2022-2023学年河北省承德市八家中学高三数学文上学期期末试题含解析

2022-2023学年河北省承德市八家中学高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合,,则（▲

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B略2.与椭圆有公共焦点，且离心率互为倒数的双曲线的方程是

（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：A3.已知函数，分别为的内角A,B,C所对的边，且，则下列不等式一定成立的是（

）A.

B.C.

D.

参考答案：B略4.已知为等差数列，，，则等于（

）A．-1

B．1

C．3

D．7参考答案：B5.已知服从正态分布N（,）的随机变量在区间（,），（,），和（,）内取值的概率分别为68.3%，95.4%，和99.7%.某校为高一年级1000名新生每人定制一套校服，经统计，学生的身高（单位：cm）服从正态分布（165，52），则适合身高在155~175cm范围内的校服大约要定制（

）A.683套

B.954套

C.972套

D.997套参考答案：B略6.设函数，的零点分别为，则(

)A. B.0＜＜1 C.1＜＜2 D.参考答案：B7.已知集合A={0,1}，，则A∩B=（

）A．{0,1}

B．{－1,0,1}

C．[－1,1]

D．{1}参考答案：A因为集合，，所以A∩B={0,1}.故答案为：A

8.设定义在R上的函数满足任意都有，且时，，则，，的大小关系是（

）A．

B．C.

D．参考答案：A函数f（x）满足f（t+2）=，可得f（t+4）==f（t），∴f（x）是周期为4的函数．6f（2017）=6f（1），3f（2018）=3f（2），2f（2019）=2f（3）．令g（x）=，x∈（0，4]，则g′（x）=，∵x∈（0，4]时，，∴g′（x）＞0，g（x）在（0，4]递增，∴f（1）＜＜，可得：6f（1）＜3f（2）＜2f（3），即6f（2017）＜3f（2018）＜2f（2019）．故答案为：A

9.已知是中所对的边，如果，那么等于（

）A．135°

B．45°

C．135°或45°

D．60°参考答案：B10.已知函数（，且）在R上单调递增，且关于x的方程恰有两个不等的实数解，则a的取值范围是（

）A.(1,2) B.(1,2]C.(1,2]∪{3} D.(1,2)∪{3}参考答案：A【分析】先根据分段函数的单调性求出，方程有两根可转化为函数图象有两个不同的交点，作出函数图象，利用图象数形结合即可求解.【详解】由在上递增，得，又由在上单调递增，则，解得如图所示，在同一坐标系中作出函数和的图象，当时，由图象可知，上，有且仅有一个解，在上同样有且仅有一个解.当时，直线与相切时有一个交点，由（其中），得：，则，解得或此时切点横坐标分别为与矛盾，故或不符合题意,综上所述.【点睛】本题主要考查了函数方程与函数的零点，分类讨论思想，数形结合的思想，属于难题.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在的展开式中，的系数为

.（用数字作答）。参考答案：答案：

12.已知a=（﹣cosx）dx，则（ax+）9展开式中，x3项的系数为

．参考答案：﹣【考点】67：定积分．【分析】求出被积函数，由定积分公式求出a，求出二项式的通项公式，化简整理，令9﹣2r=3，求出r，即可得到所求系数．【解答】解：a=（﹣cosx）dx=﹣sinx|=﹣（sin﹣sin0）=﹣1，则（﹣x﹣）9展开式中的通项公式为（﹣x）9﹣r（﹣）r=﹣（）rx9﹣2r，r=0，1，…，9，由9﹣2r=3，可得r=3，x3项的系数为﹣（）3=﹣．故答案为：﹣．13.直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于、两点，若线段的长是8，的中点到轴的距离是2，则此抛物线方程是

．参考答案：14.如图，在平面四边形ABCD中，，则

▲

.参考答案：－7所以

15.设抛物线y2=4x上一点P到直线x=-2的距离为5，则点P到该抛物线焦点的距离是

。参考答案：416.两平行直线与间的距离是

.参考答案：17.某几何体的三视图(单位：cm)如图，则这个几何体的体积为

▲cm3

；参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数，x?R．（I）求函数的最小正周期和单调递增区间;（II）将函数的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标先缩短到原来的，把所得到的图象再向左平移单位，得到函数的图象，求函数在区间上的最小值.

参考答案：解析：（I）因为

=,

3分函数f(x)的最小正周期为=.

由，，得f(x)的单调递增区间为，.

