【沪科】期中模拟卷A【21-23章】

期中模拟试卷（A卷·基础卷）（考查范围：沪科版九年级上册第21-23章）一、选择题（10小题，每小题2分，共20分）1．（2023秋·福建泉州·九年级校考阶段练习）若，则a+ba=A．35 B．32 C．752．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第一一三中学校校考阶段练习）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5，则cosA． B．34 C．35 D．3．（2023秋·湖北武汉·九年级武汉一初慧泉中学校考阶段练习）将抛物线y=2x2−1A．y=2x+32+4 B．C．y=x−32+34．（2023秋·浙江杭州·九年级校联考阶段练习）已知抛物线y=−5(x+m)2−3．当x≥2时，y随x的增大而减小，那么mA．m≥−2 B．m≤−2 C．－2<m<0 D．m<−25．（2023秋·浙江杭州·九年级校联考阶段练习）已知抛物线y=x2−2x+b的图象上三个点的坐标分别为A(−1,y1)，B(2,y2)，C(4,A．y3>y1>y2 B．6．（2023秋·山东聊城·九年级校考阶段练习）如图，P是正方形ABCD边BC上一点，且BP=3PC，Q是DC的中点，则AQ:QP=（

）

A．2:1 B．3:1 C．3:2 D．5:27．（2023秋·吉林长春·九年级校考阶段练习）西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表，如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中，立柱AC高为a，已知，冬至时北京的正午日光入射角∠ABC约为26.5°，则立柱根部与圭表的冬至线的距离（即BC的长）约为（

A．asin26.5° B．acos26.5∘ C．acos265°8．（2023秋·安徽合肥·九年级合肥市第四十八中学校考阶段练习）正比例函数y=kxk>0与反比例函数y=1x的图象相交于A、C两点，过点A作x轴的垂线交x轴于点B，连结BC，若△ABC的面积为

A．S=1 B．S=2 C．S=3 D．S=49．（2023秋·山东潍坊·九年级昌乐二中校考阶段练习）如图，矩形纸片ABCD，AB=4，BC=3，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，PE、DE分别交AB于点O、F，且OP=OF，则cos

A．1115 B．1315 C．151710．（2023秋·陕西西安·九年级西安市铁一中学校考阶段练习）如图，在正方形ABCD中，，延长BC至E，使CE=2，连接AE，CF平分∠DCE交AE于点F，连接DF，则DF的长为（

）．

A．5 B．322 C． D．二、填空题（6小题，每小题2分，共12分）11．（2023秋·安徽芜湖·九年级校考阶段练习）若关于x的函数y=2−ax2−3是二次函数，则12．（2023春·山东临沂·九年级校考期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，则13．（2023·陕西咸阳·校考二模）据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了世界上第1个“小孔成像”的实验，阐释了光的直线传播原理，如图（1）所示．如图（2）所示的小孔成像实验中可简化为数学问题：AC与BD交于点．若点O到AB的距离为，点O到CD的距离为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度CD是6cm，则蜡烛火焰的高度AB是．

14．（2023秋·陕西延安·九年级校联考阶段练习）如图，二次函数y=−x2+bx+c的图象与x轴相交于A−1,0，B两点，对称轴是直线x=1，顶点为C，对称轴与x轴交于点D，则15．（2023秋·上海·九年级上海市延安初级中学校考阶段练习）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，正方形DEFG的顶点在△ABC的边BC上，顶点E、F分别在边AB、AC上，则这个正方形的边长是．16．（2023秋·重庆渝中·九年级重庆巴蜀中学校考阶段练习）如图，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，延长BC至点E，延长AB至点F，使得CE=BF．连接OE，连接EF，已知EF=810，sin∠

三、解答题（9小题，共68分）17．（2023秋·山东潍坊·九年级昌乐二中校考阶段练习）计算(1)；(2)tan618．（2023秋·北京海淀·九年级北京市师达中学校考阶段练习）二次函数y=ax2−2ax−3(1)求二次函数的对称轴；(2)当A−1,0时，①求此时二次函数的表达式；②把y=ax219．（2023·山西太原·山西实验中学校考模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2，AB=4(1)实践与操作：利用尺规作AC边上的垂直平分线DE，垂足为E，交AB于点D（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）．(2)求出线段DE的长．20．（2023秋·山东聊城·九年级校考阶段练习）如图，在△ABC和△ADE中，已知∠B=∠D，∠BAD=

