高职高等数学教案第五章定积分及其应用

资料内容仅供您学习参照，若有不妥之处，请联系改正也许删除第五章定积分及其应用§5-1定积分看法与性质一、两个引例1．曲边梯形的面积曲边梯形定义：由直线xa,xb,y0及曲线yf(x)所围成的图形称为曲边梯形。求曲边梯形的面积方法：（1）切割任取分点ax0x1x2xn1xnb，把区间a,b分成n个子区间xi1,xi(i1,2,)，子区间长度为xixixi1。（2）近似在子区间xi1,xi(i1,2,)上任取一点i(i1ii)，则小曲边梯形面积可近似表示为ξxξxAif(ξi)xi。（3）乞降将n个小曲边梯形近似面积相加，则曲边梯形面积的近似为nnAAif(ξi)xi。i1i1（4）极限当nn时，令λmaxx1,x2,,xn,λ0，则Alimξxi。f()λ01i2．变速直线运动的行程设物体作直线运动，速度vv(t),tT1,T2，求这段时间内物体所经过的行程S。求行程方法：（1）切割任取分点T1t0t1t2tn1tnT2，把区间T1,T2分成n个子区间Ti1,Ti(i1,2,)，子区间长度为tititi1。（2）近似在子区间ti1,ti(i1,2,)中可看做匀速直线运动，则在其上任取一点ξti1ξti)，则在子i(i区间中行程可表示为Siv(ξi)ti。（3）乞降将n个子区间行程相加，则总行程可近似为nnSSiv(ξi)ti。i1i1----完好版学习资料分享----资料内容仅供您学习参照，若有不妥之处，请联系改正也许删除（4）极限n当n时，令λmaxt1,t2,,tn,λ0，则Slimξti。iλ0i1二、定积分定义1.定义：设函数f(x)在区间a,b上有界，在a,b中任意插入若干个分点ax0x1x2xn1xnb将区间a,b分成n子小区间xi1,xi(i1,2,)，各子区间的长度为xixixi1，在每个子区间上n任取一个点ξx1ξx，作f()xi的和式f(ξi)xi，i(iii)ξii1令λmaxx1,x2,,xn当λ0时上式极限存在，则称这个极限为函数f(x)在区间a,b上的定积分，记作bnf(x)dxlimf(ξi)xiaλ0i1此中f(x)为被积函数，f(x)dx为被积表达式，x为积分变量，a为积分下限，b为积分上限。b说明：（1）由定积分的定义可知：曲边梯形的面积为Af(x)dxaT2变速直线运动的行程为Sv(t)dtT1（2）定积分的值只与被积函数及积分区间有关，与区间分法和任取函数值没关，与积分变量的字b()bb()母选择没关，即fxdxftdtfuduaaa（3）当ab时，bf(x)dx0abf(x)dxa（4）f(x)dxab定理1：设f(x)在区间定理2：设f(x)在区间

a,b上连续，则f(x)在a,b上可积。a,b上有界，且只存在有限个第一类中止点，则f(x)在a,b上可积。3.几何意义若f(x)0，则b0，则bf(x)dxA；若f(x)f(x)dxAaa----完好版学习资料分享----资料内容仅供您学习参照，若有不妥之处，请联系改正也许删除若f(x)在区间a,b上有正有负，则积分值等于f(x)在x轴上方部分与下方部分面积差。例：利用定义计算定积分11x2dx0解：几何上此定积分表示半径为1的圆第一象限的面积1π所以1x2dx04三、定积分的性质b)()]b()b()性质1：afxgxdxfxdxagxdxabbf(x)dx性质2：kf(x)dxkaabcf(x)dxb性质3：f(x)dxaf(x)dxac注：不论c在a,b内或外等式均成立a,bf(x)1bb性质4：假如在区间上dx1ba，则aa性质5：假如在区间上f(x)bba,bg(x)，则f()()aa性质6：若函数f(x)在区间a,b上的最大值M及最小值m，则m(bbf(x)dxM(ba)a)a性质7(定积分中值定理)：假如函数f(x)在闭区间a,b上连续，则在区间a,b上最少存在一个点bf()dxf(ξ)()ξ，使得axba性质8：|bf(x)dx|b|f(x)|dxaa----完好版学习资料分享----资料内容仅供您学习参照，若有不妥之处，请联系改正也许删除§5-2微积分基本公式一、积分上限函数及其导数定义：设函数f(x)在区间a,b上连续，且设x为a,b上的一点，则函数f(x)在子区间a,x上的x(x定积分fxdx存在，为了方便起见，将积分变量改写为t，则定积分为f(t)dt，记作φ(x)，即a)aφ(x)xf(t)dt，称为积分上限函数。