第十二章 二阶电路的时域分析

第十二章二阶电路的时域分析2023/3/301第一页，共六十页，2022年，8月28日重点用经典法分析二阶电路二阶电路的零输入响应有几种表现形式？特点？难点不同特征根的响应讨论2023/3/302第二页，共六十页，2022年，8月28日1、二阶齐次微分方程的通解形式特征根：特征方程为：通解:知识复习2023/3/303第三页，共六十页，2022年，8月28日当特征方程有不同的实根p1、p2时:当特征方程有相同的实根p时:当特征方程有共轭的复根:2023/3/304第四页，共六十页，2022年，8月28日2、欧拉公式

2023/3/305第五页，共六十页，2022年，8月28日问题的提出第一节RLC串联电路的零输入响应一阶电路是单纯的吸收或释放能量的响应二阶电将将出现动态元件之间的能量交换例+--

++-左图电路中，设开关S闭合前的瞬间，有t=0时开关闭合，分析电路中的暂态过程。RLC串联电路的简单物理过程分析2023/3/306第六页，共六十页，2022年，8月28日1、建立关于uC的电路方程一、

响应uC与iLuC与iL确定的步骤换路后的电路如右图所示在图示参考方向下，电路的KVL方程为式中+--

++-+--++-将上述关系以uC作为应变量代入KVL方程，经整理后得2023/3/307第七页，共六十页，2022年，8月28日

这是一个常系数齐次线性二阶微分方程。

其初始条件为2、确定特解

其次方程没有特解，即uCP=0。2023/3/308第八页，共六十页，2022年，8月28日3、确定通解

其特征方程为

其特征根为

定义α称为衰减常数

ω0为RLC串联电路的谐振角频率

于是

2023/3/309第九页，共六十页，2022年，8月28日

通解为

式中A1、A2是积分常数，由电路初始条件确定。

s1、s2仅决定于电路结构与元件参数，它们是电路的固有频率或自然频率。注意

在二阶电路中，没有时间常数的概念。

α、ω0、s1、s2的单位都是1/s。2023/3/3010第十页，共六十页，2022年，8月28日4、写出全解5、确定常数A1、A2

将上式中令t=0+，代入初始条件，得

在t=0+处，对（12-5）式对t求导，代入初始条件，有2023/3/3011第十一页，共六十页，2022年，8月28日

联立式（12-6）、（12-7）

得积分常数为注意

常数A1、A2不仅与电路初始状态有关，而且，还与电路结构、元件参数有关。2023/3/3012第十二页，共六十页，2022年，8月28日

将积分常数代入uC的全解中，可得零输入响应uC为

电流为2023/3/3013第十三页，共六十页，2022年，8月28日

上式中s1s2由得将上式代入到iL中，化简后得注意

式（12-9）与式（12-11）指出，式中前一项是由电容器上的初始电压U0引起的零输入响应，后一项是由电感器中的初始电流I0引起的零输入响应。初始电压U0引起的零输入响应初始电流I0引起的零输入响应2023/3/3014第十四页，共六十页，2022年，8月28日二、

电路不同参数值时暂态过程分析

在RLC串联电路中，由于元件参数的不同，电路的暂态过程有三种不同的性状。2023/3/3015第十五页，共六十页，2022年，8月28日为了简化分析，设式（12-9）中I0=0。得2023/3/3016第十六页，共六十页，2022年，8月28日这表明，在任一时刻t，有uC>0，电容器始终处于放电状态，暂态过程是非周期性放电。电路为过阻尼。2023/3/3017第十七页，共六十页，2022年，8月28日由得在tm处，iL有一极值。令上式在t=tm处的一阶导数为零，得上式，在s1-s2≠0时，有得2023/3/3018第十八页，共六十页，2022年，8月28日由得在tm’处，uL有一极值。令上式在t=tm’处的一阶导数为零，得得2023/3/3019第十九页，共六十页，2022年，8月28日2023/3/3020第二十页，共六十页，2022年，8月28日

式中的两个常数A1，A2由初始条件iL(0+)和uC(0+)确定。则有2023/3/3021第二十一页，共六十页，2022年，8月28日可得代入初始条件于是有2023/3/3022第二十二页，共六十页，2022年，8月28日当将uC与iL波形都画出来时，可以看出放电过程仍然是非周期性的，暂态过程处于临界状态。电路为临界阻尼。定义为临界电阻2023/3/3023第二十三页，共六十页，2022年，8月28日

为RLC串联电路的衰减震荡角频率。对此定义2023/3/3024第二十四页，共六十页，2022年，8月28日这样电路的固有频率可以写成s1与s2为一共轭复数。则有代入初始条件可得代入uC(t)可得2023/3/3025第二十五页，共六十页，2022年，8月28日

