考研数学二分类模拟264

考研数学二分类模拟264解答题1.

设区域D={(x，y)|x2+y2≤1，x≥0}，计算二重积分正确答案：解：记D1={(x，y)|x2+y2≤1，x≥0，y≥0}，则

[考点]二重积分的计算．

[解析]本题可先利用二重积分的对称性，再利用极坐标来计算二重积分．

有时先利用对称性化简被积函数和积分区域，再计算二重积分可以减小计算量．

2.

设函数f(x)在[0，1]上连续，并设正确答案：解：解法1

[考点]交换二重积分的积分次序．

[解析]为了利用这个条件，可考虑交换积分次序，也可利用分部积分法．

本题的关键在于将二重积分转化为

3.

已知f(x)在x=0处的某邻域内具有一阶连续导数，且f'(0)=0，f"(0)存在，求极限正确答案：解：这里ξ介于ln(1+x)与x之间，从而之间，则

[考点]抽象函数求极限．

[解析]利用拉格朗日中值定理求极限．

拉格朗日中值定理是求极限的重要方法之一．

4.

求二元函数z=f(x，y)=x2y(4-x-y)在由直线x+y=6、x轴和y轴所围成的闭区域D上的极值、最大值和最小值．正确答案：解：得D内部的驻点(2，1)．从而

由于在点(2，1)处AC-B2=32＞0且A=-6＜0，故f(2，1)=4是f(x，y)的极大值．

在D的边界x=0(0＜y＜6)和y=0(0＜x＜6)上，z=0．

在D的边界x+y=6(0≤x≤6)上，对于z=f(x，6-x)=2x3-12x2(0≤x≤6)，

令z'=6x2-24x=0，得x1=0，x2=4，且z|x=0=0，z|x=4=-64，z|x=6=0．

综上所述，f(x，y)在D上的最大值为4，最小值为-64.[考点]反常积分的计算．

[解析]换元法求解反常积分．

求二元函数在闭区域上的最值是很多考生较为薄弱的方面．

5.

求函数的间断点并判断其类型．正确答案：解：由题意得，函数f(x)的无定义的点为x=k(k=1，2，…)，x=-1，x=0是分段函数的分界点，是可能的间断点，其余点都是连续点．

当x=k(k=1，3，4，…)时，，则x=k(k=1，3，4，…)是f(x)的无穷间断点．

当x=2时，x=2是f(x)的可去间断点．

当x=0时，则，故x=0是f(x)的跳跃间断点．

当x=-1时，故x=-1是f(x)的可去间断点．

所以，x=k(k=1，3，4，…)为无穷间断点，x=2和x=-1是可去间断点，x=0是跳跃间断点．[考点]分段函数间断点求解．

[解析]根据间断点的单侧极限判断间断点类型．

求函数间断点并判断间断点的类型是考研数学的重要考点．特别是在讨论分段函数的间断点时，不仅要考虑无定义的点，而且要考虑分段函数的分界点．

6.

设平面区域D由x=1，x=2，y=x与x轴围成，计算正确答案：解：如下图所示，

[考点]二重积分的计算．

[解析]本题可利用极坐标来计算二重积分．

本题中积分的计算是很多考生的障碍．

设A为3阶矩阵，向量α1，α2，α3分别为方程组(A+E)x=0，(A-E)x=0和(A-E)x=α2的非零解．7.

证明：α1，α2，α3线性无关．正确答案：解：设有一组数k1，k2，k3，使得

k1α1+k2α2+k3α3=0．

用A左乘上式，得k1(Aα1)+k2(Aα2)+k3(Aα3)=0．因为Aα1=-α1，Aα2=α2，Aα3=α2+α1，所以-k1α1+(k2+k3)α2+k3α3=0，即2k1α1-k3α2=0.由于α1，α2是属于不同特征值的特征向量，所以线性无关，因此k1=k3=0，从而有k2=0.故α1，α2，α3线性无关．[考点]线性相关性的判别，相似对角化的判别．

[解析](1)抽象向量判别线性相关性用定义即可；

(2)利用表示矩阵得到相似关系；

(3)利用思路(2)的相似关系，间接判别相似对角化．

一般来说，相似对角化的判别是通过求特征值和特征向量来实现的，而本题是借助相似关系来间接判别的，这种思路已有过多次考查，请务必关注．

8.

