第六章测量误差

第六章测量误差第一页，共四十五页，2022年，8月28日6.1测量误差的分类测量工作中我们可以发现，测量结果不可避免的存在误差，比如：1、对同一量多次观测，其观测值不相同。2、观测值之和不等于理论值： 三角形α+β+γ≠180°

闭合水准

∑h≠0ABC第二页，共四十五页，2022年，8月28日6.1测量误差的分类距离测量误差角度测量误差高程测量误差ABD往D返理论上：D往=D返

实测中：D往≠

D返理论上：∠A+∠B+∠C=180

实测中：A+∠B+∠C≠180ABCP1P4P3P2h1h3h2h4

理论上：h1+h2+h3+h4=0

实测中：h1+h2+h3+h4≠0第三页，共四十五页，2022年，8月28日6.1测量误差的分类一、测量误差的定义观测值与其真实值（简称真值）之间的差异，称为测量误差。（观测误差=观测值-真值）式中：代表观测值；

代表真值；就是测量误差，通常称为真误差，简称误差。一般情况下，只要是观测值必然含有误差。

第四页，共四十五页，2022年，8月28日6.1测量误差的分类二、测量误差产生的原因等精度观测：观测条件相同的情况下进行的观测。不等精度观测：观测条件不相同的情况下进行的观测。1.仪器误差2.观测误差3.外界条件的影响观测条件第五页，共四十五页，2022年，8月28日6.1测量误差的分类三、测量误差的分类及其处理方法

按照对观测结果影响的性质的不同，测量误差可分为粗差、系统误差和偶然误差三种。1、粗差

粗差是一种大量级的观测误差，属于测量上的失误。产生原因：粗差产生的原因较多，主要是作业员的疏忽大意、失职而引起的，如大数被读错、读数被记录员记错、照准了错误的目标等等。处理方法：含有粗差的观测值都不能使用。因此，一旦发现粗差，该观测值必须舍弃或重测。

第六页，共四十五页，2022年，8月28日6.1测量误差的分类三、测量误差的分类及其处理方法2、系统误差定义：系统误差又称累积误差，是指在一定的观测条件下进行一系列观测时，符号和大小保持不变或按一定规律变化的误差。例如（1）某钢尺的注记长度为30m，鉴定后，其实际长度为30.003m，即每量一整尺段，就会产生0.003m的误差，这种误差的数值和符号都是固定的，误差的大小与所量距离成正比。（2）又如水准仪的视准轴与水准管轴不平行，就会使得观测时在水准尺上读数会产生误差，这种误差的大小与水准尺至水准仪的距离成正比，也保持同一符号。（3）定线误差。

第七页，共四十五页，2022年，8月28日6.1测量误差的分类三、测量误差的分类及其处理方法2、系统误差产生原因：产生系统误差的原因有很多，主要是由于使用的仪器和工具不够完善及外界条件改变所引起的。处理方法：（1）检校仪器（2）采取合理的观测方法加以抵消或削弱（3）计算改正

注意：系统误差具有累积性，对测量成果影响较大。

第八页，共四十五页，2022年，8月28日6.1测量误差的分类三、测量误差的分类及其处理方法3、偶然误差定义：在一定的观测条件下进行一系列的观测，如果观测误差的大小和符号均呈现偶然性，即从表面现象看，误差的大小和符号没有规律性，但就大量误差的总体而言具有一定统计规律，这样的误差称为偶然误差。产生原因：产生偶然误差的原因往往是不固定的和难以控制的，如观测者的估读误差，照准目标时的照准误差等。粗差可以发现并剔除，系统误差能够加以改正，而偶然误差是不可避免的，并且是消除不了的。

第九页，共四十五页，2022年，8月28日6.1测量误差的分类3、偶然误差例如：1)、距离测量Δ

NoD9.59.49.79.59.69.39.29.60.1-0.20-0.10.20.3-0.1

1234567第十页，共四十五页，2022年，8月28日6.1测量误差的分类3、偶然误差例:2)读数误差(水准测量)

0.858中丝读数：0.8590.860第十一页，共四十五页，2022年，8月28日6.1测量误差的分类3、偶然误差偶然误差的特性人们从无数测量实践中发现，大量的偶然误差的分布表现出一定的统计规律。1、三角形内角和例子

在某测区，在相同的观测条件下，独立地观测358个平面三角形的全部内角，由于观测值含有误差，因此，每个三角形内角之和一般不会等于其真值180度。各三角形内角和的真误差为：

