动力学普遍定理的综合应用

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一、内容提要

质点和质点系的动力学普遍定理包括动量定理、动量矩定理和动能定理。它们建立了描述质点或质点系的运动特征量（动量、动量矩和动能）与力的作用量（冲量、力矩和功）之间的内在联系，是求解质点和质点系动力学问题的一种基本理论。

1.1动量定理

动量定理建立了质点系动量（或动量变化量）与其上外力（或外力冲量）之间的关系。此外，还研究了动量定理的另一种形式—质心运动定理。详见表1表1动量定理公式定理动量冲量质心动量定理内容表达式质点或质点系机械p??mivi?MvC运动的一种度量t力在一段时间内作元冲量dI?Fdt；冲量I??Fdt0用效果的度量质量中心，反映质?mirir?点系质量分布的点CMdpdt?微质点系的动量对时分间的导数等于外力形系的矢量和式积分形式质点系的动量在一段时间内的变化量等于质点系上外力冲量的矢量和质点系所受外力主矢等于零质点系质量与质心加速度的乘积等于质点系上所有外力的矢量和质点系所受外力主矢等于零?yFeFy，eedpdtX??FX，edpdteX??dpzdt??Feyezp2?p1?p2X?p1X?p2Z?p1Z?I?I??I，p2y?p1y?e?I，eZ守恒一质般心表运达动式定守理恒?Fe?0，p?常矢量；?FX?0，pX?常数MaC?MaCX?MaC??Fe?F??F?eXe，MaCy?，MaCn?F??Fey，MaCZ?，0??FebeZen?F?F?FeeX?0，aC?0，vC?常矢量?0，aCX?0，vCX?常量1.2动量矩定理

1)转动惯量

（1）转动惯量

Jz??mr?ii2?m（xi2i?yi）

21

或Jz?M?2

（2）回转半径

?z?JzM

（3）平行轴定理JZ?JZC?Md的距离。

2

其中，JZC为刚体对质心轴zC的惯性矩，z轴是与zC轴平行的任一轴，d是二平行轴间

2)动量矩定理

质点系动量矩定理的表达式详见表2。质点动量矩定理是质点系动量矩定理的一种特例，故表中不在列出。

表2动量矩定理定理内容动量质点系动量对点和轴之矩矩动量矩定理定点O定轴z质心C转动方程动矩恒理刚平运微方量守定体面动分程质点系对固定点的动量矩对时间的一阶导数，等于作用于该质点系上所有外力对同一点的主矩质点系对定轴z的动量矩对时间的一阶导数，等于作用于该质点系上所有外力对该轴之矩的代数和质点系相对于质心的动量矩对时间的一阶导数，等于作用于该质点系上所有外力对质心的主矩刚体对定轴的转动惯量与角加速度的乘积等于作用于刚体上的主动力对该轴之矩的代数和质点系所受外力对任一固定点（或轴）之矩始终为零，则质点系对该点（轴）的动量矩为常量根据质心运动定理和对质心的动量矩定理，可得刚体平面运动微分方程表达式LO??m（mv）??r?mvL??m（mv）OzzdLOdt??m（FOe）dLzdtdLCdtJzd?dt22??m（Fze）e??m（FCz）?F）?m（F）或Jz???m（zee?m（F?m（FOZ）?0，LO?常矢量）?0，LZ?常量?C??m?x???C??m?y?????JC???F?F?m（F）xyC1.3动能定理

动能定理主要研究力的功与质点（系）具有的动能之间的关系，并用以解决动力学两类问题。

1)力的功和功率

力的功是在一路程中力对物体作用的累积效果的量度。功是一个代数量，单位是N·m

或J。

2

功和功率的具体表达形式如表3所示。

表3功和功率表达式定理内容表达式元功力F在无限小位移上作的功?W?F?dr?Xdx?Ydy?ZdzMM总功力F在路程MM上作的功12w??2M1F?dr??（Xdx?Ydy?Zdz）M12常见力的功常力的功重力的功力矩的功W?Fscos?W??mghW????21MZd?MZ?常数时，W?M（?2??1）Z弹性力的功功率单位时间力所作的功功率质点系动能对时间的一阶导方程数等于作用于质点系的所有力的功率的代数和k22W?（?1??2）2P?dTdt?Wdt??F?v?F?vP或P输入?P有用?P无用?dTdt?2)动能