a定理：假如函数f(x)a,b上连续，则积分上限函数φ(x)x在区间f(t)dt在a,b上有导数aφxdxtdtfxxabf(),()dxa(),说明：φ(x)是函数f(x)在a,b上的一个原函数例1：求φ(x)xt4)dt的导数aln(1解：φ(x)dxt4)dtln(1x4)ln(1dxa()a1)的导数例2：求tdtφxxdx解：φ(x)sec(t1)dtsec(x1)dxa----完好版学习资料分享----资料内容仅供您学习参照，若有不妥之处，请联系改正也许删除2xsintdt例3：求lim0x2x02x(2xsintdtsintdt)2sinx解：lim0lim0lim221x0xx0(x)x02x例4：求φ(x)xsint2dt的导数0xsinx解：φ(x)[sint2dt]x(x)x02x二、牛顿莱布尼茨公式定理：假如函数F(x)是连续函数f(x)在区间a,b上的一个原函数，则有bF(b)F(a)f(x)dxa此公式称为牛顿莱布尼茨公式，也称为微积分基本公式。说明：为方便起见，F(b)F(a)也可记为F(x)ab,F(x)ba。证明：已知函数F(x)是连续函数f(x)的一个原函数()x()积分上限函数fdt也是f(x)的一个原函数a则φ(x)F(x)C，则φ(b)F(b)C,φ(a)F(a)C所以φ(b)φ(a)F(b)F(a)，即b()()()fdxFaxbFa1例1：求4x3dx0114解：4x3dx[x4]100410例2：求0dx11x20dx[arctanx]0arctan0arctan(1)π解：111x241例3：求dxx----完好版学习资料分享----资料内容仅供您学习参照，若有不妥之处，请联系改正也许删除e1elneln11解：dx[ln|x|]11x1ex例4：求dx11ex1ex11xx11dxxd(1ln1eln(1e)ln(1解：xe))111e11e1e例5：f(x)2x1x01xx，求f(x)dxe0110x1x0211解：f(x)dxedx(2x1)dxe1(xx)02110e1例6：求xdx1101x20x21解：xdx(x)dxxdx12120110π例7：求1cos2xdxππ1cos2xdx0π2sinxdx解：2sinxdx0ππ2cosx0π2cosx42π0例8：求ysinx在0,π上与x轴所围成图形的面积ππ解：Asinxdx(cosx)020----完好版学习资料分享----资料内容仅供您学习参照，若有不妥之处，请联系改正也许删除§5-3定积分的换元积分法和分部积分法一、定积分换元积分法定理：假如函数f(x)在区间a,b上连续，函数xφ(t)满足(1)φ(t)在αβ,上有连续导数，且值域不越出a,b(2)φα()a,φβ()bb()β[φ()]φ()则有fdxfdtaα注：换元必换限，换元后不用还原。例1：求4xdx01x解：令xt,xt2,dx2tdtx0,t0;x4,t24xdx2(2t22)dt10x01tt22t2ln(122ln3t)0例2：求ln2ex1dx0解：令ex1t,xln(t21),dx2t1dtt2x0,t0;xln2,t1ln2x1dx12t211et2dt2(1t2)dt001012t12πarctant2a2x2dx(a0)例3：求a0解：令xasint,dxacostdt----完好版学习资料分享----资料内容仅供您学习参照，若有不妥之处，请联系改正也许删除x0,t0;xa,tπ2aπa2πa2x2dxa22cos2tdt2(1cos2t)dt00202π2a[t1sin2t]2πa2204注：例3也可以利用定积分的几何意义求解，此定积分表示半径为a的圆在第一象限的面积。π例4：求24cos3xsinxdx0πππ解：2323424cosxsinxdx4cosxdcosxcosx1000注：换元必换限，凑微分不换限。定理：假如f(x)在a,a上连续aa（1）若函数为偶函数，则f(x)dx2f(x)dxa0a0（2）若函数为奇函数，则f(x)dxa34xsinxdx0注：利用此定理，可简化奇偶函数在对称区间上的积分，如x2x431二、分部积分法定理：设函数u(x),v(x)在区间a,b上有连续导数u(x),v(x)，由导数公式(uv)uvbbbuvdxuvdx，移项可得uv可得uvaaabbbbbbuvdxvduuvauvdx，凑微分可得公式udvuvaaaaa此公式为定积分分部积分公式。π例1：求2xcosxdx0ππππππ1解：2xcosxdxxsinx022sinxdxcosx0200221例2：求arcsinxdx0----完好版学习资料分享----资料内容仅供您学习参照，若有不妥之处，请联系改正也许删除111x解：arcsinxdx[xarcsinx]002dx01xπ1112)2d(1x2)(1x220π(111πx2)212024例3：求exdx1解：令xt，则xt2,dx2tdt，x1,t1;x4,t24exdx2222td(et)2(tet22etdt1tetdt1)211122et224e2e12eπ例4：求In2sinnxdx0ππ2解：In1xd(cosx)[cosxsinn1x]02sinn0π(n1)2(1sin2x)sinn2xdx(n1)0

