2020届高三质量监测数学试题含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精江西省2020届高三质量监测数学（理）试题含解析江西省2020年高中毕业班质量监测理数试卷第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知（i为虚数单位),在复平面内,复数z的共轭复数对应的点在（）A。第一象限 B。第二象限 C.第三象限 D。第四象限【答案】D【解析】【分析】求出复数z，写出，即得对应的点所在的象限。【详解】,复数z的共轭复数对应的点是，在第四象限.故选：.【点睛】本题考查复数的除法运算和共轭复数，属于基础题。2.全集，集合，集合，图中阴影部分所表示的集合为（)A。 B.C。 D.【答案】C【解析】【分析】由图可得，阴影部分表示的集合为.求出集合,即求.【详解】∵集合，,由Venn图可知阴影部分对应的集合为，又或，.故选：。【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题。3。已知抛物线的焦点到准线的距离为，则实数a等于（）A。 B。 C。 D。【答案】A【解析】【分析】把抛物线方程化为标准式，即得a的值。【详解】把抛物线方程化为标准式得，抛物线的焦点到准线的距离为，，.故选：.【点睛】本题考查抛物线的标准方程，属于基础题.4.已知是等比数列，，前n项和为，则“"是“为递增数列”的（）A。充分不必要条件 B。必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】分别求出和为递增数列的充要条件，判断它们之间的关系，即得答案.【详解】是等比数列,,或，的充要条件为或。又，为递增数列的充要条件为,所以“”是“为递增数列的必要不充分条件。故选:。【点睛】本题考查数列的单调性和充分必要条件，属于基础题.5。千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色等的变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后"……小波同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后”，观察了所在地区A的100天日落和夜晚天气，得到如下列联表：夜晚天气日落云里走下雨未下雨出现255未出现2545临界值表P（）0.100.050。0100.0012。7063.8416.63510。828并计算得到,下列小波对地区A天气判断不正确的是（)A。夜晚下雨的概率约为B。未出现“日落云里走"夜晚下雨的概率约为C.有的把握认为“‘日落云里走’是否出现”与“当晚是否下雨”有关D.出现“日落云里走”,有的把握认为夜晚会下雨【答案】D【解析】【分析】把频率看作概率,即可判断的正误；根据独立性检验可判断的正误，即得答案。【详解】由题意，把频率看作概率可得:夜晚下雨的概率约为，故正确;未出现“日落云里走"夜晚下雨的概率约为，故正确；由，根据临界值表，可得有的把握认为“‘日落云里走’是否出现”与“当晚是否下雨”有关，故正确;故错误。故选：。【点睛】本题考查独立性检验,属于基础题。6.圆C的半径为5，圆心在x轴的负半轴上,且被直线截得的弦长为6，则圆C的方程为（）A。 B.C. D.【答案】B【解析】【分析】设圆心为（).根据弦长和半径可求出圆心到直线的距离，再根据点到直线的距离求，即得圆C的方程.【详解】设圆心为（），圆C的半径为5，弦长为6,圆心到直线的距离为。又圆心到直线的距离为,,解得.圆C的方程为，即.故选：.【点睛】本题考查圆的方程，考查直线和圆的位置关系，属于基础题.7。，,的大小关系是（）A。 B。C。 D.【答案】B【解析】【分析】根据对数函数和指数函数的单调性，判断这三个数所在的大致范围,即得大小关系.【详解】，,,，。故选:。【点睛】本题考查指数函数和对数函数的单调性，属于基础题.8.在三角形中，，，，双曲线以A、B为焦点，且经过点C,则该双曲线的离心率为（）A。 B. C。 D。【答案】D【解析】【分析】由余弦定理求出.由题意，求出,即得离心率。【详解】在三角形中,,，，由余弦定理可得,。双曲线以A、B为焦点，且经过点C，.