(1)求证：△ABC(2)若S△ABC:S21．（2023秋·广东深圳·九年级红岭中学校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为，A(2,1)，B(1,−2)．

(1)以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出△OAB的一个位似△OA1B1，使它与△OAB的相似比为2:1，并分别写出点A、B的对应点(2)将△OAB向左平移2个单位，再向上平移1个单位后的，判断△OA1B1与，能否是关于某一点M为位似中心的位似图形？若是，请在图中标出位似中心M22．（2023秋·陕西宝鸡·八年级校考阶段练习）2023年的政府工作报告中传递出文旅发展新动态，陕西某市政府积极响应，对辖区内的景点设施和交通等硬件进行改造和升级，提升消费者的满意程度．如图，该区有A，B，C，D四个景点，景点A，D，C依次在东西方向的一条直线上，景点B在景点D的正北方向，且景点C与景点D的距离为30km，现有公路AB，AD，BD，DC，已知，．

(1)求公路AB的长度；(2)市政府准备在景点C，B之间修一条互通大道（即线段BC），并在大道BC上的E处修建一座凉亭方便游客休息，同时D，E之间也修建一条互通大道（即线段DE），且DE⊥BC．若修建互通大道BC，DE的费用均是每千米17万元，请求出修建互通大道BC，DE的总费用是多少万元？23．（2023秋·山东聊城·九年级校考阶段练习）如图，∠ABD=∠BCD=90°，BD平分∠ADC，点M为AD的中点，连接CM交BD于点N．

(1)求证：BD(2)求证：BM∥(3)若CD=6，AD=8，求MN的长．24．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第一一三中学校校考阶段练习）一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，点A的坐标是(1,6)，点B的纵坐标是−2

(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)请直接写出不等式kx+b>m(3)C为x轴正半轴上一点，连接AC，BC．若△ABC的面积是16，求点C25．（2023秋·福建福州·九年级福建省福州屏东中学校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（其中m>0），交x轴于A,B两点（点A在点B的左侧），交y轴负半轴于点C．

(1)求点A的坐标；(2)如图1，若在x轴上方的抛物线上存在一点D，使得∠ACO=∠BCD，当AB=4时，求点D的坐标；(3)如图2，平面上一点Em,2，过点E作任意一条直线交抛物线于P、Q两点，连接AP,AQ，分别交y轴于M,N两点，则OM与ON

期中模拟试卷（A卷·基础卷）（考查范围：沪科版九年级上册第21-23章）一、选择题（10小题，每小题2分，共20分）1．（2023秋·福建泉州·九年级校考阶段练习）若，则a+ba=A．35 B．32 C．75【答案】C【分析】根据已知等式可得a=5【详解】解：∵，∴a=5∴52故选C．【点睛】此题考查的是比例的性质，能够对所给等式进行正确变形是解决此题的关键．2．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第一一三中学校校考阶段练习）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5，则cosA． B．34 C．35 D．【答案】D【分析】根据题意画出图，再根据余弦的定义计算即可．【详解】解：根据题意画出图如图所示：，AC=4，AB=5，∴cos故选：D．【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A3．（2023秋·湖北武汉·九年级武汉一初慧泉中学校考阶段练习）将抛物线y=2x2−1A．y=2x+32+4C．y=x−32+3【答案】D【分析】利用函数图象的平移规律即可求解．【详解】解：将抛物线y=2x2−1再向上平移4个单位得到：y=2x−3故选D．【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握其平移规律是解题的关键．4．（2023秋·浙江杭州·九年级校联考阶段练习）已知抛物线y=−5(x+m)2−3．当x≥2时，y随x的增大而减小，那么mA．m≥−2 B．m≤−2 C．－2<m<0 D．m<−2【答案】A【分析】可先求得抛物线的对称轴，再由条件可求得关于m的不等式，可求得答案．【详解】解：∵y=−5(x+m∴对称轴为直线，∵a=−5<0∴抛物线开口向下，∴在对称轴右侧y随x的增大而减小，∵当x≥2时，y随x的增大而减小，∴−m≤2，解得故选A．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，由函数的增减性得到关于m的不等式是解题的关键．5．（2023秋·浙江杭州·九年级校联考阶段练习）已知抛物线y=x2−2x+b的图象上三个点的坐标分别为A(−1,y1)，B(2,y2)，C(4,A．y3>y1>y2 B．【答案】A【分析】求出抛物线的对称轴，求出A关于对称轴的对称点的坐标，根据抛物线的增减性，即可求出答案．【详解】解：∵y=∴二次函数的开口向上，对称轴是直线x=1，∴在对称轴的右侧y随x的增大而增大，∴A点关于直线x=1的对称点是D(3,∵2<3<4∴y故选A．【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确二次函数的性质．6．（2023秋·山东聊城·九年级校考阶段练习）如图，P是正方形ABCD边BC上一点，且BP=3PC，Q是DC的中点，则AQ:QP=（