6分（II）根据条件得=，

8分当时，，

10分所以当x=时，．

12分略19.如图，A，B是双曲线﹣y2=1的左右顶点，C，D是双曲线上关于x轴对称的两点，直线AC与BD的交点为E．（1）求点E的轨迹W的方程；（2）若W与x轴的正半轴，y轴的正半轴的交点分别为M，N，直线y=kx（k＞0）与W的两个交点分别是P，Q（其中P是第一象限），求四边形MPNQ面积的最大值．参考答案：考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由已知A（﹣2，0），B（2，0），设C（x0，y0），D（x0，﹣y0），则，由两点式分别得直线AC，BD的方程为直线AC：，直线BD：，由此能求出点E的轨迹W的方程．（2）由（1）及已知得M（2，0），N（0，1），联立，得（4k2+1）x2=4，由此利用弦长公式结合已知条件能求出四边形MPNQ的面积取最大值．解答： 解：（1）由已知A（﹣2，0），B（2，0），设C（x0，y0），D（x0，﹣y0），则，①由两点式分别得直线AC，BD的方程为：直线AC：，直线BD：，两式相乘，得，②由①，得﹣=，代入②，得：，整理，得﹣4y2=x2﹣4，∴点E的轨迹W的方程（x≠±2、0）．（2）由（1）及已知得M（2，0），N（0，1），联立，得（4k2+1）x2=4，∴P（），Q（﹣），四边形MPNQ的面积S=S△QOM+S△DMP+S△NOP+S△NOQ=2（S△QMP+S△QNP），∴S==2yP+xP==2=2==2，∵k＞0，∴4k+≥4，故当且仅当，即k=时，四边形MPNQ的面积取最大值为2．点评：本题考查点的轨迹方程的求法，考查四边形面积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意弦长公式的合理运用．20.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线，曲线.（Ⅰ）求C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C1，C2分别相交于异于原点的点M，N，求的最大值。参考答案：(Ⅰ)；(Ⅱ)【分析】（Ⅰ）将极坐标方程化为，然后再结合转化公式求解即可．（Ⅱ）由于点同在直线上，故可根据两点的极径差的绝对值来求出，然后再求出其最大值．【详解】（Ⅰ）极坐标方程可化为所以，将代入上式可得，所以曲线的直角坐标方程为.（Ⅱ）不妨设，点的极坐标分别为，由，得到．由，得到．所以，因为，所以，所以当时，取得最大值．【点睛】本题考查极坐标和直角坐标间的转化，合理利用转化公式求解是解题的关键．对于极坐标系内的长度问题，根据题意可利用极径差的绝对值求解，此时要求两点应为同一条直线与一条曲线或两条曲线的交点，注意转化的合理性．21.已知函数f（x）=xlnx﹣x2﹣x+a（a∈R）．（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在其定义域内有两个不同的极值点．（ⅰ）求a的取值范围；（ⅱ）设两个极值点分别为x1，x2，证明：x1?x2＞e2．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）对f（x）求导，利用导数来判断f（x）的图形单调性；（Ⅱ）（i）函数f（x）在其定义域内有两个不同的极值点转化为：方程lnx﹣ax=0在x＞0上有两个不同根．（ii）x1，x2分别是方程lnx﹣ax=0的两个根，即lnx1=ax1，lnx2=ax2；不妨设x1＞x2，作差得，ln=a（x1﹣x2），即a=．原不等式等价于．【解答】解：（Ⅰ）当a=0时，f（x）=xlnx﹣x．函数f（x）的定义域为x＞0，f'（x）=lnx；当x＞1时，f'（x）＞0；当0＜x＜1时，f'（x）＜0．所以，f（x）在（0，1）上单调递减；在（1，+∞）上单调递增．（Ⅱ）（ⅰ）依题意，函数f（x）的定义域为x＞0，f'（x）=lnx﹣ax所以方程f'（x）=0在x＞0上有两个不同根，即：方程lnx﹣ax=0在x＞0上有两个不同根，转化为：函数y=lnx与函数y=ax的图象在x＞0上有两个不同交点，如图．可见，若令过原点且切于函数y=lnx图象的直线斜率为k，只须0＜a＜k．令切点A（x0，lnx0），所以k=，又k=，所以，解得：x0=e，于是k=，所以，0＜a＜．（ⅱ）由（i）可知x1，x2分别是方程lnx﹣ax=0的两个根，即lnx1=ax1，lnx2=ax2，不妨设x1＞x2，作差得，ln=a（x1﹣x2），即a=．原不等式等价于令，则t＞1，设，，∴函数g（t）在（1，+∞）上单调递增，∴g（t）＞g（1）=0，即不等式成立，故所证不等式成立．【点评】本题主要考查了导数研究函数的单调性，方