第二章误差处理

第二章误差处理2023/3/30北京交通大学电气工程学院姜学东2-1第一页，共七十二页，2022年，8月28日2023/3/30北京交通大学电气工程学院姜学东2-2（一）测量误差的概念测量误差是测量结果与被测量真值的差别。被测量所具有的真实大小，在一定时空条件下，是客观存在的确定的数值。第二章

测量误差理论及数据处理误差Δ=M-T偏差Δ'=M-T'T为真值（得不到理想的）

T'为约是真值，由更高级精密仪器得到。一般认为Δ即Δ'

。一、误差的定义第二页，共七十二页，2022年，8月28日2023/3/30北京交通大学电气工程学院姜学东2-3二、测量误差产生的原因：人类对客观规律认识的局限性；测量器具不准确；测量手段不完善；测量条件发生变化；测量人员疏忽或错误等。第二章

测量误差理论及数据处理第三页，共七十二页，2022年，8月28日2023/3/30北京交通大学电气工程学院姜学东2-4

误差的存在有必然性和普遍。⑴正确认识误差的性质和来源以减小测量误差。⑵正确处理测量数据，以得到接近真值的结果。⑶合理制定测量方案，正确选择测量仪器。三、控制测量误差的意义：第二章

测量误差理论及数据处理第四页，共七十二页，2022年，8月28日2023/3/30北京交通大学电气工程学院姜学东2-5四、误差的分类

按不同的特征分，可有四种分类方法。1.系统误差和随机误差⑴系统误差：在相同条件下分次测量同一量时，误差的绝对值及符号保持恒定，或在条件改变时按条件中确定规律而改变的误差。即包括恒值误差和按一定规律变化的误差，可进行修正。来源：仪表零点不准，刻度不准，所依据的理论不严密，用了某些近似公式方法等等。第五页，共七十二页，2022年，8月28日2023/3/30北京交通大学电气工程学院姜学东2-6关于系统误差：（a）、造成系统误差的原因：第二章

测量误差理论及数据处理测量设备的缺陷、测量仪器不准例如电表零点没调好。测量仪器的安装、放置和使用不当测量环境变化使用的方法不完善，依据的理论不严密、采用近似公式。系统误差可分为仪器误差和环境误差。例如温度、湿度电磁场变化第六页，共七十二页，2022年，8月28日2023/3/30北京交通大学电气工程学院姜学东2-7（c）、种类：恒值系差变值系差周期性累进性第二章

测量误差理论及数据处理（b）、特点具有一定的规律性。对于仪器系统误差可以采用一些方法避免：特定的测量应当选择适当的仪器；确定仪器误差的大小后应用修正系数；用一个标准仪器对仪器进行校准。第七页，共七十二页，2022年，8月28日2023/3/30北京交通大学电气工程学院姜学东2-8⑵随机误差：在实际相同条件下多次测量同一量时，误差的绝对值和符号以不可确定的方式变化着的误差。如偶然的不规则的电磁场辐射，噪声干扰等造成随机误差没有规律，不可确定，不能控制，也不能用实验方法加以消除，但多次测量符合统计规律。第八页，共七十二页，2022年，8月28日2023/3/30北京交通大学电气工程学院姜学东2-9关于随机误差：随机误差的绝对值不会超过一定的界限。绝对值相等的正负误差出现的机会相同*在多次测量中，随机误差相互抵消（a）、产生的原因由影响微小、互不相关的多种因素造成。第二章

测量误差理论及数据处理例如：热骚动、噪声干扰，电磁场微变，空气扰动，大地微震，测量人员感觉器官的各种无规律的微小变化等。第九页，共七十二页，2022年，8月28日2023/3/30北京交通大学电气工程学院姜学东2-10第二章

测量误差理论及数据处理（b）、特点：有界性，对称性，抵偿性。（c）、对测量值的影响。（后续章节再讲）有界性：随机误差的绝对值不会超过一定界限。对称性：绝对值相等的正负误差出现的机会相同。抵偿性：随机误差有相互抵消的特性。第十页，共七十二页，2022年，8月28日2023/3/30北京交通大学电气工程学院姜学东2-11第二章