动能是物体由于速度而具有的能量，它是物体机械运动的另一种度量，动能恒为正值，单位与功一致。动能的表达式如表4所示。质点动能是质点系的一种特例，故表中不在列出。

表4动能表达式研究对象质点系平动刚体动能表达式T?T?12?12mivi2研究对象定轴转动刚体平面运动刚体动能表达式T?T?1212JZ?MvC?22MvC12JC?23)势能

在势力场中，质点从M点运动到零势能点，有势力所作的功称为质点在M点的势能，在不同的势力场中势能的表达式如表5所示。表5势能表达式势力场零势能点位置势能表达式备注重力场z—质点坐标V?mg（z?z0）坐标z0处弹性力场万有引力场弹簧自然位置处无穷远处V?k2?fm1m2r22?—弹簧变形量f—引力常数V??r—质点矢径4)动能定理

动能定理及机械能首恒定理见表6

3

表6动能定理表达式

定理微分形式动能定理积分形式动能定理机械能守恒定理内容质点系动能的微分，等于作用于质点系所有力的元功之和质点系动能在某一段路程上的改变量等于作用在质点系上所有力在这段路程中所作功之和再势力场中，质点系的机械能保持不变表达式dT???WT2?T1??WT?V?常量1.4动力学普遍定理的综合应用

动力学普遍定理的应用，是已知主动力求质点系的运动，或已知质点系的运动求其反力，还有既求力又求运动的问题。有些问题，可以分别用不同的定理求解，即所谓一题多解，还有些问题，如既要求力又求运动的问题，往往需要联合应用几个定理方能求解，即所谓普遍定理的综合应用。

二、解题要点

在具体问题中，能否顺利地确定选用哪一个定理求解，取决于对基本概念理解的程度和经验的多寡。并没有现成的模式可以不加分析地保解百题。现将应用普遍定理求解动力学问题的一般方法、步骤及本卷须知综述如下：

1、首先要弄清题意。这包括分析系统是由哪几个物体组成，各物体间的连接方式，约束类型；每一物体作何种形式的运动；弄清已知量和待求量等等。

2、根据题设条件选用适当定理求解。判断应选中用哪一个定理求解的总原则是：所选定理应描述题设的已知量和待求量之间的关系。例如，

（1）题设中包含力、时间及速度等量时，一般可考虑动量定理或动量矩定理；

（2）题设中包含力（常力或是距离的函数）、距离及速度等量时，一般可考虑动能定理，

（3）动能定理也可以求系统的运动微分方程或加速度；

（4）当质点系的质心加速度已知时，可用质心运动定理求外力。

（5）研究连续介质（液体或气体）的运动时，一般可考虑动量定理和动量矩定理。（6）研究定轴转动刚体的运动规律时，可用定轴转动微分方程或动能定理。

（7）如求约束反力，可用质心运动定理。（8）假使系统由定轴转动物体与平动物体组成时，一般可考虑动量矩定理或动能定理。（9）对平面运动刚体，一般可用平面运动微分方程。

（10）对即求运动又要求力的问题，往往需要普遍定理的综合应用。

3、动量定理（包括质心运动定理）和动量矩定理，均为矢量形式，实际中常用其投影形式，列其方程时要注意正、负号的确定。应用这两个定理时，只需考虑质点系的外力；动能定理是标量形式，应用时一般取整体为研究对象，只能列一个方程，但一般需要考虑运动学的关系，在计算力的功时要注意内力的功不一定等于零。

4、除相对质心的动量矩定理外，各普遍定理只适用于惯性坐标系，因而在计算位移或速度时，必需是绝对位移或绝对速度。

5、要注意判断动量、质心及动量矩守恒的状况。这类问题往往用其他定理不易求解。

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三、范例分析

例1：图1所示滑轮系统，物体A、B的质量分别为m1、m2，滑轮D、E的质量分别为m3、m4，物体B以加速度a下降，不计绳的质量及轴承摩擦。求滑轮E的轴承反力。

图1

解

解题思路：将整个系统作为质点系，用质心运动定理就可求出轮E的轴承的反力。以整体为研究对象，作受力图，并建立坐标系如图示，假设A、B、D的坐标分别为yA、yB和yD，则系统的质心坐标为

?xC?常数??m1yA?m2yB?m3yC?m4?0

y??Cm1?m2?m3?m4?根据质心运动定理，有

dxC（m?m?m?m）?XO12342dt2得XO?