判断A可否相似对角化．正确答案：解：由题意，而由第一问知，α1，α2，α3线性无关，从而P=(α1，α2，α3)可逆．故

记则B的特征值为-1，1(2重)．又3-r(E-B)＜2，所以B不能相似对角化，进而A也不能．[考点]线性相关性的判别，相似对角化的判别．

9.

判断伴随矩阵A*可否相似对角化．正确答案：解：可求得所以

，则C的特征值为1，-1(2重)．又3-r(-E-C)＜2，所以C不能相似对角化，进而A*也不能．[考点]线性相关性的判别，相似对角化的判别．

10.

设函数z=f(u)，方程确定u是x，y的函数，其中f(u)，φ(u)可微；p(t)，φ'(u)连续，且φ'(u)≠1．求．正确答案：解：令v=xy+y-t，则于是

[考点]变限积分的求导，多元隐函数的求导法则．

[解析]本题可看作f有一个中间变量u，且u与x，y有关．

本题将多元隐函数与变限积分的求导结合了起来．

11.

g(x)有二阶导数，g'(0)=-1，g(0)=1，讨论f'(x)在x=0处的连续性．正确答案：解：因

所以

而

因此f'(x)在x=0处连续．[考点]导函数的连续性．

[解析]根据连续及导数的定义判定导函数的连续性．

特别注意本题中g(x)在x=0处二阶可导，所以在求极限时不能用洛必达法则，而只能用二阶导数的定义．

设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且有f(0)=0，f(1)=1，若a＞0，b＞0，

证明：，η∈(0，1)，ξ≠η，使得12.

．正确答案：证明：应用介值定理，，使得f(c)=k，在[0，c]和[c，1]上分别应用拉格朗日中值定理，，且ξ≠η，使得

f(c)-f(0)=f'(ξ)(c-0)，f(1)-f(c)=f'(η)(1-c)，

即

取，代入上式即得

[考点]有关两个中值存在性的证明．

[解析]不同区间上应用拉格朗日中值定理证明．

利用中值定理证明含有多个ξ的关系式或f(n)(ξ)=k的命题(k≠0)，步骤如下：

①作辅助函数F(x)；

②验证F(x)满足罗尔定理；

③由定理的结论知命题成立．

常利用原函数法做辅助函数：

①将欲证结论中的ξ换为x；

②通过恒等变形将结论转化为易消除导数符号的形式；

③用观察法或积分法计算出原函数；

④移项，使等式一边为0，另一边就是所做的辅助函数F(x)，为方便起见，积分常数常常取0．

13.

af'(ξ)+bf'(η)=a+b.正确答案：证明：上分别应用拉格朗日中值定理，，使得

上述两式相加，得

即

af'(ξ)+bf'(η)=a+b．[考点]有关两个中值存在性的证明．

14.

已知函数f(x)=x2ln(1-2x)，当n≥3时，求f(n)(0)．正确答案：解：易求得由莱布尼茨公式得

[考点]乘积函数的高阶导数．

[解析]莱布尼茨公式求高阶导数．

在利用莱布尼茨公式计算函数的高阶导数时，要熟记常见初等函数的高阶导数公式．另外，多项式函数有(xn)(n)=n!，(xn)(n+1)=0，其中n为正整数．

15.

求不定积分∫e-|x|dx.正确答案：解：根据原函数的连续性有-1+C=1+C1，即C1=C-2，因此，[考点]分段函数的不定积分求解．

[解析]根据分段函数的定义分区间求解不定积分．

对于分段函数的不定积分，各区间段内利用不定积分公式，在分界点处根据原函数的连续性确定各积分常数之间的关系．

16.

设且g(0)=g'(0)=0，g"(0)=4，求f'(0)．正确答案：解：[考点]导数定义及洛必达法则．

[解析]分段函数分界点导数的定义．

分段函数在分界点处的可导性，要用导数的定义求．另外，要注意洛必达法则成立的条件，要求f(x)和g(x)在x=0的某去心邻域内都可导，并不是说在x=0处可导，所以第一步可以利用洛必达法则，第二步不能利用洛必达法则，而只能利用二阶导数的定义．

17.