）

A．2:1 B．3:1 C．3:2 D．5:2【答案】A【分析】根据BP=3PC和Q是CD的中点，可以求得CPDQ=CQAD，即可求证【详解】解：在正方形ABCD中，AD=CD=BC=AB．∵BP=3PC，Q是CD∴．又∵∠ADQ=∴△∴，即．故选：A．【点睛】本题考查了相似三角形对应角相等的性质，考查了相似三角形的判定，本题中求证△ADQ7．（2023秋·吉林长春·九年级校考阶段练习）西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表，如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中，立柱AC高为a，已知，冬至时北京的正午日光入射角∠ABC约为26.5°，则立柱根部与圭表的冬至线的距离（即BC的长）约为（

）

A．asin26.5° B．acos26.5∘ C．acos265°【答案】D【分析】根据题意和图形，可以用含a的式子表示出BC的长，从而可以解答本题．【详解】解：由题意可得，立柱根部与圭表的冬至线的距离为ACtan故选：D．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答．8．（2023秋·安徽合肥·九年级合肥市第四十八中学校考阶段练习）正比例函数y=kxk>0与反比例函数y=1x的图象相交于A、C两点，过点A作x轴的垂线交x轴于点B，连结BC，若△ABC的面积为

A．S=1 B．S=2 C．S=3 D．S=4【答案】A【分析】设点A坐标(x,1x)，根据点A，C【详解】解：设点A坐标(x,1∴点C坐标，轴，∴故选：A．【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，三角形的面积，解方程组等知识点，主要考查学生的计算能力，题目比较好．9．（2023秋·山东潍坊·九年级昌乐二中校考阶段练习）如图，矩形纸片ABCD，AB=4，BC=3，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，PE、DE分别交AB于点O、F，且OP=OF，则cos∠

A．1115 B．1315 C．1517【答案】C【分析】根据折叠的性质可得出DC=DE、CP=EP，由、∠B=∠E、OP=OF可得出△OEF≌△OBP(AAS)，根据全等三角形的性质可得出OE=OB、EF=BP，设EF=x，则BP=x、、，进而可得出AF=1+x，在Rt△DAF中，利用勾股定理可求出x的值，再利用余弦的定义即可求出cos∠ADF【详解】解：根据折叠，可知：△DCP，CP=EP．在△OEF和△OBP∠EOF=∴△OEF∴OE=OB，EF=BP．设EF=x，则BP=x，，，PC=BC−BP=3−x，．在Rt△DAF中，AF2解得：x=3，．故选C【点睛】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定与性质、勾股定理以及解直角三角形，利用勾股定理结合AF=1+x，求出的长度是解题的关键．10．（2023秋·陕西西安·九年级西安市铁一中学校考阶段练习）如图，在正方形ABCD中，，延长BC至E，使CE=2，连接AE，CF平分∠DCE交AE于点F，连接DF，则DF的长为（

