考研数学二模拟400

考研数学二模拟400一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.

设f(x)=|x|，g(x)=x2-x，则等式f[g(x)]=g[f(x)]成立时，x的变化范围______（江南博哥）A.(-∞，1]∪{0}．B.(-∞，0]．C.[0，+∞)．D.[1，+∞)∪{0}．正确答案：D[解析]f[g(x)]=|g(x)|=|x2-x|，g[f(x)]=f2(x)-f(x)=|x|2-|x|=x2-|x|．

由f[g(x)]=g[f(x)]，得|x2-x|=x2-|x|．

①当x2≥x，即x≤0或者x≥1时，有x2-x=x2-|x|，即x=|x|，解得x≥0．

综合得x≥1．

②当x2≤x，即1≥x≥0时，x-x2=x2-x，即2x=2x2，解得x=1或x=0．

综上所述，当x≥1或x=0时，f[g(x)]=g[f(x)]．

2.

设z=h(x，y)由方程exyz=x+y+z确定，则h(x，y)在点P0(0，1)的两个偏导数______A.分别等于0和-1．B.分别等于-1和0．C.都等于0．D.都等于-1．正确答案：D[解析]将x=0，y=1代入方程exyz=x+y+z，得e0=1+z0z0=0．

方程两边对x取偏导数，得exyz(yz+xyzx)=1+zx．

将p(0，1，0)代入上式，得

同理可得

3.

设非负可微函数f(x)满足条件f'(x)≤0，收敛，则______

A．

B．

C．

D．正确答案：A[解析]由于f'(x)≤0，所以f(x)为单调下降函数．

由于收敛，则

又

故

由夹逼定理可知

又当x≥1时，0≤f(x)≤xf(x)，从而有

4.

若F(x)是区间[-1，1]上f(x)的一个原函数，则在[-1，1]上f(x)______A.有界．B.无第一类间断点．C.可积．D.连续．正确答案：B[解析]F(x)是区间[-1，1]上f(x)的一个原函数对x∈[-1，1]，f(x)=F'(x)．

B正确，在[-1，1]上f(x)一定无第一类间断点，利用微分中值定理，通过反证法证明．

研究函数

F(x)有在(-∞，+∞)上连续，且导函数f(x)在(-∞，+∞)存在，且f(0)=0．但导函数f(x)在x=0点不连续，而且当x→0时，f(x)无界，不可积．因而A、C、D错误．

5.

设函数f(x)单调，且f'(0)≠0．若则______A.f(0)+f'(0)=-1．B.f(0)+f'(0)=1．C.f(0)+f'(0)=0．D.f(0)+f'(0)=2．正确答案：B[解析]思路一：即

f[f(0)]=f(0)．

因为f(x)单调，则f(x)在x=0点某邻域内存在反函数f-1．

由此可得f(0)=f-1[f(0)]=0．

依题意有f(0)=0，f'(0)=1，f(0)+f'(0)=1．

思路二：

假设f(x)连续可导，则

依题意有f(0)=0，f'(0)=1，f(0)+f'(0)=1．

6.

设y=y(x)是初值问题的解，则______

A．x=1是y(x)的极大点，且极限

B．x=1是y(x)的极大点，且极限

C．x=1是y(x)的极小点，且极限

D．x=1是否为y(x)的极值点与参数a有关，且极限正确答案：C[解析]因为y(x)是方程的解．

由y'(1)=0，知x=1是y(x)的一个驻点．

又y"(1)=(πex-1-2y'-ay)|x=1=π＞0，所以x=1是y(x)的极小点．

7.