由双曲线的定义得.离心率.故选:。【点睛】本题考查余弦定理、双曲线的定义和简单的几何性质,属于基础题。9.已知函数，，则方程所有根的和等于()A。1 B.2 C。3 D。4【答案】C【解析】【分析】证明函数的图象关于点对称，易知函数在定义域上单调递增.由函数的图象关于原点对称，得函数的图象关于点对称,且函数在定义域上单调递增.又是方程的一个根.当时，令，根据零点存在定理和的单调性，知在上有且只有一个零点,即方程在上有且只有一个根。根据图象的对称性可知方程在上有且只有一个根,且.即可求出方程所有根的和。【详解】设点是函数图象上任意一点，它关于点的对称点为，则，代入，得。函数的图象与函数的图象关于点对称，即函数的图象关于点对称，易知函数在定义域上单调递增.又函数的图象关于原点对称，函数的图象关于点对称,且函数在定义域上单调递增.又是方程的一个根。当时,令，则在上单调递减.,根据零点存在定理，可得在上有一个零点，根据的单调性知在上有且只有一个零点，即方程在上有且只有一个根。根据图象的对称性可知方程在上有且只有一个根，且。故方程所有根的和等于.故选：。【点睛】本题考查函数与方程的综合应用，考查零点存在定理，属于较难的题目.10.如图所示，直线，点A是、之间的一定点，并且点A到、的距离分别为2、4,过点A且夹角为的两条射线分别与、相交于B、C两点，则面积的最小值是（）A. B.C. D。【答案】C【解析】【分析】设与垂线的夹角为，用表示，则的面积，根据两角差的余弦公式和辅助角公式可求面积的最小值。【详解】设与垂线的夹角为，则,，面积，所以当，即当时,面积最小,最小值是.故选：。【点睛】本题考查三角形面积公式、两角差的余弦公式和辅助角公式，属于中档题.11.在三棱锥中,底面为正三角形，，，且.若三棱锥的每个顶点都在球O的球面上,则球O的半径的最小值为()A。 B。 C。 D.【答案】D【解析】【分析】取边的中点D，连接,，可证明面，故，从而证明面.又球心O在过的中心且垂直于面的直线上，即面，故，且.不妨设，则，用表示，即求球O的半径的最小值。详解】因为三棱锥中，底面为正三角形，.又，取边的中点D，连接,,，，又，面，.，,面。底面为正三角形，球心O在过的中心且垂直于面的直线上,即面，。三棱锥的每个顶点都在球O的球面上，。不妨设，则，，即，当时,,所以。故选：。【点睛】本题考查三棱锥的外接球，考查线面垂直的判定定理，属于中档题。12。设是在上的可导函数，且,，，则下列一定不成立的是（）A. B。 C. D.【答案】A【解析】【分析】设，可得设,故为单调递增函数或常数函数.由，，可得，故在区间上是常数函数，可求值，可得的正误.再根据,求出的取值范围,进而判断的正误，即得答案.【详解】是在上的可导函数，且，设，，为单调递增函数或常数函数.又，，在区间上是常数函数，，。又，，。故选：.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性,属于较难的题目。第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两个部分。第13～21题为必考题,每个考生都必须作答。第22～23题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13。的展开式中x的系数是______.【答案】5【解析】【分析】，再按二项式定理展开,即得x的系数。【详解】，的系数为.故答案为：5。【点睛】本题考查二项式定理,属于基础题.14。设向量，向量，且,则等于______.【答案】【解析】【分析】由，得。又，把代入即得答案.【详解】，,..故答案为：。【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示,考查三角函数式的求值，属于基础题。15.已知一个四棱柱的三视图如图(图中小正方形的边长为1），则该四棱柱的全面积等于______.【答案】【解析】【分析】根据四棱柱的三视图画出直观图，即求该四棱柱的全面积。【详解】该四棱柱的直观图如图所示全面积等于.故答案为：.【点睛】本题考查空间几何体的三视图，考查学生的空间想象能力，属于中档题。16.