）．

A．5 B．322 C． D．【答案】C【分析】过点F作FM⊥CE于M，FN⊥CD于N，先证明四边形CMFN为正方形，设CM=x，则FM=FN=CM=CN=x，BE=BC+CE=5，EM=CE−CM=2−x，再证明△EFM∽△EAB，利用相似三角形的性质求得x=34，进而在【详解】解：过点F作FM⊥CE于M，FN⊥CD于

∵四边形ABCD为正方形，，∴∠ABC=∠DCB=∠DCE=90°，BC=AB=CD=3，∵FM⊥CE，FN⊥∴∠DCE=∴四边形CMFN为矩形，∵CF平分∠DCE，FM⊥CE，FN⊥∴FM=FN，∴四边形CMFN为正方形，∴FM=FN=CM=CN，设CM=x，则FM=FN=CM=CN=x，∵CE=2，∴BE=BC+CE=5，EM=CE−CM=2−x，∵∠B=90°，FM⊥∴，又∠E=∠∴△EFM∴FMAB=EM解得x=3∴FN=CN=34，则∴在Rt△DFN中，DF=故选：．【点睛】本题考查了正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、矩形的判定、角平分线的性质、勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质和相似三角形的性质是解答的关键．二、填空题（6小题，每小题2分，共12分）11．（2023秋·安徽芜湖·九年级校考阶段练习）若关于x的函数y=2−ax2−3是二次函数，则【答案】a≠2【分析】根据二次函数的定义即可得．【详解】解：∵函数y=2−a∴2−a≠0，即a≠2，故答案为：a≠2．【点睛】本题主要考查二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握形如y=ax2+bx+c，(a、b、c12．（2023春·山东临沂·九年级校考期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，则sinA+【答案】【分析】利用特殊角的三角函数值得出sin30°，【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠∴∠则sin=3故答案为：．【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．13．（2023·陕西咸阳·校考二模）据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了世界上第1个“小孔成像”的实验，阐释了光的直线传播原理，如图（1）所示．如图（2）所示的小孔成像实验中可简化为数学问题：AC与BD交于点．若点O到AB的距离为，点O到CD的距离为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度CD是6cm，则蜡烛火焰的高度AB是．

【答案】4【分析】先证明△ABO∽△CDO，再根据相似三角形对应高的比等于相似比得到ABCD【详解】解：∵AB∥∴∠BAO=∴△ABO又∵点O到AB的距离为，点O到CD的距离为15cm，∴ABCD∴AB=2故答案为：4【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，熟知“相似三角形对应高的比等于相似比”是解题的关键．14．（2023秋·陕西延安·九年级校联考阶段练习）如图，二次函数y=−x2+bx+c的图象与x轴相交于A−1,0，B两点，对称轴是直线x=1，顶点为C，对称轴与x轴交于点D，则【答案】4【分析】根据对称轴求出b值，利用点A求出c值，再求出点C的纵坐标，可得结果．【详解】解：∵对称轴是直线x=1，∴−b解得：b=2，则y=−x将A−1,0代入y=−x2解得：c=3，∴y=−x当x=1时，，∴CD=4，故答案为：4．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，二次函数的图象和性质，解题的关键是求出各项系数，得出函数解析式．15．（2023秋·上海·九年级上海市延安初级中学校考阶段练习）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，正方形DEFG的顶点在△ABC的边BC上，顶点E、F分别在边AB、AC上，则这个正方形的边长是．【答案】60【分析】由勾股定理得，证明△BDE∽△BAC得到BDDE=ABAC=34，同理可得GFCG=ABAC=34【详解】解：∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，，∵四边形DEFG是正方形，∴DE=FG=DG，∠EDB=∴∠∵∠∴∠∵∠∴△∴BD同理可得：△CGF∴GF设DE=FG=DG=4x，则BD=3x，CG=16∵BD+DG+CG=BC∴3x+4x+解得：x=15∴DE=4x=4×故答案为：6037【点睛】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解此题的关键．16．（2023秋·重庆渝中·九年级重庆巴蜀中学校考阶段练习）如图，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，延长BC至点E，延长AB至点F，使得CE=BF．连接OE，连接EF，已知EF=810，sin∠