测量误差理论及数据处理给出值：x真值：x02、绝对误差和相对误差第十一页，共七十二页，2022年，8月28日2023/3/30北京交通大学电气工程学院姜学东2-12绝对误差绝对误差又叫绝对真误差，是示值和真值之差。△x0=x-x0(有量纲)第二章

测量误差理论及数据处理第十二页，共七十二页，2022年，8月28日2023/3/30北京交通大学电气工程学院姜学东2-131、通过仪器仪表测得的值，例如电压表测得的值。2、近似值，例如的值。3、标称值，例如电阻的标称值。1、理论上给出的值，例如三角形内角和为1800。2、计量学上规定的值，例如秒的数值，它具有法律性，作为时间的基准。3、用高一等级的计量标准所测得的量值,称为实际值。4、修正后的值,称为修正值。修正值C=x0-x示值：真值：第二章

测量误差理论及数据处理第十三页，共七十二页，2022年，8月28日2023/3/30北京交通大学电气工程学院姜学东2-14第二章

测量误差理论及数据处理关于修正值：对于较好的仪器，常以表格、曲线或公式的方式随仪器带给用户。修正值：c=x0-x=-△x0修正值通常在标准仪器中给出，x0=x+c由得到实际值。例如：下图为某电流表的修正值曲线当电流表示值为10mA时，从曲线可知C=+0.04mA因此，实际值为10.04mAIC10mA+0.04第十四页，共七十二页，2022年，8月28日2023/3/30北京交通大学电气工程学院姜学东2-15a、相对真误差即为通常所说的相对误差，是绝对误差与真值的比值：

第二章

测量误差理论及数据处理相对误差示值相对误差第十五页，共七十二页，2022年，8月28日2023/3/30北京交通大学电气工程学院姜学东2-16b、分贝误差----相对误差的对数表示因所以可得分贝的定义是依据两种功率电平之比：第十六页，共七十二页，2022年，8月28日2023/3/30北京交通大学电气工程学院姜学东2-17第二章

测量误差理论及数据处理第二章

测量误差理论及数据处理当传输函数A为电流或电压时：（1）（2）（1）式与（2）式相比较，得到下式：分贝误差第十七页，共七十二页，2022年，8月28日2023/3/30北京交通大学电气工程学院姜学东2-18c、引用误差（满度误差）：用于连续刻度的仪表中，表示整个量程内仪表的准确程度。仪表的量程*当传输函数为电压和电流时第二章

测量误差理论及数据处理因此，对于分贝误差有以下两种表示法：*当为功率传输函数时第十八页，共七十二页，2022年，8月28日2023/3/30北京交通大学电气工程学院姜学东2-19常用电工仪表根据引用相对误差的不同分为七级：分别表示引用相对误差所不超过的百分比。仪表等级与测量的相对误差的关系，有重要公式如下：从上式可得到如下结论：1、xm，x0，第二章

测量误差理论及数据处理引用相对误差；最大值2、不用过分强调s小。第十九页，共七十二页，2022年，8月28日2023/3/30北京交通大学电气工程学院姜学东2-203、静态误差与动态误差第二章

测量误差理论及数据处理静态相对误差是指被测量在稳态时，与其变化速度无关的误差。以上所述都属静态误差。动态误差是指测量时动态值与静态值之差。第二十页，共七十二页，2022年，8月28日2023/3/30北京交通大学电气工程学院姜学东2-214、粗大误差定义：超出规定条件下预期的误差。即坏值，通常表示为xk第二章

测量误差理论及数据处理第二十一页，共七十二页，2022年，8月28日2023/3/30北京交通大学电气工程学院姜学东2-22第二章

测量误差理论及数据处理在实际应用中系统误差、随机误差、粗大误差三种误差的划分并非一成不变；粗大误差系统误差随机误差较为随机时有规律时较大时较多时较大时较多时第二十二页，共七十二页，2022年，8月28日2023/3/30北京交通大学电气工程学院姜学东2-23五、测量误差对测量结果的影响第二章

