北京市重点中学20192020学年高二下期中数学试题(理)(有答案)

北京市2019-2020学年度第二学期期中考试高二数学（理）试卷(考试时间：100分钟总分：100分)一、选择题（本大题共10小题，每题4分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合要求的.）1．已知复数z知足：zi2i（i是虚数单位），则z的虚部为（）A．2iB．2iC．2D．22．图书室的书架有三层，第一层有3本不一样的数学书，第二层有5本不一样的语文书，第三层有8本不一样的英语书，现从中任取一本书，共有（）种不一样的取法。A.120B.16C.64D.393．已知曲线yx23lnx1的一条切线的斜率为1，则切点的横坐标为（）42A．3B．2C．1D．124．由直线y1,y2,曲线y1及y轴所围成的关闭图形的面积是（）2x．1ln2．5A．2ln2B．2ln21CD5．以下说法正确的选项是（24）在用综合法证明的过程中，每一个分步结论都是结论建立的必需条件在用综合法证明的过程中，每一个分步结论都是条件建立的必需条件在用剖析法证明的过程中，每一个分步结论都是条件建立的充分条件在用剖析法证明的过程中，每一个分步结论都是结论建立的必需条件6．设函数f(x)xlnx，则f(x)的极小值点为（）A.xeB.xln2C.xe2D.x17．已知2，224，23e211133135456,．．．，以此类推，第5个等式为（）A．2413575678B．251357956789C．2413579678910D．25135796789108．在复平面内，复数34i，i2i对应的点分别为，，则线段的中点C对应的复数为（）A．22iB．22iC．1iD．1i9．已知函数fx1x2cosx,fx是函数fx的导函数，则fx的图象大概是4（）10．设函数yfx在区间a,b上的导函数为fx，fx在区间a,b上的导函数为fx，若区间a,b上fx0，则称函数fx在区间a,b上为“凹函数”，已知fx1x51mx42x2在1,3上为“凹函数”，则实数m的取值范围是（）2012A．(,31)B．[31,5]C．(,3]D．,599二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分.）11．函数f(x)x3ax2在(1,)上是增函数，则实数a的取值范围是12．设会合A1,2,3,4,5,a,bA,则方程x2y21表示焦点位于y轴上的椭圆有个.absinx,x0,213．设f(x)。2，则f(x)dx为01,x,2214．已知复数zxyix,yR,x0且z23，则y的范围为．x15．在平面上，我们用向来线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按如图所标边长，由勾股定理有c2a2b2．假想正方形换成正方体，把截线换成如图截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥OLMN，假如用S1,S2,S3表示三个侧面面积，S4表示截面面积，那么类比获得的结论是．16．对定义在区间D上的函数f(x)和g(x)，假如对随意xD，都有f(x)g(x)1成立，那么称函数f(x)在区间D上可被g(x)代替，D称为“代替区间”．给出以下命题：①f(x)x21在区间(,)上可被g(x)x21代替；2②③④

f(x)x可被g(x)1f(x)lnx在区间[1,e]f(x)lg(ax2x)(xD1

代替的一个“代替区间”为[1,3]；4x42可被g(x)xb代替，则e2b2；),g(x)sinx(xD2)，则存在实数a(a0)，使得f(x)在区间D1D2上被g(x)代替；此中真命题的有三、解答题（本大题共4小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）（本小题共8分）已知函数f(x)x3ax22,x2是f(x)的一个极值点，求：（1）实数a的值；（2）f(x)在区间1,3上的最大值和最小值。18.（本小题共8分）若a、b、c均为实数，且ax22y，by22Z，cZ22x236求证：a、b、c中起码有一个大于0。19.(本小题共10分)已知函数f(x)exax1(aR)．（1）求函数f(x)的单一区间；（2）若函数F(x)f(x)1x2在1,2上有且仅有一个零点，求a2的取值范围；20.(本小题共10分)11已知数列an的各项均为正整数，关于随意nN*，都有21anan121成an111annn1立，且a24．1）求a1，a3的值；2）猜想数列an的通项公式，并给出证明．北京市2014~2015学年度第二学期期中考试高二（理）试卷答案及评分标准一、选择题序号12345678910答案DBAABDDDAC二、填空题11.3,12.1013.314．3,315．s12s22s32s4216．①②③2三、解答题（1）由于，f(x)3x22,（1分）17．axf(x)在x2处有极值，因此，f(2)0,（2分）即344a0,因此，a3。（3分）（2）由（1）知a3，因此f(x)x33x22,f(x)3x26x（4分）令f(x)0,得x10,x22，当x变化时f(x),f(x)的变化情况以下表：x11,000,222,33f(x)+0-0+f(x)2222（7分）从上表可知f(x)在区间1,3上的最大值是2，最小值是2。（8分）18.证明：假定a,b,c都不大于0，即a0,b0,c0∴abc0(4分)∵abcx22yy22z3z22x62=(x1)2(y1)2(z1)230与上式矛盾0∴a,b,c中起码有一个大于（8分）19.(1)解：f(x)exa（1分）当a0时，f(x)≥0，则f(x)在(,)上单一递加（2分）当a0时，f(x)在(，lna)上单一递减，f(x)在(lna，)上单一递加．（4分）1ex1x21(2)解：由F(x)f(x)20，得a2xx2ex1x21(x1)ex1x21考察函数g(x)2(x1,2)，则g(x)x22（5分）x令h(x)(x1)ex1x21，h(x)x(ex1)（6分）2当1x2时，h(x)0，∴h(x)在1,2上单一递加（7分）∴h(x)≥h(1)10,g(x)0，∴g(x)在1,2上单一递加（8分）2ex1x2131∴g(x)2在1,2上的最小值为g(1)e，最大值为g(2)2x22(e3)（9分）∴当e3≤a≤123时，函数F(x)f(x)2在1,2上有且仅有一个零点e1x222（10分）1120.（1）由于21anan121，a24an111annn1当n1时，由2121121，即有212214a12，a2a1a2a14a1解得2a18．由于a1为正整数，故a11．（2分）37当n2时，由211121a36a3，44解得8a310，因此a39．（2）由a11，a24，a39，猜想：ann2下边用数学概括法证明．1o当n1，2，3时，由（1）知ann2均建立．2o假定nkk≥3建立，则akk2，由条件得21k