2+bx+c=0可化为，因此满足a+b+c=0时，有根x=1.（2）当时，一元二次方程ax2+bx+c=0可化为，因此满足a-b+c=0时，有根x=-1.（3）当时，一元二次方程ax2+bx+c=0可化为，因此满足c=0时，有根x=0.【思路点拨】一元二次方程的根就是使原方程成立的未知数的值，所以将根带回原方程.【答案】（1）；（2）；（3）【设计意图】加强对一元二次方程的根的概念的理解和应用.2.课堂总结知识梳理一元二次方程的概念：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式：，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项.一元二次方程的根：使一元二次方程成立的未知数的值叫做一元二次方程的解（或根）.重难点归纳一元二次方程的二次项系数不能为0，其一般形式为：.2.一元二次方程特殊形式有：；；3.判断一个方程是否是一元二次方程的依据：(1)整式方程；(2)只含有一个未知数；(3)含有未知数的项的最高次数是2.注意有些方程化简前含有二次项，但是化简后二次项系数为0，这样的方程不是一元二次方程．4.只有一元方程的“解”可以说成“根”.5.判断一个数是否为方程的解，可以将这个数代入方程，判断方程左、右两边的值是否相等．6.一元二次方程ax2+bx+c=0（a0），当a+b+c=0时，有根x=1；当a-b+c=0时，有根x=-1；当c=0时，有根x=0.（三）课后作业?基础型自主突破1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（）A．ax2+bx+c=0 B．x2+2x=x2﹣1 C．3（x+1）2=2（x+1） D．﹣2=0【知识点】一元二次方程的概念【解题过程】A.可能，不是一元二次方程.B.化成一般形式，不是一元二次方程.C.化成一般形式，是一元二次方程.D.不是整式方程.【思路点拨】一元二次方程的特点：首先它是整式方程，然后未知数的个数是1，最高次数是2.【答案】C2.一元二次方程的一般形式是（）A.ax2＋bx＋c＝0 B.ax2＋bx＋c(a≠0)C.ax2＋bx＋c＝0(a≠0) D.ax2＋bx＋c＝0(b≠0)【知识点】一元二次方程的一般形式【解题过程】一元二次方程的一般形式【思路点拨】提示：抓住一元二次方程的三个特征：①整式方程；②只含一个未知数；③未知数的最高次数是2.【答案】C3.若px2－3x＋p2－p＝0是关于x的一元二次方程，则（）A.p＝1 B.p＞0 C.p≠0 D.p为任意实数【知识点】一元二次方程的一般形式【解题过程】一元二次方程的一般形式【思路点拨】二次项系数不为0.【答案】C4.关于x的一元二次方程（3－x）（3＋x）－2a（x＋1）＝5a的一次项系数为（）A.8a B.－8a C.2a D.7a－9【知识点】一元二次方程的一般形式【解题过程】首先把方程整理为一般形式为x2＋2ax＋7a－9＝0，其中一次项系数为2a.【思路点拨】一元二次方程的一般形式【答案】C5.若方程（m2－4）x2＋3x－5＝0是关于x的一元二次方程，则（）A.m≠2 B.m≠－2 C.m≠－2，或m≠2 D.m≠－2，且m≠2【知识点】一元二次方程的概念【解题过程】二次项系数m2－4≠0【思路点拨】一元二次方程的一般形式【答案】D6.已知0是关于x的方程（m＋3）x2－x＋9－m2＝0的根，则m＝.【知识点】方程的根【数学思想】分类讨论【解题过程】【思路点拨】此题分两种考虑.当m＋3＝0时，方程化为一元一次方程；当m＋3≠0时，方程化为一元二次方程.【答案】能力型师生共研7.当m时，方程（m－1）x2－(2m－1)x＋m＝0是关于x的一元一次方程；当m时，上述方程才是关于x的一元二次方程.【知识点】一元二次方程和一元一次方程的概念【解题过程】一元一次方程（m－1）x2－(2m－1)x＋m＝0一元二次方程（m－1）x2－(2m－1)x＋m＝0【思路点拨】根据一元二次方程和一元一次方程的概念列方程或不等式求解.【答案】8.已知x＝1是一元二次方程ax2＋bx－40＝0的一个根，且a≠b，求的值.【知识点】一元二次方程的根的概念和分式的化简求值【数学思想】整体思想【解题过程】有一根为【思路点拨】一元二次方程的根就是使原方程成立的未知数的值，所以将根带回原方程。【答案】20探究型多维突破9．若b（b≠0）是方程x2+cx+b=0的根，则b+c的值为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【知识点】一元二次方程的根【解题过程】有一根为【思路点拨】一元二次方程的根就是使原方程成立的未知数的值，所以将根带回原方程.【答案】B10.关于x的一元二次方程(m+2)2x2+3m2x+m2-4=0有一个根为0，则2m2-4m+3=_________。【知识点】一元二次方程的根，代数式求值.【解题过程】有一根为【思路点拨】先根据一元二次方程的根的概念求出m的值，再求出代数式的值.【答案】3自助餐1．若方程(m＋2)x|m|＋3mx＋1＝0是关于x的一元二次方程，则m＝_______.【知识点】一元二次方程的概念【解题过程】【思路点拨】根据一元二次方程的概念列不等式组求解。【答案】m=22．若关于x的方程mx2＋(m－1)x＋5＝0有一个解为2，则