关于n阶矩阵A，B有如下命题：

①A和AT有相同的特征值．

②若A～B，则A，B有相同的特征值．

③A，B是实对称矩阵，则AB和BA有相同的特征值．

④A是可逆矩阵，则AB和BA有相同的特征值．

上述正确的个数是______A.1．B.2．C.3．D.4．正确答案：D[解析]对①：|λE-A|=|(λE-A)T|=|λE-AT|A，AT有相同的特征值．

对②：A～B，即可逆矩阵P，使得P-1AP=B，则

|λE-B|=|λE-P-1AP|=|λP-1P-P-1AP|=|P-1(λE-A)P|=|λE-A|，则A，B有相同的特征值．

对③：AT=A，BT=B，(AB)T=BTAT=BA，由①知AB和(AB)T=BA有相同的特征值．

对④：A可逆，取P=A，则P-1ABP=A-1ABA=BA，由③知AB和BA有相同的特征值．

故①、②、③、④均成立．

8.

设A是4阶方阵，则下列线性方程组是同解方程组的是______A.AX=0和A2X=0．B.A2X=0和A3X=0．C.A3X=0和A4X=0．D.A4X=0和A5X=0．正确答案：D[解析]显然，由AiX=0，两边左乘以A，得Ai+1X=0，i=1，2，3，4，四个选项均成立．反之，若Ai+1X=0，是否有AiX=0．

对A，取A2=0，取X=[0，0，0，1]T，则A2X=0X=0，但故A不是同解方程组．

对B，取A3=0，取X=[0，0，0，1]T，则A3X=0，但故B不是同解方程组．

对C，取A4=0，取X=[0，0，0，1]T，则A4X=0，但故C不是同解方程组．

由排除法知，应选择D．

对于D：易知A4X=0A5X=0，要证A5X=0A4X=0，用反证法，设A5X=0，而A4X≠0，因5个四维向量X，AX，A2X，A3X，A4X必线性相关，存在不全为零的数k0，k1，k2，k3，k4使得

k0X+k1AX+k2A2X+k3A3X+k4A4X=0．

(*)

对(*)式两边左乘A4，得

k0A4X+k1A5X+k2A6X+k3A7X+k4A8X=0k0A4X=0，

又A4X≠0得k0=0，将k0=0代入(*)式，类似的再两边左乘A3，可得k1=0，同理可得k2=k3=k4=0，这和X，AX，A2X，A3X，A4X线性相关矛盾，故A5X=0A4X=0．(一般的，当A为n阶方阵时，有An+1X=0AnX=0)

故A是四阶方阵时，A4X=0和A5X=0是同解方程组．

二、填空题1.

设δ＞0，f(x)在[-δ，δ]上有定义，f(0)=1，且有则f'(0)=______．正确答案：1[解析]由已知，得

则

2.

设则与直线2x+y=1垂直的曲线y(x)的切线方程为______．正确答案：[解析]由已知得由于曲线y(x)切线的斜率应为

当x＜0时，无解．

当x≥0时，由此得切点为P(1，ln2)．

所求切线方程为

3.

正确答案：0[解析]

4.

正确答案：[解析]思路一：在极坐标系下，x=ρcosφ，y=ρsinφ，则

其中

思路二：

其中

所以

5.

若y(x)满足且y(0)=y'(0)=0，则y(x)=______．正确答案：[解析]因为

得新方程为则

由y'(0)=0，得则

6.

设则(A-2E)-1(A*+E)=______．正确答案：[解析]由已知得

A可逆，A*=|A|A-1=-2A-1．

故

(A-2E)-1(A*+E)=(A-2E)-1(-2A-1+E)=(A-2E)-1(A-2E)A-1=A-1，

利用初等变换法求逆

则

三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1.

设z=z(x，y)在全平面R2上有连续的二阶偏导数，并且满足方程如果f(-x，x)=-x2，f'1(-x，x)=-x求f"12(-x，x)，f"11(-x，x)，f"22(-x，x)．正确答案：f(-x，x)=-x2-f'1(-x，x)+f'2(-x，x)=-2x

-[-f"11(-x，x)+f"12(-x，x)]+[-f"21(-x，x)+f"22(-x，x)]=-2．

由已知得f"11(-x，x)+f"22(-x，x)=0，f"12(-x，x)=f"21(-x，x)．

所以f"12(-x，x)=1．

又f'1(-x，x)=-x，故

-f"11(-x，x)+f"12(-x，x)=-1f"11(-x，x)=2，

f"22(-x，x)=-f"11(-x，x)=-2．

2.