若a＞b＞0，n＞1，则nbn-1(a-b)＜an-bn＜nan-1(a-b)．正确答案：解：令f(x)=xn，x∈[b，a]，显然f(x)在[b，a]上满足拉格朗日中值定理的条件，故存在ξ∈(b，a)，使得f(a)-f(b)=f'(ξ)(a-b)，即an-bn=nξn-1(a-b)．

注意到0＜b＜ξ＜a，n＞1，故0＜bn-1＜ξn-1＜an-1．

因此，nbn-1(a-b)＜an-bn=nξn-1(a-b)＜nan-1(a-b)．[考点]有关常数的不等式证明．

[解析]构造函数利用拉格朗日中值定理证明．

利用拉格朗日中值定理证明不等式的关键是通过要证明的不等式来确定函数f(x)及其区间[a，b]，然后验证函数f(x)在区间[a，b]上满足拉格朗日中值定理的条件．

18.

正确答案：解：

[考点]函数极限计算．

[解析]等价无穷小代换求极限．

根据已知极限求含有抽象函数的极限，一般情况下不能利用洛必达法则，可借助等价无穷小代换求解．

19.

设e＜a＜b＜e2，证明：正确答案：证明：解法1令f(x)=ln2x，对f(x)在[a，b]上应用拉格朗日中值定理，存在，使得

，所以φ(x)在(e，+∞)内单调减少，因此

解法2引进辅助函数将问题转化为证明函数不等式．先令然后利用单调性证明F(x)＞0(a＜x≤b)．

由于

因此F'(x)在[e，+∞)上单调减少．所以，当e＜x＜e2时，有

故F(x)在[e，e2]上单调增加，所以，当e＜a＜x≤b＜e2时，有F(x)＞F(a)=0．

特别地，当x=b时，有F(b)＞0，即[考点]利用拉格朗日中值定理证明不等式．

[解析]构造函数满足中值定理的条件．

20.

已知f(x，y)满足，f(0，y)=y2+2y，求f(x，y)的极值．正确答案：解：在两端对y积分，得

在上式两端对x积分，得

f(x，y)=(y2+2y)ex+xex+C(y)，

则由f(0，y)=y2+2y得C(y)=0，故

f(x，y)=(y2+2y)ex+xex．

在点(0，-1)处，AC-B2=2＞0且A=1＞0，故f(x，y)有极小值f(0，-1)=-1.[考点]求多元函数的极值，已知偏导数求函数的表达式．

[解析]本题应先求出f(x，y)的表达式，再求其极值．

本题将已知偏导数求函数的表达式与求二元函数的极值结合了起来．

21.

已知向量组(A)：α1=(1，1，4)T，α2=(1，0，4)T，α3=(1，2，a2+3)T，向量组(B)：β1=(1，1，α+3)T，β2=(0，2，1-a)T，β3=(1，3，a2+3)T，若向量组(A)与(B)等价，求a的值，并将β3用α1，α2，α3线性表示．正确答案：解：由等价的定义可知，β1，β2，β3都能由α1，α2，α3线性表示，则有

r(α1，α2，α3)=r(α1，α2，α3，β1，β2，β3).

对(α1，α2，α3，β1，β2，β3)作初等行变换可得

当a=-1时，有r(α1，α2，α3)＜r(α1，α2，α3，β1，β2，β3)；

当a=1时，有r(α1，α2，α3)=r(α1，α2，α3，β1，β2，β3)=2．

可知当a≠1且a≠-1时，

r(α1，α2，α3)=r(α1，α2，α3，β1，β2，β3)=3，

则有当a=1或当a≠1且a≠-1时，β1，β2，β3可由α1，α2，α3线性表示．

对(β1，β2，β3)作初等行变换可得

当a=1时，有r(β1，β2，β3)=2；

当a≠1且a≠-1时，r(β1，β2，β3)=3．

综上所述：当a≠-1时，向量组α1，α2，α3与向量组β1，β2，β3等价．

当a≠1时，

则β3=α1-α2+α3.

当a=1时，

则β3=(3-2k)α1+(k-2)α2+kα3.[考点]向量组的等价．

[解析]利用向量组等价的充分必要条件求解．

等价关系有两个，一是矩阵的等价，二是向量组的等价．

(1)同型矩阵A与B等价的充分必要条件是r(A)=r(B)．

(2)向量组(A)与(B)等价的充分必要条件是r(A)=r(B)=r(A，B)，其中A与B是由向量组(A)与(B)构成的矩阵．

22.

求函数的极值．正确答案：解：函数的定义域为(0，+∞)，

令f'(x)=0得唯一驻点x0=1，且f"(1)=1＞0，因此x0=1是f(x)的极小值点，极小值为f