第十二页，共四十五页，2022年，8月28日6.1测量误差的分类第十三页，共四十五页，2022年，8月28日6.1测量误差的分类频率直方图

根据统计结果的数据画出如下的直方图。横轴表示误差的数值，纵轴为各区间内误差出现的频率除以区间的间隔，即。图中有斜线的长方形面积就代表误差出现在某区间的频率。第十四页，共四十五页，2022年，8月28日6.1测量误差的分类误差分布图

在一定的观测条件下得到一组独立的误差，对应着一种确定的分布。当误差个数，同时无限缩小误差区间，上图中的各矩形的顶边折线就成为一条光滑的连续曲线。这条曲线称为误差分布曲线也称为正态分布曲线。曲线上任意一点的纵坐标y均为横坐标的函数，其函数形式为：式中为观测值的标准差，其平方称为方差，可以反映观测精度的高低。

第十五页，共四十五页，2022年，8月28日6.1测量误差的分类偶然误差的特性统计大量的试验结果，表明偶然误差具有如下特性：

（1）在一定观测条件下的有限个观测中，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值；【有限性】（2）绝对值小的误差出现的频率大，绝对值较大的误差出现的频率小；【小误差的密集性】（3）绝对值相等的正、负误差出现的频率大致相等。【对称性】（4）偶然误差的平均值随观测次数的无限增多而趋近于0，即【抵偿性】－偶然误差最本质的统计特性。第十六页，共四十五页，2022年，8月28日6.1测量误差的分类误差处理的原则：1、粗差：舍弃含有粗差的观测值，并重新进行观测。2、系统误差：按其产生的原因和规律加以改正、抵消和削弱。3、偶然误差：根据误差特性合理的处理观测数据减少其影响。第十七页，共四十五页，2022年，8月28日一、精度精度就是观测成果的精确程度，是指对某一量的多次观测中，其误差分布的密集或离散的程度。

评定精度的标准中误差容许误差相对误差6.2衡量精度的标准第十八页，共四十五页，2022年，8月28日6.2衡量精度的标准二、评定精度的标准1、中误差定义在相同条件下，对某量（真值为X）进行n次独立观测，观测值l1，l2，……，ln，各观测值的真误差Δ1，Δ2，……，Δn，则中误差m的定义为：式中第十九页，共四十五页，2022年，8月28日6.2衡量精度的标准1、中误差中误差不同于各个观测值的真误差，它是衡量一组观测值精度的指标，它的大小反映出一组观测值的离散程度。中误差m值小，表明误差的分布较为密集，各观测值间的差异较小，这组观测的精度就高；反之，中误差m值较大，表明误差的分布较为离散，观测值之间的差异也大，这组观测的精度就低。说明：中误差越小，观测精度越高。第二十页，共四十五页，2022年，8月28日6.2衡量精度的标准1、中误差几点说明：（1）各观测值必须在相同的观测条件下进行的观测；（2）观测值的真值必须可知，真误差才能求出；（3）前面的“±”号不能省略。此外，作为识别观测值优劣的精度标准，常把中误差m做标识，将m置于观测值L数字之后，即L±m，表示该观测值所达到的精度。

第二十一页，共四十五页，2022年，8月28日6.2衡量精度的标准1、中误差例1：设有两组观测值，各组均为同精度观测，它们的真误差分别为：

第一组：；第二组：分别求出两组观测值的中误差。解：根据公式求得

由此可知，第一组观测值比第二组观测值的精度高。

第二十二页，共四十五页，2022年，8月28日6.2衡量精度的标准2、容许误差（极限误差）定义由偶然误差的特性可知，在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。这个限值就是容许（极限）误差。在等精度观测某量的一组误差中，绝对值大于两倍中误差的偶然误差，其出现的概率为4.5％，大于三倍中误差的偶然误差，其出现的概率为0.3%。因此，测量中通常取2倍或3倍中误差作为偶然误差的容许误差，即Δ容=2m或Δ容=3m。

极限误差的作用：区别误差和错误的界限。中误差、真误差和容许误差均是绝对误差。第二十三页，共四十五页，2022年，8月28日6.2衡量精度的标准3、相对（中）误差定义：相对误差K是中误差的绝对值m与相应观测值D之比，通常以分母为1的分式来表示，称其为相对（中）误差。即:

一般情况

:角度、高差的误差用m表示，量距误差用K表示。第二十四页，共四十五页，2022年，8月28日6.2衡量精度的标准3、相对（中）误差[例]

已知两段距离长度和中误差分别为D1=100m,m1=±0.01m，D2=200m,m2=±0.01m，求：K1,K2解：显然，第二段的相对中误差较小，其精度较高。

