等腰三角形 教学设计

第15章轴对称图形与等腰三角形15.3等腰三角形阜阳十五中---陈建抗教学内容的地位与作用分析课程标准要求1.内容要求理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等；底边上的高线、中线及顶角平分线重合；探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°。2.学业要求在直观理解和掌握图形与几何基本事实的基础上，经历得到和验证数学结论的过程，感悟具有传递性的数学逻辑，形成几何直观和推理能力；在具体现实情境中，学会从几何的角度发现和提出问题，经历用几何直观和逻辑推理分析问题和解决问题的过程，培养应用意识和创新意识，提升几何直观、空间观念、抽象能力、推理能力等。（3）教学提示要组织学生经历图形分析与比较的过程，引导学生学会关注事物的共性、分辨事物的差异、形成合适的类，会用准确的语言描述研究对象的概念，提升抽象能力，会用数学的眼光观察现实世界；经历几何命题发现和证明的过程，感悟归纳推理过程和演绎推理过程的传递性，增强推理能力，会用数学的思维思考现实世界；要引导学生经历针对图形性质、关系、变化确立几何命题的过程，体会数学命题中条件和结论的表述，感悟数学表达的准确性和严谨性，会借助图形分析问题，形成解决问题的思路，发展模型观念，会用数学的语言表达现实世界。（二）教材分析本节课主要内容是学习等腰三角形的两条性质“等边对等角”和“三线合一”，再利用“等边对等角”得到等边三角形特殊的性质：等边三角形三个内角相等，每个内角都等于60°。同时，本节课也突出了轴对称性的工具作用，重视操作实验得到命题在学生积累活动经验的作用，注重几何语言证明几何命题，强化思想方法的训练，展示了化归思想。（三）教学内容分析1.等腰三角形是特殊的三角形，所以既具有一般三角形所具有的所有性质，还具有一些特殊的性质，本节通过探究活动发现等腰三角形的特殊性质，并加以证明。2.等腰三角形的性质丰富了证明线段相等、角相等和两条直线垂直的方法，我们还可以利用等腰三角形的性质得到等边三角形的性质。（四）学情分析1.已有的知识：学生知道一般三角形的基本性质：三角形两边之和大于第三边、内角和为180°，知道轴对称的基本性质，了解等腰三角形的定义，并且知道等腰三角形是轴对称图形。学生能够得到等腰三角形形状的纸片等，并利用轴对称提出猜想，学生对图形语言、文字语言、符号语言的转化可能存在障碍；2.具有的能力：学生已经具备一定的抽象能力和归纳能力，并能进行简单的说理，对需要通过添加辅助线构建全等进而证明两个角相等可能存在障碍。3.方式和习惯：学生已经知道可以通过“做一做”、“猜一猜”、“证一证”得到数学结论。二、教学目标1.通过数学实验、动手操作，发现不同形状、大小的等腰三角形具有共同特征，通过探究提出猜想，并用符号语言和文字语言进行描述，发展学生的抽象能力、几何直观和空间观念。2.在探究活动中，引导学生感悟折痕的作用，发现证明中添加辅助线的方法，发展学生的几何直观、推理能力。3.在运用等腰三角形的基本性质解决真实情境中的简单问题的过程中，发展模型观念，提高学生规范表达能力，发展学生的推理能力和应用意识。教学重点等腰三角形性质的发现与探究过程。教学难点能从折痕中感悟添加辅助线的方法。教法与学法教法：启发式学法：观察、动手操作、自主探究、合作交流核心素养表现数学眼光：根据等腰三角形的定义（有两边相等的三角形是等腰三角形）剪出等腰三角形纸片等实物模型，结合图形利用轴对称的知识发现变化规律（重合的边和角）体现了几何直观和空间观念，学生经过大量的等腰三角形材料，总结归纳出猜想，得到论证对象体现了抽象能力、几何直观；数学思考：学生通过实验的过程，得到添加辅助线的方法，通过添加辅助线证明发现的结论，体现了用数学思维解决问题的逻辑推理能力。数学语言：学生利用全等三角形的性质证明定理1和定理2、利用等腰三角形的性质（意识到定理1可以实现从边相等转化为角相等）用符号语言表述数学问题的过程体现了应用意识、模型观念。教学过程一、复习引入1.前面我们学习了三角形相关的知识，请你结合具体的例子，说说三角形的性质。2.画图说明什么是轴对称图形？你能说出一些轴对称的性质吗？3.满足什么条件的三角形是等腰三角形？等腰三角形是特殊的三角形，显然它具有一般三角形所有的性质，这节课我们就来用已经学过的知识探究它的一些特殊性质。设计意图：使学生明确三角形的研究对象和图形的研究套路：一般→特殊，对于等腰三角形的性质是通过轴对称的知识进行探究的，通过复习相关内容，使学生初步感知知识的内在联系。二、探究活动要探究等腰三角形的性质，需要先得到一个等腰三角形模型。活动：把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，把它展开，得到三角形。问题：得到的三角形有什么特点？追问1：说出等腰三角形的腰、底边、顶角、底角。追问2：说出三角形的对称轴。