测量误差理论及数据处理1、系统误差的影响：第二十三页，共七十二页，2022年，8月28日2023/3/30北京交通大学电气工程学院姜学东2-24第二章

测量误差理论及数据处理当确定性系差表达式当系差为0，则有2、随机误差的影响当系统误差为零,有结论：系统误差使测量值的数学期望偏离被测量的真值结论：某次测量的随机误差体现测量值对数学期望的偏离。第二十四页，共七十二页，2022年，8月28日2023/3/30北京交通大学电气工程学院姜学东2-25第二章

测量误差理论及数据处理精密度:是用来表示测量结果中随机误差大小的程度.也可以简称为精度.精确度:是用来同时表示测量结果中系统误差和随机误差大小的程度.准确度：是表示测量结果中系统误差大小的程度.定义：测量值的精确度、精密度和准确度描述测量数据的分散程度。3.测量误差的评定第二十五页，共七十二页，2022年，8月28日2023/3/30北京交通大学电气工程学院姜学东2-26第二章

测量误差理论及数据处理举例：打靶第二十六页，共七十二页，2022年，8月28日2023/3/30北京交通大学电气工程学院姜学东2-27第二章

测量误差理论及数据处理(a)图准确度高而精密度低(b)图精密度高而准确度低(c)图精确度高(a)(b)(c)x0第二十七页，共七十二页，2022年，8月28日2023/3/30北京交通大学电气工程学院姜学东2-28第二章

测量误差理论及数据处理目的：用概率论和数理统计的方法研究测量数据的分布规律，及测量数据平均值的性质；用统计平均的方法克服或处理随机误差。采用的方法：概率论和数理统计的方法。（二）测量误差的分析与处理第二十八页，共七十二页，2022年，8月28日2023/3/30北京交通大学电气工程学院姜学东2-29数学期望对被测量x进行n次测量，得到x1……xn称为随机变量，则测量值x的数学期望为一、随机误差的影响及统计处理

———测量数据的数学期望与方差第二章

测量误差理论及数据处理则易知：随机误差：系统误差：绝对误差：第二十九页，共七十二页，2022年，8月28日2023/3/30北京交通大学电气工程学院姜学东2-30第二章

测量误差理论及数据处理测量值的方差反映了测量值的离散程度，也就是随机误差对测量值的影响。1、（1）、数据为离散时相当于算术平均值测量值的数学期望反映了测量值平均的结果；第三十页，共七十二页，2022年，8月28日2023/3/30北京交通大学电气工程学院姜学东2-31第二章

测量误差理论及数据处理（2）、数据为连续时第三十一页，共七十二页，2022年，8月28日2023/3/30北京交通大学电气工程学院姜学东2-32第二章

测量误差理论及数据处理2、n为有限次时（1）、有限次测量时平均值的数学期望和方差对于一系列等精密度的测量，当测量系统、测量条件和被测量不变，则具有相同的数学期望和标准偏差。第三十二页，共七十二页，2022年，8月28日2023/3/30北京交通大学电气工程学院姜学东2-33第二章

测量误差理论及数据处理概率论中两个定理：一、几个随机变量之和的数学期望等于各随机变量的数学期望之和。二、几个相互独立的随机变量之和的方差等于各个随机变量方差之和。当我们对某被测量进行一系列独立的等精密度的测量时，也就是说，从统计学观点来看，测量系统、测量条件、和被测量不变，他们具有相同的数学期望和标准偏差。第三十三页，共七十二页，2022年，8月28日2023/3/30北京交通大学电气工程学院姜学东2-34第二章

测量误差理论及数据处理或：结论：1、平均值的数学期望等于总体数学期望标准偏差2、平均值的方差减少了n倍。第三十四页，共七十二页，2022年，8月28日2023/3/30北京交通大学电气工程学院姜学东2-35第二章