π2cosxdsinn1x0π2(sinn2xsinnx)dx0ππ(n1)2sinn2xdx(n1)2sinnxdx00则In(n1)In2(n1)In，即Inn1In2nI2k2k12k32k531I02k2k22k4422k2k22k442I2k12k12k12k353I1πππ此中I022sinxdx1dx，I1002综上：I2k2k12k32k531π2k2k22k4422I2k12k2k22k4422k12k12k353πππ注：2cosnxdx2sinn(πx)dx2sinn(πx)d(πx)002022----完好版学习资料分享----资料内容仅供您学习参照，若有不妥之处，请联系改正也许删除令πxπ0ππ2cosnxdx2sinntdt2sinnxdxt，则πsinntdt20200§5-4失常积分定义：设函数f(x)在区间[a,)上连续，取ba，极限limbf(x)在无量区f(x)dx称为函数ba间[a,)上的失常积分，记为f(x)dxlimbf(x)dx。aba若极限存在，则失常积分收敛；若极限不存在，则失常积发散散。f(x)在区间(,b]上的失常积分为blimb近似，函数f(x)dxf(x)dxaacf(x)dxf(x)dx函数f(x)在区间(,)上的失常积分为f(x)dxc例1：求失常积分12dx1x解：12dx[arctanx]limarctanxlimarctanxπππ()1xxx22例2：求失常积分2xex2dx0----完好版学习资料分享----资料内容仅供您学习参照，若有不妥之处，请联系改正也许删除解：2xex2dxex2d(x2)ex2000(limex21)1x§5-5定积分的应用一、定积分微元法求曲边梯形面积：用任意一组分点把区间a,b分成长度为xi(i1,2)的n各小区间，曲边梯形的被分成n个小曲边梯形，每个小曲边梯形的面积为Aif(ξi)xi，总面积为Af(ξi)xi，赐予极限可得i1bAlimf(ξi)xif(x)dx。λ01ai定积分微元法：一般地，若某一实质问题中所求量U满足：1.U是与一个变量xa,b有关的量U对于a,b有可加性3.Ui的近似可用f(ξi)xi表示则可用定积分来表示U，步骤为：1.采用一个变量为积分变量，并确立变化区间a,ba,b分为n个小区间，dUf(x)dx----完好版学习资料分享----资料内容仅供您学习参照，若有不妥之处，请联系改正也许删除b3.Uf(x)dxa二、直角坐标系下平面图形的面积a,xb及x轴所围成图形的面积为Ab方法：yf(x)0,xf(x)dxayf(x),yg(x)(f(x)g(x))及xa,xb所围成图形的面积为Abg(x)dxf(x)axφ(y),xψ(y)(φ(y)ψ(y))及yc,yd所围成图形的面积为Adψ(y)dyφ(y)c例1：求由yx2,y3x所围成图形的面积解：图略yx2可得交点为(0,0),(3,9)y3xdA(3xx2)dx3(3x2x339则A)(3xx2)dx02302例2：求由y22x,yx4所围成图形的面积解：图略y22x可得交点为(2,2),(8,4)yx442234Ay)dy(y4yy)18(y422262二、立体体积1．旋转体的体积定义：旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体。此直线称为旋转轴。旋转体都可以看作是由yf(x),xa,xb及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体。方法：过区间旋转体的体积为

a,b内某点x且垂直于x轴的平面左右平移dx体积微元为2dVπf(x)dxVb2dxπ[f(x)]a----完好版学习资料分享----资料内容仅供您学习参照，若有不妥之处，请联系改正也许删除例：求椭圆x2y21绕x轴旋转而成的