教师画出图形，结合学生手中的等腰三角形纸片，观察图形，继续深入思考：追问3：还可以怎么描述对称轴呢？为什么？追问4：还有哪些相等的线段或角？追问5：我发现你们所得到的三角形形状和大小都不同，再次观察手中的等腰三角形纸片，你们是否有相同的发现呢？追问6：根据以上分析，你能得出什么结论？并把你发现的结论用不同的方式表达出来。设计意图：①激发学生学习兴趣，促进学生进一步探究新知的欲望与热情；②巩固等腰三角形的概念；③由于剪的过程中，折痕两侧能够互相重合，因此得到的等腰三角形是轴对称图形，并且留下折痕，为进一步提出猜想铺垫；④通过将符号语言转化为文字语言，培养学生的语言表达能力，提升抽象能力。三、证明猜想我们不可能剪出所有的等腰三角形，因此接下来我们要做什么？问题1：如何证明文字命题：等腰三角形的两个底角相等？设计意图：引导学生将文字语言利用图形转化成符号语言。已知：如图，在△ABC中，AB=AC。求证：∠B=∠C。追问1：如何证明∠B=∠C？追问2：你是怎么想到的？师生活动：小组交流后，学生表达自己的想法，师生共同书写解题格式、定理的符号语言。在同一个三角形中，可以由边的相等直接转化为角的相等，这为证明角度相等提供了新的方法。设计意图：①示范格式步骤；②引导学生回顾操作过程，感悟添加辅助线的方法，突破难点，提升学生的语言表达能力。问题2：由上面的证明，你又可以得到哪些相等的线段和角？你有什么发现？由两个三角形全等，很容易找到其它相等的线段和角。设计意图：利用定理1的证明过程证明定理2，培养语言表达能力。问题3：怎么理解等腰三角形顶角平分线垂直平分底边？（“三线合一”）“三线合一”是证明角度相等、线段相等、两条直线互相垂直的重要方法，也是等腰三角形添加辅助线实现转化的重要定理，因此需要从三个命题去理解，师生一起写出符号语言。问题4：我们知道，等边三角形是特殊的等腰三角形，除了具有等腰三角形所有的性质，它还具有哪些特殊的性质呢？根据等腰三角形的性质定理1，可以得到等边三角形的三个内角相等，结合三角形内角和180°，可以得到每一个内角都等于60°。对于等边三角形的性质的探究延续了本节课的研究方向：一般→特殊，进一步使学生感悟几何图形的研究方法，积累活动经验。四、运用新知例1：已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D、E是底边上两点，且BD=AD，CE=AE。求∠DAE的度数。问题1：你能求出哪些角的度数?问题2：如果没有AB=AC这个条件，还能求出∠DAE的度数吗？问题3：在等腰三角形的条件下，已知其中一个内角，我们可以怎么求其它内角的度数？师生活动：师生共同分析，一位学生板书，其他学生在下面书写，师生共同分析解题过程中的问题。设计意图：已知的是边的关系，要求的是角度，学生自然想到定理1的作用（实现边到角的转化），结合三角形内角和180°、三角形的外角的性质等求出角度进而培养学生的推理能力、应用意识、模型观念。变式1：已知：如图，D、E是△ABC的边BC上两点，若BD=AD=AE=DE=CE,求∠BAC的度数。变式2：如图所示，已知点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE.求证：BD＝CE.证明线段的相等通常采用全等的方法，这道题可以用全等，也可以用等腰三角形的性质定理，也可以用后续的等腰三角形的判定定理，引导学生多方位、多角度的思考，提升学生的思维品质。追问：遇到等腰三角形的问题，我们可以怎么添加辅助线？生活问题：用等腰直角三角板检验边框是否水平？设计意图：运用等腰三角形的基本性质解决真实情境中的简单问题，发展模型观念，提高学生规范表达能力，发展学生的推理能力和应用意识。五、课堂小结问题1：回顾我们这节课的学习过程，我们用什么方法得到等腰三角形的性质的？问题2：我们是怎么证明定理1的？问题3：以后遇到等腰三角形的问题，我们可以怎么添加辅助线？设计意图：通过回顾本节课从定义到运用的过程，感悟研究图形的性质的一般研究方法，积累活动经验。六、布置作业必做题：133-134面练习1、2、3；139面习题15.32、3；选做题：1.查阅水平仪相关资料；2.探究不等边三角形的性质。必做题巩固本节课的基础知识、基本技能，选做题的第1题通过了解数学文化，提高数学学习兴趣，第2题通过本节课基本思想和基本活动经验的积累进行自主探究活动，培养学生的综合素养。七、设计教学反思本节课的重点是运用已学知识探究等腰三角形特殊的性质，难点是从实验操作中感悟添加辅助线的方法，为了抓住重点，突破难点，帮助学生形成知识体系，为后续学习积累经验，将本节课设置了“复习引入，探究活动，提出猜想，证明猜想，运用新知，课堂小结，布置作业”等环节。本节课从学生就近的知识出发，回顾了三角形的性质以及轴对称的相关概念，这为探究等腰三角形的性质定理、等边三角形的性质等提供了基础，探究活动分成两部分，首先根据轴对称的知识剪出一个等腰三角形，通过观察，得到了对称轴是折痕所在的直线、等腰三角形的两个底角相等，进一步在图形中研究“折痕”，建立起三