测量误差理论及数据处理用平均值估计M(X).对于方差,用贝塞尔公式估计:或残差（2）、用有限次测量估计测量值的数学期望和方差第三十五页，共七十二页，2022年，8月28日2023/3/30北京交通大学电气工程学院姜学东2-36第二章

测量误差理论及数据处理数学期望和方差总体数学期望总体方差均值数学期望均值方差数学期望估计方差估计1)(ˆ12-=å=nv2Xniis第三十六页，共七十二页，2022年，8月28日2023/3/30北京交通大学电气工程学院姜学东2-37第二章

测量误差理论及数据处理二、异常数据的剔除异常数据：误差绝对值较大的测量数据，它对测量值的平均值及标准偏差估计值都有较大的影响。产生原因：测量仪器、测量方法、测量条件不正常或测量人员的错误所造成。判别异常数据的思路：给定置信概率、找出相应区间、区间外数据即为异常数据。第三十七页，共七十二页，2022年，8月28日2023/3/30北京交通大学电气工程学院姜学东2-38第二章

测量误差理论及数据处理判别异常数据常用准则：莱特准则：肖维纳准则：格拉布斯准则：对于均匀分布：第三十八页，共七十二页，2022年，8月28日2023/3/30北京交通大学电气工程学院姜学东2-39莱特准则由于随机误差的影响，测量数据有一定的分散性在正态分布下，由统计学知识第二章

测量误差理论及数据处理第三十九页，共七十二页，2022年，8月28日2023/3/30北京交通大学电气工程学院姜学东2-40即误差绝对值超过3G（x）的概率分布仅占0.27%，因此常把3G（x）作为判别异常数据的界限。工程技术中即置信系数为3、2。计量技术中取第四十页，共七十二页，2022年，8月28日2023/3/30北京交通大学电气工程学院姜学东2-41莱特准则在测量数据为正态分布的情况下，如果测量次数足够多，习惯上取3G（x）作为判别异常数据的界限，称为莱特准则。（足够多指n>10次）第四十一页，共七十二页，2022年，8月28日2023/3/30北京交通大学电气工程学院姜学东2-42第二章

测量误差理论及数据处理三、误差的处理系统误差的处理：1、确定系统误差是否存在；2、分析原因，在测量前和测量过程中尽力消除；3、对掌握了大小和方向的系统误差，采用一定的方法对残余的系统误差进行修正；4、对不能掌握大小和方向的系统误差，要尽力估计大体范围，掌握对测量结果的影响。采用一些专门的测量技术和测量方法第四十二页，共七十二页，2022年，8月28日2023/3/30北京交通大学电气工程学院姜学东2-43第二章

测量误差理论及数据处理1、恒值系差的判别：用多次测量的平均值与被测量真值之间是否存在差异的办法来检验。系统误差分为恒值系差和变值系差。由前述公式可知，测量的绝对误差第四十三页，共七十二页，2022年，8月28日2023/3/30北京交通大学电气工程学院姜学东2-44对于同时存在的随机误差和系统误差的测量数据，只要测量次数足够多，各次测量绝对误差的算术平均值就等于测量的系统误差ε。取平均值后，随机误差的影响可以消除。证明：第四十四页，共七十二页，2022年，8月28日2023/3/30北京交通大学电气工程学院姜学东2-45例：用一数字电压表在相同条件下测同一电源的电压得到几个数据如下。经计量单位鉴定该电源电压的实际值为6.189V。求测量的系统误差的估计值（P24）i123456789101112Vi6.2386.2366.2276.2356.2286.2256.2376.2296.2346.2326.2246.230第四十五页，共七十二页，2022年，8月28日2023/3/30北京交通大学电气工程学院姜学东2-46变值系差累进性系差周期性系差2、变值系差的判别：第四十六页，共七十二页，2022年，8月28日2023/3/30北京交通大学电气工程学院姜学东2-47第二章

