追求“教到底、学到底”的教学：以全景式数学重建“数对”为例

追求“教到底、学到底”的教学：以全景式数学重建“数对”为例辩证唯物主义认为：认知能力发展的三个阶段是“感性具体→理性抽象（理智抽象）→理性具体”。从“感性具体→理性抽象”是认识的第一次飞跃；从“理性抽象→理性具体”是第二次飞跃。只有让学生实现第二次飞跃，学生的认识才会更深刻、更综合、更全面、更系统。全景式数学教育认为“只有让学生完整地实现先从“感性具体”上“升理性抽象”，再第二次飞跃和抵达“理性具体阶段的教学，才能称为教到底和学到底的教学。”到底怎样进行教到底、学到底的教学呢？下面，就以全景式数学教育团队自己重建的一个数学主题活动：“定位万物——数对”的设计与施行来进行说明。“定位万物——数对”活动设计及学习过程简录活动1~3活动1：让孩子自己扎气球（见图<1>），记住自己扎破的气球的列与行，并用数对记录（这就是自己的幸运奖位置）

图<1>

活动2：根据自己记录的数对，在大橱子上找到相应的位置，取出自己幸运奖品（见图<2>）。图<2>活动3：学生角色扮演：新上岗的司药，为自己编制抓药的“数对索引”。开始，孩子是这样编的，（1，1）是地肤子，（1，2）是茯苓，（1，3）是冬瓜子……老师们，孩子这样编写，“数对”这项知识用的对吗？毫无疑问，是对的！通过这个编制索引的应用是不是可以检测出学生对“数对”是理解的呢？毫无疑问，是理解的。但是，这些“小药工”（学生）在真正使用这个索引去抓药实践过程中，发现查表格还不如看柜子上的文字更快，也就是说：他们制作的这个“数对索引”根本起不到帮助他很快确定药品位置的作用，即没能用“数对”解决实际问题。也就是说，这时候，学生学习的数学还没有进行到底，遗憾的是，现实教学中，很多的数学教学都到此为止了。这时候的学生，他理解他所学的知识，会做同类型的数学题，却不能用他所学的数学知识高效地解决实际问题。其实，这样习得的所谓的数学知识乃是“死”的数学、空洞的数学，也就是没有教到底、学到底的数学。那么，我们还需做什么，才能称的上真正地教到了底、学到了底的数学呢？全景式数学教育是这样做的。在以上教与学的基础上，我们引导孩子继续研究这样编制的数对索引问题到底出在哪里？如何改进才能利用它很快地确定我们要找的药品位置？经过讨论和实践验证，学生们把数对索引改进为：药名首字的首字母+数对，比如：找“安息香”这味药：→直奔字母A→找到“安息香”药名→再查它后面的数对→找到“安息香”药。这样，“数对”真的就能帮助自己（司药）很快地找到要抓的那味药了，索引真正成为索引，“数对”真正地发挥了它独特的数学价值，成为解决实际问题的利器，而不仅仅是会做数学题。至此，是不是就到底了呢？还不够！学生在实际的抓药实践中，又发现了新问题：首字母一样的药有很多种，如地肤子、杜仲、丁香等等，如何更快地用字母找到药品，继而更快地确定位置（即数对）。学生经过研究又发明了“首字首字母（大写）+次字首字母（小写）+数对”的进阶索引。至此，是不是就到底了呢？还不够！我们尝试换个药店情境：一个大药店里，多处位置，有大小高矮不一的“药柜”，面对这种情形，数对索引如何编织？学生又编制了“字母+数（指几号柜）+数对”的索引。后续，有的学生又发现了这样的现实和问题：有的药店的药柜，每个抽屉左、右两边装着不同药：学生针对此种情况，又发明了“字母+数对+◐或◑的索引”……学到了这里，学生已经能够使用“数对”解决了更多、更复杂、更综合的确定位置问题了。至此，是不是就到底了呢？还不够！全景式数学认为：还可以再进一步，陪伴孩子走向更远、更广阔的未来。

活动4：浪漫拓展我们再引领学生认识地球上的经纬网，引入二维坐标，让学生直观、浪漫地描述位置、刻画、描述图形，即三个顶点的坐标（数对），决定了这个三角形的形状、大小和位置……，开阔学生视野。

然后再浪漫认识三维坐标：烤箱里这个蛋挞（红圈中的）的位置就可以表示为（4，2，3）。然后，再让孩子浪漫地推及四维……至此，学生学得已经很丰富、很透彻、学生解决问题的能力也更强了，是不是就到底了呢？

活动5：深盘本质

全景式数学教育认为还是不够！我们还可以再深刻一点，陪伴孩子走向更深层的数学本质。为此，我们让孩子对比数对、三维坐标、四维坐标……分析、寻找它们内在共通统一的东西，孩子发现：原来，它们的共性共策都是按照一定维序，分别用一个数表示一维的点位，再把几个数结合起来确定某个或某些事物的位置。至此，学生对“数对”认识的理性程度是不是更加地具体了？是的，现在和第二阶段相比真的不一样了，他们“数对”地看、思考、刻画与表达现实世界的状况也更加的不一样了。长此以往这样地教，学生才能真正具备解决问题的实践能力，才能实现认识的第二次飞跃，才能真正逼近或者抵达理性的具体阶段。辩证唯物主义认识论认为只有在第二次飞跃中，理性的认识才能得到检验、得到修正、补充、深化和发展。笔者上述的案例中的子活动3、子活动4、子活动5都是在实践、在应用中“综合和反思研究对象的一系列认知”，让学生的学习实现第二次飞跃，达到理性具体阶段。这时候的“数学”才是真正解决问题的数学，有用的数学，活的数学，有生命的数学；才是更深刻的数学，更本质、更系统、更全面、更理性、更数学的数学。我们认为：达成这些目标的教学，才算得上是真正教到底、学到底了的教学——全景式数学就是在致力建设一种教到底、学到底的数学教育。这样的教与学，能让学生抵达理性具体，能对他所学的数学内容理解更深刻，认识更全面、