混凝土徐变次内力计算的换算弹性模量法

#/14第三节混凝土徐变次内力计算的换算弹性模量法一、徐变次内力概念（一）名词定义1、徐变变形在长期持续荷载作用下，混凝土棱柱体继瞬时变形A（弹性变形）以后，随时间t增e长而持续产生的那一部分变形量，称之为徐变变形A，如图2-4-16所示。图2-4-16棱柱体的徐变变形2、徐变应变单位长度的徐变变形量称为徐变应变e，它可表示为徐变变形量A与棱柱体长度l之cc比值，即Ae=丁 （2-4-15）cl3、瞬时应变瞬时应变又称弹性应变e，它是指初始加载的瞬间所产生的变形量A与棱柱体长度lee之比，即Ae=丁 （2-4-16）el4、徐变系数徐变系数是自加载龄期工后至某个t时刻，在棱柱体内的徐变应变值与瞬时应变（弹0性应变）值的比值，可表示为①（t,t）=e/e0ce（2-4-17）或 e=e•3t,T） （2-4-17a）ce 0（二）徐变次内力超静定混凝土结构的徐变变形当受到多余约束的制约时，结构截面内将产生附加内力，工程上将此内力称为徐变次内力。现举一个最简单的例子来说明。设图2-4-17a中的两条对称于中线的悬臂梁，在完成瞬时变形后，悬臂端点均处于水—ql2平位置，此时，悬臂根部的弯矩均为M==一。随着时间的增长，该两个悬臂梁的端部，将发生随时间t而变化的下挠量A和转角0（图2-4-17a），尽管如此，直到徐变变形终止，tt—9I序槌—9I序槌L该梁的内力沿跨长方向是不发生改变的。图2-4-17徐变变形与徐变次内力现在再考察图2-4-17c的情况，当两悬臂端完成瞬时变形后，立即将合拢段的钢筋焊接和浇筑接缝混凝土，以后虽然在接缝处仍产生随时间变化的下挠量A，但转角0始终为tt零，这意味着两侧悬臂梁相互约束着角位移，从而使结合截面上的弯矩从0-M，而根部t截面的弯矩逐渐卸载，这就是所谓的内力重分布（或应力重分布），直到徐变变形终止。结ql2合截面上的M就是徐变次内力，但它与根部截面弯矩的绝对值之和仍为三厂。t2由此可见，静定结构只产生徐变变形，而不产生次内力，但当结构发生体系转变而成为超静定结构时，由于徐变变形受到了约束才会产生随时间t变化的徐变次内力。二、徐变系数表达式（一）三种理论为了计算结构徐变变形和徐变次内力，就需要知道徐变系数变化规律的表达式。根据一些学者的长期观察和研究，一致认为徐变系数与加载龄期和加载持续时间两个主要因素有关。所谓加载龄期是指结构混凝土自养护之日起至加载之日之间的时间间距，它用、表示，i=0,1,2……，单位以天计；所谓持续荷载时间是指自加载之日工起至所欲观察之日t的时间间距，即/-C。但是，在采用具体的表达式时，却提出了三种不同的观点，即三种理

论。论。1、老化理论该理论认为：不同加载龄期工的混凝土徐变曲线在任意时刻2(t>T)，其徐变增长率相同。如图2-4-18a所示。其中任意加载龄期T的混凝土在t时刻的徐变系数计算公式为叭t,T)=gt,T)一31,T)00（2-4-18）式中：①(t，T0)-5(T，T式中：①(t，T0)-5(T，T)0加载龄期T时的混凝土至t(t>T)时刻的徐变系数；0tt中g）‘口】息化理能卷变曲翱tfbj 先天理的徐变曲或-加载龄期T时的混凝土至T(T>T)时的徐变系数。o o瓶合理比除底曲魏图2-4-18三种徐变理论曲线炉给中口一1)2、先天理论该理论认为：不同龄期的混凝土徐变增长规律都是一样的，如图2-4-18b所示。其中任意加载龄期的混凝土在t时刻的徐变系数计算公式为叭t，T)二中(t-T)0(2-4-19)式中：①(t-T)——以T为原点的徐变基本曲线上，加载持续时间为t-T的徐变系数。003、混合理论兼有上述两种理论特点的理论称混合理论，试验研究表明，老化理论比较符合初期加载情况，先天理论比较符合后期加载情况，如图2-4-18C所示。(二)徐变系数的表达式1、按老化理论的狄辛格表达式狄辛格在20世纪30年代提出了表达徐变变化规律的基本曲线为3t,0)=38,0)(1-e-31) (2-4-20)当该式与老化理论结合起来，便得到叭t,T)=①(8,T)[l-e-3(t-t)] (2-4-21)式中：①(t,0)——加载龄期T=0的混凝土在t(t>t)时的徐变系数；①3,0)——加载龄期T=0的混凝土在t=9时的徐变系数终值；3——徐变增长系数，在冬季零下温度较长地区取3=1〜2,常温地区3=2〜4；①(9,T)——加载龄期T的混凝土在t=9时的徐变系数终值，39,T)=39,0)e-3t。该式曾在我国几座大桥的设计中得到了应用。2、按先天理论的狄辛格表达式当式(2-4-20)与先天理论结合起来,便得到①(t,T)=p(9,0)[l-e-3(t-T)] (2-4-22)该式由于缺乏实测资料印证,故在工程上较少应用。三、结构混凝土的徐变变形计算(一)基本假定当计算由混凝土徐变引起的结构徐变变形时,一般采用下列基本假定：1、不考虑结构内配筋的影响；2、混凝土的弹性模量假定为常值；3、采用徐变线性理论,即徐变应变与应力成正比关系的假定,由此可以应用“力的独立作用原理”和“应力与应变的叠加原理”。(二)静定结构在恒定荷载条件下的徐变变形计算现用图2-4-19所示的等截面悬臂梁作为例子进行阐明。

