考研数学二分类模拟题38

考研数学二分类模拟题38一、填空题1.

设A是三阶矩阵，其三个特征值为，则|4A*+3E|=______．正确答案：10[解析]，A*的特征值为，4A*+3E的特征值为5，1，2，于是|4A*+3E|=10．

2.

设A为n阶可逆矩阵，若A有特征值λ0，则(A*)2+3A*+2E有特征值______．正确答案：[解析]因为A可逆，所以λ0≠0，A*对应的特征值为，于是(A*)2+3A*+2E对应的特征值为

3.

设A为三阶矩阵，A的各行元素之和为4，则A有特征值______，对应的特征向量为______．正确答案：4

[解析]因为A的各行元素之和为4，所以，于是A有特征值4，对应的特征向量为

4.

设A为三阶实对称矩阵，且为A的不同特征值对应的特征向量，则a=______．正确答案：3[解析]因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，所以有6+3a+3-6a=0，a=3．

5.

设A～B，其中，则x=______，y=______．正确答案：3

1[解析]因为A～B，所以即解得x=3，y=1．

6.

设A是三阶实对称矩阵，其特征值为λ1=3，λ2=λ3=5，且λ1=3对应的线性无关的特征向量为，则λ2=λ3=5对应的线性无关的特征向量为______．正确答案：[解析]因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，令λ2=λ3=5对应的特征向量为，由得λ2=λ3=5对应的线性无关的特征向量为

7.

设α，β为三维非零列向量，(α，β)=3，A=αβT，则A的特征值为______。正确答案：0

3[解析]因为A2=3A，令AX=λX，因为A2X=λ2X，所以有(λ2-3λ)X=0，而X≠0，故A的特征值为0或者3，因为λ1+λ2+λ3=trA=(α，β)，所以λ1=3，λ2=λ3=0．

8.

设是矩阵的特征向量，则a=______，b=______．正确答案：2

3[解析]由Aα=λα得，即解得λ=5，a=2，b=3．

二、选择题1.

设A是n阶矩阵，下列结论正确的是______．A.A，B都不可逆的充分必要条件是AB不可逆B.r(A)＜n，r(B)＜n的充分必要条件是r(AB)＜nC.AX=0与BX=0同解的充分必要条件是r(A)=r(B)D.A～B的充分必要条件是λE-A～λE-B正确答案：D[解析]若A～B，则存在可逆矩阵P，使得P-1AP=B，于是P-1(λE-A)P=λE-P-1AP=λE-B，即λE-A～λE-B；

反之，若λE-A～λE-B，即存在可逆矩阵P，使得P-1(λE-A)P=λE-B，整理得λE-P-1AP=λE-B，即P-1AP=B，即A～B，应选D．

2.

设A为n阶可逆矩阵，λ为A的特征值，则A*的一个特征值为______．

A．

B．

C．λ|A|

D．λ|A|n-1正确答案：B[解析]因为A可逆，所以λ≠0，令AX=λX，则A*AX=λA*X，从而有，选B．

3.

设三阶矩阵A的特征值为λ1=-1，λ2=0，λ3=1，则下列结论不正确的是______．A.矩阵A不可逆B.矩阵A的迹为零C.特征值-1，1对应的特征向量正交D.方程组AX=0的基础解系含有一个线性无关的解向量正确答案：C[解析]由λ1=-1，λ2=0，λ3=1得|A|=0，则r(A)＜3，即A不可逆，A正确；又λ1+λ2+λ3=tr(A)=0，所以B正确；因为A的三个特征值都为单值，所以A的非零特征值的个数与矩阵A的秩相等，即r(A)=2，从而AX=0的基础解系仅含有一个线性无关的解向量，D是正确的；C不对，因为只有实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交，一般矩阵不一定有此性质，选C．

4.

设A为三阶矩阵，方程组AX=0的基础解系为α1，α2，又λ=-2为A的一个特征值，其对应的特征向量为α3，下列向量中是A的特征向量的是______．A.α1+α3B.3α3-α1C.α1+2α2+3α3D.2α1-3α2正确答案：D[解析]因为AX=0有非零解，所以r(A)＜n，故0为矩阵A的特征值，α1，α2为特征值0所对应的线性无关的特征向量，显然特征值0为二重特征值，若α1+α3为属于特征值λ0的特征向量，则有A(α1+α3)=λ0(α1+α3)，注意到A(α1+α3)=0α1-2α3=-2α3，故-2α3=λ0(α1+α3)或λ0α1+(λ0+2)α3=0，

因为α1，α3线性无关，所以有λ0=0，λ0+2=0，矛盾，故α1+α3不是特征向量，同理可证3α3-α1及α1+2α2+3α3也不是特征向量，显然2α1-3α2为特征值0对应的特征向量，选D．

5.

设A为n阶实对称矩阵，下列结论不正确的是______．A.矩阵A与单位矩阵E合同B.矩阵A的特征值都是实数C.存在可逆矩阵P，使PAP-1为对角阵D.存在正交阵Q，使QTAQ为对角阵正确答案：A[解析]根据实对称矩阵的性质，显然B、C、D都是正确的，但实对称矩阵不一定是正定矩阵，所以A不一定与单位矩阵合同，选A．

6.

设n阶矩阵A与对角矩阵相似，则______．A.A的n个特征值都是单值B.A是可逆矩阵C.A存在n个线性无关的特征向量D.A一定为n阶实对称矩阵正确答案：C[解析]矩阵A与对角阵相似的充分必要条件是其有n个线性无关的特征向量，A有n个单特征值只是其可对角化的充分而非必要条件，同样A是实对称阵也是其可对角化的充分而非必要条件，A可逆既非其可对角化的充分条件，也非其可对角化的必要条件，选C．

7.