【答案】【分析】如图所示，过点O作OH⊥BC于H，先证明是等腰直角三角形，得到OH=CH，同理可得BH=OH，设OH=CH=3x，先解直角三角形得到OE=5x，利用勾股定理求出HE=4x，CE=x，则BE=7x，EF=CE=x，在Rt△BEF中，由勾股定理建立方程49x【详解】解：如图所示，过点O作OH⊥BC于

∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∴是等腰直角三角形，∴OH=CH，同理可得BH=OH，设OH=CH=3x，在Rt△OHE中，s∴OE=5x，∴HE=O∴CE=HE−CH=x，∴BE=7x，EF=CE=x，在Rt△BEF中，由勾股定理得B∴49x∴x=8∴BC=6x=48∴这个正方形的边长是，故答案为：．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，解直角三角形等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．三、解答题（9小题，共68分）17．（2023秋·山东潍坊·九年级昌乐二中校考阶段练习）计算(1)；(2)tan6【答案】(1)6(2)−【分析】（1）根据特殊三角函数值可进行求解；（2）根据特殊三角函数值可进行求解．【详解】（1）解：原式；（2）解：原式==−1【点睛】本题主要考查特殊三角函数值的运算，熟练掌握特殊三角函数值是解题的关键．18．（2023秋·北京海淀·九年级北京市师达中学校考阶段练习）二次函数y=ax2−2ax−3(1)求二次函数的对称轴；(2)当A−1,0时，①求此时二次函数的表达式；②把y=ax2【答案】(1)x=1(2)①y=x2−2x−3；②【分析】（1）利用二次函数的对称轴为x=−b（2）①将点A−1,0带入二次函数即可求解；②利用配方法即可得y=(x−1【详解】（1）解：由题意得：二次函数y=ax2−2ax−3（2）①将点A−1,0带入二次函数得：0=a+2a−3解得：a=1，∴二次函数的表达式为：y=x②y=x2−2x−3∴顶点坐标为：(1,−4)．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式、利用配方法将二次函数的一般式改写为顶点式、二次函数的对称轴，熟练掌握二次函数的对称轴公式及待定系数法求函数解析式是解题的关键．19．（2023·山西太原·山西实验中学校考模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2，AB=4(1)实践与操作：利用尺规作AC边上的垂直平分线DE，垂足为E，交AB于点D（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）．(2)求出线段DE的长．【答案】(1)见解析(2)5【分析】（1）利用基本作图作AC的垂直平分线即可；（2）先利用勾股定理计算出AC=25，再利用线段垂直平分线的性质得到AE=5，DE⊥AC，接着证明△ADE∽△ACB，然后利用相似比计算【详解】（1）解：如图，∴DE为所作的AC边上的垂直平分线；（2）解：∵∠B=90°，BC=2，AB=4在Rt△AC=A垂直平分AC，∴AE=5，DE∵∠A=∠A，∠AED=∴△ADE∽△∴DEBC=解得DE=52∴线段DE的长为52【点睛】本题考查了作图----基本作图：熟练掌握基本作图是解决问题的关键，也考查了线段垂直平分线的性质．20．（2023秋·山东聊城·九年级校考阶段练习）如图，在△ABC和△ADE中，已知∠B=∠D，∠BAD=

(1)求证：△ABC(2)若S△ABC:S【答案】(1)见解析(2)DE=9【分析】（1）根据相似的判定方法证明即可；（2）由相似得到对应线段成比例，即可求出答案．【详解】（1）解：∵∠BAD=∴∠BAD+即∠DAE=又∵∠B=∴△（2）解：∵△ABC∽△ADE，S△∴BC:DE=2:3又∵BC=6∴DE=9【点睛】本题主要考查相似的判定以及性质，熟练掌握相似的判定方法和相似的性质是解题的关键．21．（2023秋·广东深圳·九年级红岭中学校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为，A(2,1)，B(1,−2)．