图2-4-19不变荷载作用下的徐变变形图2-4-19不变荷载作用下的徐变变形设A和6分别为悬臂梁端部作用有恒定垂直力P和恒定弯矩M时的弹性（瞬时）挠度ee和端转角，A（t,t）和6（t,t）分别为相应的加载龄期为①且持续到t时刻的徐变挠度和徐cc变端转角（图2-4-19）。于是便有下列关系式，即(2-4-23)A(t,t)=w(t,t)A=PA•叭t,t)、c e e \(2-4-23)6(t,t)=^(t,t)6=M6•①(t,t)Jc ee式中：Ae——单位力P=1时，在其作用方向上的位移;6——单位力矩M=1时，在作用方向上的转角。e按照结构力学中的虚功原理，A和6可以表示为:eeA=按照结构力学中的虚功原理，A和6可以表示为:eeA=5e11e2211M2,

= 1-dxEIIiM2,

= 2dx°El(2-4-24)式中的M和M分别为P=1和M=1时悬臂梁的内力分布图（图2-4-19c,d）。将式（2-4-24）代入式（2-4-23）便有12代入式（2-4-23）便有TOC\o"1-5"\h\z，,、J1M2, ,、A(t,t)=P- 1-dx•①(t,t)(2-4-25)c EI(2-4-25)f_iM2,,、6(t,t)=M• 2dx.3t,t)c °EI（三）静定结构在随时间t变化的荷载作用下之徐变变形计算0本节前面介绍了随时间t变化的徐变次内力概念。现在以图2-4-20所示先简支后连续的两等跨连续梁作为例子来阐明静定结构在随时间t变化的荷载作用下之徐变变形。从中支点截开，取两跨简支梁（静定结构）作为基本结构，如图2-4-20b所示。由于该结构是采用先分两跨有支架施工而后合拢的体系转换方法，故在此切口处的初始恒载弯矩M=0，基0本结构上只有垂直恒载q和随时间变化的赘余次力矩M（t）的作用。为了分析上的简单起见，暂假定左、右简支梁的徐变系数叭t,T）相同，这样，参照图2-4-20，乂⑴便可以应用两种方

法求解：一个是建立微分方程式的狄辛格法；另一个是建立代数方程式的特劳斯德•巴曾法。图2-4-20变化荷载下的徐变变形应用狄辛格法时，在时间增量dt内，切口两侧变形增量的协调方程则为M(t)5d9+dM(t)5+Adq=0 (2-4-26)22 22 2q应用巴曾法时，在任意时刻t时，切口两侧的变形协调方程则为M(t)5(1+p-9)+A9=0 (2-4-27)22 2q式中：522,A24一在切口处分别由单位力矩M=1和恒载q引起截面两侧的相对弹性角位移；