α，β为四维非零列向量，且α⊥β，令A=αβT，则A的线性无关特征向量个数为______A.1B.2C.3D.4正确答案：C[解析]因为α，β为非零向量，所以A=αβT≠O，则r(A)≥1，

又因为r(A)=r(αβT)≤r(α)=1，所以r(A)=1．

令AX=λX，由A2X=αβT·αβTX=O=λ2X得λ=0，

因为r(0E-A)=r(A)=1，所以A的线性无关的特征向量个数为3，应选C．

8.

设A，B为正定矩阵，C是可逆矩阵，下列矩阵不是正定矩阵的是______．A.CTACB.A-1+B-1C.A*+B*D.A-B正确答案：D[解析]显然四个选项中的矩阵都是实对称阵，因为A，B正定，所以A-1，B-1及A*，B*都是正定的，对任意X≠0，XT(CTAC)X=(CX)TA(CX)＞0(因为C可逆，所以当X≠0时，CX≠0)，于是CTAC为正定矩阵，同样用定义法可证A-1+B-1与A*+B*都是正定矩阵，选D．

三、解答题1.

求矩阵的特征值与特征向量．正确答案：[解]由|λE-A|=(λ-1)2(λ-4)=0得λ1=λ2=1，λ3=4．

当λ=1时，由(E-A)X=0得属于特征值λ=1的线性无关的特征向量为，全部特征向量为k1α1+k2α2(k1，k2不同时为0)；

当λ=4时，由(4E-A)X=0得属于特征值λ=4的线性无关的特征向量为全部特征向量为kα3(k≠0)．

设为A的特征向量．2.

求a，b及A的所有特征值与特征向量．正确答案：[解]由Aα=λα得，即，解得a=1，b=1，λ=3．

由

得λ1=0，λ2=2，λ3=3．

3.

A可否对角化?若可对角化，求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵．正确答案：[解]因为A的特征值都是单值，所以A可相似对角化．

将λ1=0代入(λE-A)X=0得λ1=0对应的线性无关特征向量为

将λ2=2代入(λE-A)X=0得λ2=2对应的线性无关特征向量为

将λ3=3代入(λE-A)X=0得λ3=3对应的线性无关特征向量为

令，则

4.

设，求A的特征值，并证明A不可以对角化．正确答案：[解]由得λ=2(三重)，

因为r(2E-A)=1，所以λ=2只有两个线性无关的特征向量，故A不可以对角化．

5.

设，B～A*，求B+2E的特征值．正确答案：[解]

由

得λ1=7，λ2=λ3=1，A*对应的特征值为

即μ1=1，μ2=μ3=7．

因为B～A*，所以B的特征值也为μ1=1，μ2=μ3=7，从而B+2E的特征值为3，9，9．

6.

设ATA=E，证明：A的实特征值的绝对值为1．正确答案：[证明]设AX=λX，则XTAT=λXT，从而有XTATAX=λXTAX=λ2XTX，因为ATA=E，所以(λ2-1)XTX=0，而XTX=|X|2≠0，所以λ2=1，于是|λ|=1．

设λ0为A的特征值．7.

证明：AT与A特征值相等正确答案：[证明]因为|λE-AT|=|(λE-A)T|=|λE-A|，所以AT与A的特征值相等．

8.

求A2，A2+2A+3E的特征值；正确答案：[解]因为Aα=λ0α(α≠0)，

所以

于是A2，A2+2A+3E的特征值分别为

9.

若|A|≠0，求A-1，A*，E-A-1的特征值．正确答案：[解]因为|A|+λ1λ2…λn≠0，所以λ0≠0，由Aα=λ0α得

由A*Aα=|A|α得，又

于是A-1，A*，E-A-1的特征值分别为及

10.

设X1，X2分别为A的属于不同特征值λ1，λ2的特征向量．证明：X1+X2不是A的特征向量。正确答案：[证明]反证法

不妨设X1+X2是A的属于特征值λ的特征向量，则有A(X1+X2)=λ(X1+X2)，

因为AX1=λ1X1，AX2=λ2X2，所以(λ1-λ)X1+(λ2-λ)X2=0，

而X1，X2线性无关，于是λ1=λ2=λ，矛盾，故X1+X2不是A的特征向量．

11.

求A的全部特征值，并证明A可以对角化．正确答案：[解]令αTβ=k，则A2=kA，

设AX=λX，则A2X=λ2X=kλX，即λ(λ-k)X=0，

因为X≠0，所以矩阵A的特征值为λ=0或λ=k．

由λ1+…+λn=trA且trA=k得λ1=…=λn-1=0，λn=k．

因为r(A)=1，所以方程组(0E-A)X=0的基础解系含有n-1个线性无关的解向量，即λ=0有，n-1个线性无关的特征向量，故A可以对角化．

设向量α=(a1，a2，…，an)T，其中a1≠0，A=ααT．12.

求方程组AX=0的通解．正确答案：[解]因为r(A)=1，所以AX=0的基础解系含有n-1个线性无关的特征向量，其基础解系为

则方程组AX=0的通解为k1α1+k2α2+…+kn-1αn-1(k1，k2，…，kn-1为任意常数)．

13.

求A的非零特征值及其对应的线性无关的特征向量．正确答案：因为A2=kA，其中是，所以A的非零特征