已知数列的通项公式是，在和之间插入1个数，使,，成等差数列;在和之间插入2个数，，使，，,成等差数列；…；在和之间插入n个数,,…，，使，，,…，，成等差数列。这样得到新数列:，，，，，,,，，，…。记数列的前n项和为，有下列判断:①；②；③；④.其中正确的判断序号是______.【答案】①③④【解析】【分析】根据等差数列的性质和数列求和的方法逐一判断：①,可得①的正误；②在数列中是第项，可得②的正误;③由，,得，可得③的正误；④分组求和得,可得④的正误.【详解】①,故①正确；②在数列中是第项,所以,故②错误;③，，故③正确;④，故④正确.故答案为:①③④。【点睛】本题考查等差数列的性质和数列求和，属于较难的题目。三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,共70分。17.已知点O是的外接圆的圆心,，，.(1）求外接圆O的面积.（2)求【答案】（1）；（2）。【解析】【分析】(1）根据余弦定理求出。设外接圆的半径为,由正弦定理得,即求外接圆O的面积；（2）设的中点为,则,则,即可求出数量积.【详解】（1）由余弦定理得，。设外接圆的半径为，由正弦定理得，所以外接圆的面积为。（2)设的中点为，则,.【点睛】本题考查正、余弦定理和向量的数量积,属于基础题.18.如图所示，已知四边形是菱形，平面平面，，.（1)求证：平面平面.（2）若，求二面角的余弦值。【答案】（1）证明见解析；(2）.【解析】【分析】(1）由面面垂直的性质定理可得平面，再由面面垂直的判定定理得平面平面;(2）设与交于点O,连接,可证平面。以O为坐标原点，以，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，即求二面角的余弦值。【详解】(1)证明:菱形中,,又平面平面，平面平面，平面又平面，平面平面。（2）设与交于点O，连接，因为,且，四边形是平行四边形，.，，又平面平面，平面平面，平面，平面。以O为坐标原点,以，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示则，,，，，.设平面的法向量为，则，即，令,则，.又平面的法向量为.设二面角的大小为，则为锐角.，二面角的余弦值为。【点睛】本题考查面面垂直的性质定理和判定定理，考查用向量的方法求面面角，属于中档题.19。2020年春节期间，全国人民都在抗击“新型冠状病毒肺炎”的斗争中.当时武汉多家医院的医用防护物资库存不足，某医院甚至面临断货危机，南昌某生产商现有一批库存的医用防护物资，得知消息后，立即决定无偿捐赠这批医用防护物资，需要用A、B两辆汽车把物资从南昌紧急运至武汉。已知从南昌到武汉有两条合适路线选择，且选择两条路线所用的时间互不影响。据调查统计2000辆汽车，通过这两条路线从南昌到武汉所用时间的频数分布表如下：所用的时间（单位：小时）路线1的频数200400200200路线2的频数100400400100假设汽车A只能在约定交货时间的前5小时出发，汽车B只能在约定交货时间的前6小时出发（将频率视为概率）。为最大可能在约定时间送达这批物资，来确定这两车的路线。（1）汽车A和汽车B应如何选择各自的路线.（2）若路线1、路线2的“一次性费用”分别为3.2万元、1。6万元，且每车医用物资生产成本为40万元(其他费用忽略不计）,以上费用均由生产商承担,作为援助金额的一部分。根据这两辆车到达时间分别计分,具体规则如下（已知两辆车到达时间相互独立，互不影响）：到达时间与约定时间的差x(单位:小时）该车得分012生产商准备根据运输车得分情况给出现金排款，两车得分和为0，捐款40万元，两车得分和每增加1分，捐款增加20万元，若汽车A、B用（1）中所选的路线运输物资,记该生产商在此次援助活动中援助总额为Y（万元），求随机变量Y的期望值，（援助总额一次性费用生产成本现金捐款总额)【答案】（1）汽车A选择路线1，汽车B选择路线2；(2）138.8。【解析】【分析】（1)由题目中的频数分布表列出频率分布表，求出汽车在约定交货时间前5（6）小时出发选择路线1、2将物资运往武汉且在约定交货时间前到达的概率，选择概率较大的路线；（2)设表示汽车A选择路线1时的得分,表示汽车B选择路线2时的得分，分别求出，的分布列，再求出的分布列，求出，即可求出。【详解】（1）频率分布表如下:所用的时间（单位：小时)路线1的频率0。