P(t,T)—-老化系数，又称时效系数，它是考虑结构次内力的徐变因混凝土的老化而逐渐衰减的一个折减系数，其值小于1。d①一一时间增量dt内的徐变系数增量从以上二式不难看出，式(2-4-26)在理论上是比较精确的，但当结构为高次超静定，且各梁段的徐变系数中(t,T)又不相同时，必须建立庞大的微分方程组，求解十分困难。式(2-4-27)中的第二项是代表在t时刻由恒载q在切口处产生的相对徐变角位移，而第一项是代表同一时刻由徐变次内力M(t)在切口处产生的总的相对角位移，它可表为0(t,T)=M(t)8(1+P•6 (2-4-28)c 22它是将M(t)假想地视为不随时间t变化的赘余力，通过老化系数P(t,T)修正徐变系数中(t,T)以后，求得该次内力产生的总变形。但是在该式中却有两个未知量，即M(t)和P(t,T)，故不能求解。为此，我国的金成棣教授采取联立混合求解的方法，具体的思路是应用式(2-4-26)求解M(t)，再将它代入式(2-4-27)，便得到关于P(t,T)的一般表达式，解得这个未知量后，再求解线性代数方程组就不成问题了。下面简单介绍关于式(2-4-26)的求解。首先用822除全式，且令M,=42p8=常数，--22则得dM(t)+[M(t)+M]d5=0e注意到dM=0，则上式可以写成€ d[M(t)+M]_ =~dcpM(t)+Me此微分方程的解为ln[M(t)+M]=~p+C(常数)e利用图2-4-20e，f中的边界条件，当t=T时，则M(t)=0，p(t,T)=0便解得常数C为TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"C=ln(M) (d)e再将式《)代入式1)后，则得\o"CurrentDocument"M(t)=~(1~e~p)M (e)e式(2-4-27)也可以改写成如下的形式p\o"CurrentDocument"M(t)=~—--M (f)+P9e联立解式(e)，(f)，便得到老化系数P(t,T)的一般表达式为：P(t,T)= ~- (2-4-29)1~e~pp最后，参照式(2-4-24)，则完全可以应用式(2-4-28)计算出在随时间t变化的M(t)

荷载下切口处的徐变变形b㊉，即21 _b㊉=0(t,t)=M(t).(2JlM2dx)[1+p(t,t).gt,t)]2tc 0EI(四)换算弹性模量概念为了便于应用结构力学中的力法来求解超静定结构的徐变次内力问题，换算弹性模量：1、应用在不变荷载下徐变变形的换算弹性模量E9E

9E

叭t，t)2、应用在随t变化荷载下徐变变形的换算弹性模量EPQEP9 11+P(t,t)^(t,t)](2-4-32)于是，式(2-4-25)和式(2-4-30)可以写成：TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"A(t,t)=P」lM2dxc EI①\o"CurrentDocument"0(t,t)=MJl^-Ldxc EI①\o"CurrentDocument"0(t,t)=M(t)-2」lMLdxc EIp①以上各式中，E为混凝土的弹性模量，其余符号意义同前。(2-4-30)引入两个广义(2-4-33)(2-4-30)引入两个广义(2-4-33)(2-4-34)(一)计算方法目前，计算超静定梁的徐变次内力的方法有以下几种：1、狄辛格方法；2、扩展狄辛格方法；3、换算弹性模量法；4、以上述理论为基础的有限元法等。本节重点介绍换算弹性模量法计算徐变次内力的原理和步骤，其余方法可参阅有关专著。(二)换算弹性模量法1、原理上面已经介绍了关于按换算弹性模量计算静定结构的徐变变形问题。对于超静定结构

所选取的基本结构，其被截开的截面或者被移去的多余支点(简称赘余联系)处，除了加上荷载产生的赘余力X怜卜，还要施加随时间t变化的徐变赘余力Xit，然后根据变形协调条件，将所有外荷载及赘余力(Xi和et)在赘余力处产生的徐变变形之和使之为零，即Za=0 (2-4-35)i便可求得徐变次内力，只是在计算外荷载以及赘余联系处的内力Xi所引起的徐变变形时，其换算弹性模量应取E［按式(2-4-31)］,在计算由待定的徐变赘余力Xit所引起的徐变变中 it形时，其换算弹性模量应取E「邛［按式(2-3-32)］，其余计算同一般力法原理。2、计算步骤对于同样一座连续梁，可以按照一次现浇成桥的方式施工，也可以采用先简支后连续或者悬臂浇筑法等多种施工方式成桥。施工方法的不同，各节段的加载龄期就不相同，因此其徐变次内力也就不相同。不论采用哪种成桥方式，其一般计算步骤可以大致归纳如下：(1)选取基本结构的计算图式。(2)按不同施工阶段计算赘余联系处的恒载内力乂i。(3)在赘余联系处施加以下的作用力：a.按第(2)步骤算得的恒载内力的总和ZX；ib.待定的徐变次内力X.。it(4)根据已知条件分别计算各梁段的老化系数p(t,T)［按式(2-4-29)］、E［按式中(2-4-31)］和E［按式(2-4-32)］。p①(5)按换算弹性模量和图乘法分别计算所有恒定外力及徐变赘余力在赘余联系处产生的变位，即常变位:载变位：(6)解力法方程组b㊉X常变位:载变位：(6)解力法方程组b㊉X11t1tb㊉X21t2tKZfM2Ab㊉=乙」——i—dxat lEIp①只Zf防防人b㊉=乙」一i__jdx}申lEIAZfMMAA㊉=乙《|—p~匚dxiplEI①+b㊉X+ +A㊉=012t2t 1P+b㊉X++A㊉=0>22t2t 2p(2-4-36)(2-4-37)(7)按解得的徐变次内力Xit分别计算各梁段的内力及变位。(8)将各施工阶段的恒载内力和变形与第7步骤的计算结果迭加，便得整个结构总的受力和变形状态。