(1)以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出△OAB的一个位似△OA1B1，使它与△OAB的相似比为2:1，并分别写出点A、B的对应点(2)将△OAB向左平移2个单位，再向上平移1个单位后的，判断△OA1B1与，能否是关于某一点M为位似中心的位似图形？若是，请在图中标出位似中心M【答案】(1)A14,2，(2)能，点M，作图见解析【分析】（1）根据位似变换的性质找出对应点即可求解；（2）根据平移变换的性质画出图形，再根据位似中心的性质可得答案．【详解】（1）解：如图，△O其中，A14,2，

（2）如图所示，△OA1B1与【点睛】本题主要考查了作图−位似变换，平移变换，熟练掌握位似变换的性质是解题的关键．22．（2023秋·陕西宝鸡·八年级校考阶段练习）2023年的政府工作报告中传递出文旅发展新动态，陕西某市政府积极响应，对辖区内的景点设施和交通等硬件进行改造和升级，提升消费者的满意程度．如图，该区有A，B，C，D四个景点，景点A，D，C依次在东西方向的一条直线上，景点B在景点D的正北方向，且景点C与景点D的距离为30km，现有公路AB，AD，BD，DC，已知，．

(1)求公路AB的长度；(2)市政府准备在景点C，B之间修一条互通大道（即线段BC），并在大道BC上的E处修建一座凉亭方便游客休息，同时D，E之间也修建一条互通大道（即线段DE），且DE⊥BC．若修建互通大道BC，DE的费用均是每千米17万元，请求出修建互通大道BC，DE的总费用是多少万元？【答案】(1)公路AB的长度为20(2)修建互通大道BC，DE的总费用是818万元【分析】（1）根据勾股定理即可得到结论；（2）根据勾股定理求得BC=34，咋爱利用三角形等面积法求出，于是得到结论．【详解】（1）解：在Rt△∵，，∴，答：公路AB的长度为20km（2）在Rt△BCD中，，，∴．∵DE⊥∴，即，解得，，∴（万元）．答：修建互通大道BC，DE的总费用是818万元．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．23．（2023秋·山东聊城·九年级校考阶段练习）如图，∠ABD=∠BCD=90°，BD平分∠ADC，点M为AD的中点，连接CM交BD于点N．

(1)求证：BD(2)求证：BM∥(3)若CD=6，AD=8，求MN的长．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)4【分析】（1）通过证明△ABD∽△BCD（2）根据角平分线的定义可得∠MDB=∠BDC，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BM=DM，进而得出∠MBD=∠（3）由平行线的性质可证∠MBD=∠BDC，即可证AM=MD=MB=4，由BD2=AD⋅CD和勾股定理可求MC的长，通过证明△MNB∽△CND，可得BM【详解】（1）证明：∵DB平分∠ADC∴∠ADB=∠CDB，且∠ABD=∴△∴∴（2）∵DB平分∠ADC∴∠∵∠ABD=90°，M为AD中点∴BM=DM∴∠∴∠∴MB∥（3）∵BM∥CD∴∠∴∠ADB=∠MBD，且∠ABD=90°∴BM=MD，∠MAB=∴BM=MD=AM=4∵BD2=AD⋅CD，且CD=6，∴BD∴B∴M7

∵BM∥CD∴△BMCD=MNCN=∴MN=【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，求MC的长度是本题的关键．24．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第一一三中学校校考阶段练习）一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，点A的坐标是(1,6)，点B的纵坐标是−2

(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)请直接写出不等式kx+b>m(3)C为x轴正半轴上一点，连接AC，BC．若△ABC的面积是16，求点C【答案】(1)y1=2x+4(2)−3<x<0或者x>1(3)(2,0)【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数，即可求出反比例函数解析式，再根据B的纵坐标求出B的坐标，最后利用待定系数法即可求解一次函数解析式；（2）不等式kx+b>m（3）先求出一次函数与x轴的交点D的坐标，即有CD=2+t，根据S△ABC=S△ADC+【详解】（1）将点A的坐标(1,6)代入反比例函数，可得：6=m1，解得：∴，反比例函数的解析式为：y2∵点B的纵坐标是−2，∴−2=6xB∴点B的坐标是(−3,−2)，将点B的坐标是(−3,−2)，点A的坐标(1,6)代入一次函数y1可