第五节洛朗级数展开

第五节洛朗级数展开第一页，共二十页，2022年，8月28日二.双边幂级数其中被称为双边幂级数的正幂部分被称为双边幂级数的负幂部分第二页，共二十页，2022年，8月28日三.收敛环的确定设正幂部分的收敛半径为R1；而负幂部分在变换=1/(z-z0)下的级数的收敛半径为1/R2，则其在|z-z0|>R2外收敛。如果R2<R1，那么双边幂级数就在环状域R2<|z-z0|<R1内收敛，所以R2<|z-z0|<R1给出了双边幂级数的环状收敛域，称为收敛环。双边幂级数在收敛环内绝对且一致收敛。第三页，共二十页，2022年，8月28日正幂部分负幂部分R2R1z0R1z0|z-z0|<R1R2z0R2<|z-z0|收敛环R2<|z-z0|<R1第四页，共二十页，2022年，8月28日积分路径C为位于环域内按逆时针方向饶内圆一周的任一闭合曲线.四.洛朗定理第五页，共二十页，2022年，8月28日证明:为了避免讨论在圆周上函数的解析性及级数的收敛性问题,将外圆稍微缩小为,内圆稍微扩大为,如图应用复通区域上的柯西公式有下面将展开为幂级数,对于沿的积分,展开如下:而对于沿的积分,考虑到用以下方法将其展开第六页，共二十页，2022年，8月28日把分别沿和的展开式代入下式,然后逐项积分可得把第二部分中的k=-(l+1)代替l作为求和指标,并根据柯西定理第七页，共二十页，2022年，8月28日把积分回路改为可得其中C为环域内沿逆时针方向饶内圆一周的任一闭回线,上式称之为f(z)的洛朗展开,右端的级数称为洛朗级数说明:虽然级数中含有z-z0的负幂项,而这些项在z=z0时都是奇异的,但点z0可能是也可能不是函数f(z)的奇点虽然展开系数ak的公式与泰勒展开系数ak的公式形式相同,但这里不论z0是不是f(z)奇点.如果是奇点,则根本不存在第八页，共二十页，2022年，8月28日如果z0不是奇点,则因为成立的条件是以C为边界的区域上f(z)解析,但现在区域上有f(z)的奇点,(如果没有奇点,就不用考虑洛朗级数的展开)不是z0(3)如果只有环心z0是f(z)的奇点,则内圆半径可以任意小,同时z可以无限接近z0,这个时候称为f(z)在它的孤立奇点z0的邻域内的洛朗级数展开式,这种情况特别重要,以后将利用它研究函数在孤立奇点附近的性质.(4)洛朗级数展开式也是唯一的,这点和泰勒级数是一致的,此唯一性使得可用不同的方法求得环域上解析函数的洛朗展开式存在,但仍然不等于第九页，共二十页，2022年，8月28日例1:在z0=0的邻域上把(sinz)/z展开解:函数(sinz)/z在原点没有定义,z0=0是奇点引用sinz在原点的邻域上的展开式:同时为了避开奇点,从复平面挖去奇点,在挖去奇点的复数平面上用z遍除sinz的展开式,就得到(sinz)/z的展开式如果我们定义一个函数f(z)如下:第十页，共二十页，2022年，8月28日则f(z)在整个开平面上是解析的,由上我们可得到f(z)在z0=0的邻域上的展开式:同时也是解析函数f(z)的泰勒级数!例2:解:在的环域上将函数f(z)=1/(z2-1)展开为洛朗级数在展开式中出现无限多负幂次项,但z=0本身不是函数的奇点奇点为z=士1第十一页，共二十页，2022年，8月28日例3:在z0=1的邻域上把f(z)=1/(z2-1)展开为洛朗级数解:先把f(z)分解为分项公式第二项只有一个奇点z=-1,因此可在z0=1的邻域|z-1|<2上可以展为泰勒级数如下:由此我们可得展开式里边出现了-1次项第十二页，共二十页，2022年，8月28日例4:解:我们知道ex在原点邻域上的展开式为把z全换成1/z,可得到以下结果:即这里出现无限多负幂项.在z0=0的邻域上把展开为洛朗级数第十三页，共二十页，2022年，8月28日例5:解:在z0=0的邻域上把展开为洛朗级数由前边的结论我们可得绝对收敛级数以上两个绝对收敛级数可以逐项相乘,乘积中既有无限多正幂项又有无限多负幂项,为了得到乘积中某个正幂zm(1)(2)应取(2)中所有各项分别用(1)中的l=n+m项去乘,为得到某个负幂项z-h应取(1)中所有项而分别用(2)中的n=l+h项去乘,由此可以得到以下结果:第十四页，共二十页，2022年，8月28日将-h记为m,l记为n,则有利用贝塞尔函数可以把上式写成中括号里边是m阶贝塞尔函数Jm(x)第十五页，共二十页，2022年，8月28日第十六页，共二十页，2022年，8月28日第十七页，共二十页，2022年，8月28日第十八页，共二十页，2022年，8月28日12第十九页，共二十页，2022年，8月28日应当指出,根据定理公式直接求一个函数的洛朗级数是很困难的必须计算无穷多个积分才能得到,而不能像泰勒级