求定积分的值．正确答案：思路一：

思路二：

3.

计算累次积分正确答案：所给累次积分所对应的二重积分的积分域由y=x，y=2，围成．

4.

设g(x)满足g'(x)+f(x)g(x)=1+x，g(0)=2，求g(x)．正确答案：得到代入方程得

由g(0)=2，得到C=1，于是g(x)=(1+x)(1+e-x)．

5.

若u0=0，u1=1，n=1，2，…．其中α，β是正实数，求的值．正确答案：由得

则

设函数集合Ψ，其中每一函数f(x)，满足下列条件：①f(x)是定义在[0，1]上的非负函数，且f(1)=1；②v，u+v∈[0，1]，有f(u+v)≥f(u)+f(v)．6.

证明Ψ中每一函数f(x)都是单调增加的．正确答案：证明f(x)是单调增函数，因为

x，x+Δx∈[0，1]，f(x+Δx)≥f(x)+f(Δx)

是单调增函数．

7.

对所有这一类函数Ψ，求积分的最大取值．正确答案：对有

1=f[x+(1-x)]≥f(x)+f(1-x)，

从而

而今函数f0(x)≡x，x∈[0，1]，显然f0(x)∈Ψ．又

所以有

对所有这一类函数中，积分的最大取值为

8.

已知曲线求曲线C距离xOy面最远的点和最近的点．正确答案：点(x，y，z)到xOy面的距离为d=|z|，故求C上距离xOy面的最远点和最近点的坐标，等价于条件极值问题：构造拉格朗日函数

L(x，y，z，λ，μ)=z2+λ(x2+y2-2z2)+μ(x+y+3z-5)，

则

由(1)(2)得x=y，代入(4)(5)有

解得或代入得d=|z|=5或1．

即曲线C距离xOy面最远点为(-5，-5，5)，最远距离为5；

曲线C距离xOy面最近点为(1，1，1)．最近距离为1．

设向量组(ⅰ)α1=[1，2，-1]T，α2=[1，3，-1]T，α3=[-1，0，a-2]T；

(ⅱ)β1=[-1，-2，3]T，β2=[-2，-4，5]T，β3=[1，b，-1]T；

记A=[α1，α2，α3，B=[β1，β2，β3．9.

问a，b为何值时，A，B等价；a，b为何值时，A，B不等价；正确答案：A，B等价r(A)=r(B)，将A，B合并成一起作初等行变换，得

当a≠3，b≠2时，r(A)=r(B)=3，A，B等价；

当a=3，b=2时，r(A)=r(B)=2，A，B等价；

当a=3，b≠2或a≠3，b=2时，r(A)≠r(B)，A，B不等价．

10.

问a，b为何值时，向量组(ⅰ)，(ⅱ)等价；a，b为何值时，向量组(ⅰ)，(ⅱ)不等价．正确答案：向量组(ⅰ)，(ⅱ)等价(ⅰ)，(ⅱ)向量组之间可以相互表出．

当a≠3，b≠2时，r(A)=r(B)=3，(α1，α2，α3)X=βi，i=1，2，3，(β1，β2，β3)y=αi，i=1，2，3，都有唯一解，故向量组(ⅰ)，(ⅱ)等价；

当a=3，b任意时，(α1，α2，α3)X=β1，(或=β2)无解，故向量组(ⅰ)，(ⅱ)不等价；

当b=2，a任意时，(β1，β2，β3)y=α2，(或=α3)无解，故向量组(ⅰ)，(ⅱ)不等价．

设A，B是n阶矩阵，证明：11.

当A可逆时，AB和BA有相同的特征值；正确答案：[证明]当A可逆时，因A-1(AB)A=(A-1A)BA=BA，故AB～BA．相似矩阵有相同的特征值，故AB和BA有相同的特征值．

12.

证明AB和BA有相同的特征值．正确答案：[证明]思路一：若AB有特征值λ=0，则|AB|=|A||B|=|BA|=0