3、计算示例［例2-4-3］两等跨等截面连续梁每跨跨长』=48m,采用先预制吊装后合拢固结的施工方法，左半跨的徐变系数①3T）=1，右半跨的徐变系数①3,工）=2，作用于桥上的均1 2布恒载q=10kN/m布恒载q=10kN/m（预制梁自重），如图2-4-21所示，试求t=s时中支点截面的徐变次力矩。图2-4-21示例2-4-3的计算图式解：计算步骤如下:（1）选取从跨中断开的两跨简支梁作为基本结构，由于合拢时，该截面的弯矩和剪力均为零，即X=X=0。12（2）在赘余联系处仅施加一个赘余力，即待定的徐变次内力Mt（图2-4-21b）。（3）计算时效系数及换算弹性模量1一e-q (p111—1（3）计算时效系数及换算弹性模量1一e-q (p111—1=0.5821一e-11-—1=0.657EQ1W,T)Epg①Q,T)2EE-=0.5E2=11+p(8,t卯(8,t)]=Q+0.582x1]=0.632E11+p3T)11+p3T)「3,t)1=11+0.657x2]=0.432E（4）常变位和载变位计算（图乘法）A©2P8©2211

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ETI

中1(5)解力法方程1 2-xlx48X-1+ EIP922 1 1-x48x2880x-+——3 2」EI中21 2 1-xlx48X-=62.35—2 3」 EI2 1 1-x48x2880x-=138240——3 2 EI62.35M+138240=0tM=—2217kN-mt弯矩M即为徐变完成后中支点的最终弯矩，此算例表明对于先简支后连续结构，徐变t将引起支点负弯矩增大，而跨中正弯矩减小。［例2-4-4］两等跨等截面连续梁，跨长为2X20m,按图2-4-22a,c的图式分两阶段施工，中支点两侧采用对称悬浇法，两端采用在支架上进行合龙，设中间梁段的徐变系数①Q,T)=1,两端梁段的徐变系数①3,工)=2，自重均布荷载q=10kN/m,E,I分别为1 2该结构的弹性模量和截面抗弯惯矩，试求t=8时在中支点截面的总弯矩。解：计算步骤如下：(1)取图2-4-22e所示的两跨简支梁作为基本结构，应用结构力学的方法计算出两个施工阶段在中支点截面产生的初始弯矩M=—1280—39.2=-1319.2kNm。0(2)由于徐变系数与例2-4-3相同，故换算弹性模量也相同，即E=EE=0.5E中1 ①2E=0.632EE =0.432Ep①1 p92

*/明［尸聚削:rI卜卜储工: 4034图2-4-22例2-4-4的计算图式（3）常变位与载变位计算由于结构及荷载均为对称的，故常变位和载变位可取其中一跨进行计算，计算中部分利用图乘法，部分采用分段积分法，即8㊉11t1 16 1 */明［尸聚削:rI卜卜储工: 4034图2-4-22例2-4-4的计算图式（3）常变位与载变位计算由于结构及荷载均为对称的，故常变位和载变位可取其中一跨进行计算，计算中部分利用图乘法，部分采用分段积分法，即8㊉11t1 16 1 4x0.22, • [2(0.22+12)+2x1x0.2]+ ( x—x0.2)EI6 EI2 3p^16.61330.0533 1 + 六10.5876——EI EI EIp91 pQ2A㊉1qEI中1[f20(100X-竺X2)42+-^―[f4(100X——X2).二dx]EI0 2 20