将上式α与ωd看成右图所示直角三角形的两条直角边，利用则上式可以化成2023/3/3026第二十六页，共六十页，2022年，8月28日将上式对t求导，可得式中初相2023/3/3027第二十七页，共六十页，2022年，8月28日上二式表明2023/3/3028第二十八页，共六十页，2022年，8月28日为了简化振荡过程，设I0=0，得由此画出的uC与iL波形如右上图所示。在图示波形中：（1）iL过零点的时刻由得即2023/3/3029第二十九页，共六十页，2022年，8月28日（2）iL过极值的时刻由得即引用右上图中的关系后，有即2023/3/3030第三十页，共六十页，2022年，8月28日由此得iL过极值的时刻为（3）uC过零点的时刻由得即（4）uC达极值的时刻即是iL过零点的时刻2023/3/3031第三十一页，共六十页，2022年，8月28日2023/3/3032第三十二页，共六十页，2022年，8月28日当α=0，即R=0，由得即固有频率为一对共轭虚数。由给出2023/3/3033第三十三页，共六十页，2022年，8月28日这样，由式（12-22）与式（12-23）得2023/3/3034第三十四页，共六十页，2022年，8月28日上二式表明uC、iL的振幅为定值，即电路中的暂态过程是等幅振荡，也即无阻尼振荡。下图为I0=0与uC（0+）=U0时的uC、iL波形。以上分析表明，RLC串联零输入电路暂态过程的特征取决于固有频率s1与s2，即当s1与s2分别为实数、复数与纯虚数时，电路相应的暂态过程就是非周期性放电、衰减振荡与等幅振荡。2023/3/3035第三十五页，共六十页，2022年，8月28日例12-1在图12-6a电路中，L=1H，C=1/4F，uC(0-)=1V，电感器为零初始。T=0时开关S闭合，试就下列情况，计算电容电压uC,并画出uC波形：(1)R=5Ω；(2)R=4Ω；(3)R=2Ω；(4)R=0。+-解(1)R=5Ω临界电阻为电路的暂态过程属于过阻尼。衰减常数为2023/3/3036第三十六页，共六十页，2022年，8月28日

谐振角频率为+-电路的固有频率为电容电压由得2023/3/3037第三十七页，共六十页，2022年，8月28日+-(2)R=4Ω临界电阻为电路属于临界阻尼。电容电压由得2023/3/3038第三十八页，共六十页，2022年，8月28日+-(3)R=2Ω临界电阻为电路属于欠阻尼。衰减常数为谐振频率由给出。衰减振荡角频率由得2023/3/3039第三十九页，共六十页，2022年，8月28日电路的固有频率由式（12-21）得由式（12-24）得电容电压由得2023/3/3040第四十页，共六十页，2022年，8月28日+-(4)R=0R=0时，电路为无阻尼振荡。电容电压由式（12-28）得上述四种情况的uC波形如右图所示。

2023/3/3041第四十一页，共六十页，2022年，8月28日第二节GCL并联电路的零输入响应

GCL并联电路如上图所示，为了得到电路的二阶微分方程，列出KCL方程

+-+-2023/3/3042第四十二页，共六十页，2022年，8月28日代入电容，电阻和电感的VCR方程得到微分方程这是一个常系数非齐次线性二阶微分方程。其特征方程为由此求解得到特征根2023/3/3043第四十三页，共六十页，2022年，8月28日当电路元件参数G,L,C的量值不同时，特征根可能出现以下三种情况：1.时，s1,s2为两个不相等的实根。2.时，s1,s2为两个相等的实根。3.时，s1,s2为共轭复数根。当两个特征根为不相等的实数根时，称电路是过阻尼的；当两个特征根为相等的实数根时，称电路是临界阻尼的；当两个特征根为共轭复数根时，称电路是欠阻尼的。2023/3/3044第四十四页，共六十页，2022年，8月28日由上分析可知，GCL并联电路的零输入响应是RLC串联电路零输入响应的对偶。其对偶特性如下+-+-+--

++-uC与iL有关联方向！uC与iL有关联方向！2023/3/3045第四十五页，共六十页，2022年，8月28日例1：判断如图所示电路，是过阻尼情况还是欠阻尼情况。解：由KVL可知由KCL知则i(t)RLuS(t)2023/3/3046第四十六页，共六十页，2022年，8月28日而将式(2)和式(3)代入式(1)得电路的二阶微分方程其特征方程为2023/3/3047第四十七页，共六十页，2022年，8月28日特征根为因，电路为过阻尼情况。2023/3/3048第四十八页，共六十页，2022年，8月28日例电路如图所示，已知G=3S，L=0.25H,C=0.5F,

iS(t)=(t)A。求t>0时电感电流和电容电压的零状态响应。解：根据G，L，C的量值，计算出固有频率

+-+-2023/3/3049第四十九页，共六十页，2022年，8月28日利用电容电压的初始值uC(0)=0和电感电流的初始值iL(0)=0得到以下两个方程求得常数K1=-2，K2=1。最后得到电感电流和电容电压这是两个不相等的实根，电感电流的表达式为2023/3/3050第五十页，共六十页，2022年，8月28日+-+-2023/3/3051第五十一页，共六十页，2022年，8月28日+-+-2023/3/3052第五十二页，共六十页，2022年，8月28日例图示RLC并联电路中，已知G=0.1S，L=1H，C=1F，

iS(t)=(t)A。求t>0时，电感电流的零状态响应。解：首先计算固有频率其响应为+-+-2023/3/3053第五十三页，共六十页，2022年，8月28日利用零初始条件，得到由此可得最后得到电感电流为2023/3/3054第五十四页，共六十页，2022年，8月28日用计算机程序DNAP画出的电感电流波形如下所示。衰减系数为0.05的电感电流的波形2023/3/3055第五十五页，共六十页，2022年，8月28日u4(t)=ε(t)*[(1.00)*exp(-.500E-01t)]cos(.999t-