20.40。20.2路线2的频率0.10.40.40.1设,分别表示汽车在约定交货时间前5小时出发选择路线1、2将物资运往武汉且在约定交货时间前到达；、分别表示汽车在约定交货前6小时出发选择路线1、2将物资运往武汉且在约定交货时间前到达；,，，,所以汽车A选择路线1，汽车B选择路线2.(2）设表示汽车A选择路线1时的得分，表示汽车B选择路线2时的得分,，的分布列分别是:012P0。60。20.201P0。90.1设则X的分布列如下：01230.540。240.20.02,所以（万元）所以援助总额的期望值为138。8。【点睛】本题考查频率分布表、离散型随机变量的分布列和数学期望,属于较难的题目.20.已知离心率为的椭圆的左顶点为，左焦点为，及点,且、、成等比数列．（1）求椭圆的方程；（2）斜率不为的动直线过点且与椭圆相交于、两点,记,线段上的点满足,试求（为坐标原点）面积的取值范围．【答案】（1）；(2)．【解析】【分析】（1）由题意可得出关于、的方程组，可求出、的值,进而可求得的值,由此可得出椭圆的方程；(2)解法一：设点、、，将点、的坐标代入椭圆的方程,变形后相减可得,再由、，经过向量的坐标运算求得，由点在椭圆内得到，再由三角形的面积公式可求得面积的取值范围；解法二：设点、、，由、，根据向量的坐标运算得出，设直线的方程为，与椭圆的方程联立，由得出的取值范围，由代入韦达定理并消去，得出,进而得出,再由三角形的面积公式可求得面积的取值范围；解法三:设直线的方程为，与椭圆的方程联立，由得出的取值范围，并列出韦达定理，利用向量的线性运算可得出，并求出原点到直线的距离，利用三角形的面积公式可求得面积的取值范围.【详解】（1）依题意，解得,，所以椭圆的方程是；（2）解法一:设、、,则，相减得：,又由,知，，由,知，,代入式得:，即，又因为点在椭圆内，所以，所以的面积；解法二：设，,，则，,设直线的方程为,代入椭圆的方程得：，由得，．所以,消去得到,所以，因此的面积;解法三：设直线的方程为，代入椭圆的方程得：，由得，．所以,，，原点到直线的距离，所以的面积，因为，所以．【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的中三角形面积的取值范围，以及向量共线的问题,考查方程思想的应用,属于中档题．21。已知函数（其中e是自然对数的底数,a，)在点处的切线方程是.（1）求函数的单调区间。（2）设函数，若在上恒成立,求实数m的取值范围。【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为;(2）.【解析】【分析】（1）求出.由题意求出，，即可求出，，代入，即可求出的单调区间；（2）由（1)知.解法1：要使在上恒成立，只需即可,利用导数求；解法2：要使在上恒成立，等价于在上恒成立.令，则只需即可，利用导数求；解法3：要使在上恒成立，等价于在上恒成立.先证明，可得当时，有，可得,即求实数m的取值范围。【详解】(1）对函数求导得，由条件可知,，解得，，所以。.令得，于是，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.故函数的单调递减区间为，单调递增区间为。（2）由（1）知。解法1：要使在上恒成立,只需即可。因为,，所以在上单调递增.因为当时，,当时，，所以，在上存在唯一的零点,满足，所以,且在上单调递减，在上单调递增，于是由得,此时必有，，两边同时取自然对数，则有，即。构造函数（),则,所以函数在上单调递增，又，所以，即.故，于是实数m的取值范围是。解法2：要使在上恒成立，等价于在上恒成立。令（)，则只需即可.，令(），则，所以在上单调递增,又，,所以有唯一的零点，且,在上单调递减，在上单调递增。因为，两边同时取自然对数,则有，即。构造函数(）,则，所以函数在上单调递增，又，所以，即.所以.于是实数m的取值范围是解法3:要使在上恒成立，等价于在上恒成立.先证明,令（），则，于是,当时，,单调递减；当时，,单调递增，所以，故（当且仅当时取等号）所以,当时，有，所以，即,当且仅当时取等号，于是实数m的取值范围是。【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和