第二十五页，共四十五页，2022年，8月28日6.3误差传播定律

概念

误差传播定律：阐述观测值的中误差与观测值函数中误差之间关系的定律。

函数形式倍数函数和差函数线性函数一般函数第二十六页，共四十五页，2022年，8月28日6.3误差传播定律一、线性函数的误差传播定律设线性函数为：式中为独立的直接观测值，为常数，相应的观测值的中误差为，则Z的中误差公式为推导过程：由于误差的存在有：所以有：第二十七页，共四十五页，2022年，8月28日6.3误差传播定律一、线性函数的误差传播定律假设对进行了n次独立观测则有：将上述n个式子平方求和除以n得：由偶然误差的第四特性知上式最后一项为0。根据中误差公式则有

第二十八页，共四十五页，2022年，8月28日6.3误差传播定律一、线性函数的误差传播定律1、和差函数根据线性函数中误差公式可得：当观测值为等精度观测时则上式变为，式中m为单位观测中误差。2、倍数函数

Z=KX

根据线性函数中误差公式可得：第二十九页，共四十五页，2022年，8月28日6.3误差传播定律二、一般函数的误差传播定律设非线性函数的一般式为：式中：为独立观测值；为独立观测值的中误差。将函数取全微分，并用“Δ”替代“d”，得按线性函数的误差传播公式可得：第三十页，共四十五页，2022年，8月28日误差传播定律的几个主要公式：函数名称函数式函数的中误差倍数函数和差函数线性函数一般函数返回6.3误差传播定律第三十一页，共四十五页，2022年，8月28日6.3误差传播定律三、运用误差传播定律的步骤求观测值函数中误差的步骤：1.列出观测值函数的表达式：2.对函数式全微分，得出函数的真误差与观测值真误差之间的关系式：式中，是用观测值代入求得的值。

3、根据误差传播定率计算观测值函数中误差：第三十二页，共四十五页，2022年，8月28日6.3误差传播定律三、运用误差传播定律的步骤注意：在误差传播定律的推导过程中，要求观测值必须是独立观测值。[例1]已知：测量斜边D′=50.00±0.05m，测得倾角α=15°00′00″±30″求：水平距离D的中误差解：1.函数式2.全微分3.求中误差第三十三页，共四十五页，2022年，8月28日6.3误差传播定律[例2]用测回法测角，如已知每一方向观测值的中误差为，求一测回角值的中误差。设为照准目标方向的观测值，一个测回的角值等于盘左、盘右两个半测回角值的平均值。解：1.函数式2、由于是线性函数直接带误差传播公式得第三十四页，共四十五页，2022年，8月28日6.3误差传播定律[例3]对一个三角形观测了其中的两个角，测角中误差分别为，求另一个角的中误差。解：1.求函数式2、由于是线性函数直接带误差传播公式得第三十五页，共四十五页，2022年，8月28日6.4同精度观测的算术平均值及其中误差

在实际工作中，除少数理论值的真值已知外，一般观测值的真值，由于误差的影响，很难测定。为了提高观测值的精度，测量上通常利用有限的多余观测，计算平均值来代替观测值的真值，用改正数代替真误差，以解决实际问题。

一、算术平均值(最或然值)

设对某量作了n次等精度的独立观测，观测值为l1、l2……ln则算术平均值为：

第三十六页，共四十五页，2022年，8月28日6.4同精度观测的算术平均值及其中误差

一、算术平均值

(最或然值)

利用偶然误差的特性，可以证明算术平均值比组内的任一观测值更为接近于真值。

证明：设观测量的真值为X，则观测值的真误差为

（i=1，2，…，n）将各式相加得即故即第三十七页，共四十五页，2022年，8月28日一、算术平均值(最或然值)

由偶然误差第四特性知道，当观测次数无限增多时，即说明n趋近无穷大时，算术平均值即为真值。如果n为有限次数，为一微小量，算术平均值x仍较各观测值接近于真值。我们将最接近于真值的近似值称为最或然值或称最可靠值。

6.4同精度观测的算术平均值及其中误差

第三十八页，共四十五页，2022年，8月28日6.4同精度观测的算术平均值及其中误差

二、观测值改正数观测量的最或然值与观测值之差，称为观测值改正数。当为等精度观测时，算术平均值x与观测值之差，即为改正数V，有：将上式两端相加得：（因为）说明观测值改正数有一个重要特性，即在等精度观测条件下，观测值改正数的总和为零。

第三十九页，共四十五页，2022年，8月28日6.4同精度观测的算术平均值及其中误差

三、由观测值改正数计算观测值中误差因此实际工作中通常采用观测值的改正数计算中误差证明：

前提条件：观测值真值X已知前提条件：观测值真值X未知，算术平均值x已知第