测量误差理论及数据处理判据：1、马利可夫判据：用于累进性系差的判别。N为偶数时N为奇数时当存在累进性系差第四十七页，共七十二页，2022年，8月28日2023/3/30北京交通大学电气工程学院姜学东2-48第二章

测量误差理论及数据处理2、阿卑-赫梅特判据常用于判别周期性系差，也可用来发现累进性系差。若则认为测量中存在变值系差。第四十八页，共七十二页，2022年，8月28日2023/3/30北京交通大学电气工程学院姜学东2-49第二章

测量误差理论及数据处理消除或减弱系统误差的典型测量技术根据测量的具体条件和内容，可选择以下几种方法：1、零示法GVVxR1R2使被测量对指示仪表的作用与某已知的标准量对它的作用相互平衡，使指示仪表示零，被测量等于标准量。第四十九页，共七十二页，2022年，8月28日2023/3/30北京交通大学电气工程学院姜学东2-50第二章

测量误差理论及数据处理2、代替法（置换法）是在测量条件不变情况下，用一个标准已知量代替被测量，并调整标准量使仪器的示值不变，那么，被测量等于标准量的数值。GRxR3R1R2GR0R3R1R2第五十页，共七十二页，2022年，8月28日2023/3/30北京交通大学电气工程学院姜学东2-51第二章

测量误差理论及数据处理3、交换法（对照法）进行两次测量，交换被测量在系统中的位置或测量方向使两次测量中误差源对被测量的作用相反，对照两次测量值，取平均值，减小系统误差影响。4、微差法与零示法类似，不同的是，被测量与标准量存在微差，不能完全消除指示仪表误差带来的影响，但不需要标准量连续可调。使用较为广泛。第五十一页，共七十二页，2022年，8月28日2023/3/30北京交通大学电气工程学院姜学东2-52思想：利用莱特准则，去除粗大误差，求出标准误差步骤：a.按测量先后次序列成表格

b.计算算术平均值

c.计算剩余误差vid.计算均方根差（标准误差）δ1e.检查有无>3δ的vig.重新整理表格

h.重新求均方根差δ2…如此循环，直到全部在3δ之内。

j.结果输出。随机误差的处理：第二章

测量误差理论及数据处理第五十二页，共七十二页，2022年，8月28日2023/3/30北京交通大学电气工程学院姜学东2-53利用软件来实现：流程图如下：第二章

测量误差理论及数据处理第五十三页，共七十二页，2022年，8月28日2023/3/30北京交通大学电气工程学院姜学东2-54第二章

测量误差理论及数据处理总误差与分项误差的关系：各分项误差总误差合成限定总误差各分项误差分配一、误差传递公式设若y在附近各阶偏导数存在，则可把y展开为台劳级数，且略去高阶小量，有：（三）测量误差的合成与分配第五十四页，共七十二页，2022年，8月28日2023/3/30北京交通大学电气工程学院姜学东2-55第二章

测量误差理论及数据处理同理，有m个分项时，有（1）（1）式适用于函数的和、差关系。例：第五十五页，共七十二页，2022年，8月28日2023/3/30北京交通大学电气工程学院姜学东2-56第二章

测量误差理论及数据处理对于相对误差，有：（2）将（1）式代入第五十六页，共七十二页，2022年，8月28日2023/3/30北京交通大学电气工程学院姜学东2-57第二章

测量误差理论及数据处理二、系统误差的合成有：（2）式适用于函数乘、商、开方和乘方关系。例：第五十七页，共七十二页，2022年，8月28日2023/3/30北京交通大学电气工程学院姜学东2-58第二章

测量误差理论及数据处理三、随机误差的合成根据上述的推导，若系差为零，则有：如随机误差可以忽略，则有：第五十八页，共七十二页，2022年，8月28日2023/3/30北京交通大学电气工程学院姜学东2-59四、分配对于m项相互独立的分项测量结果，有：第二章

测量误差理论及数据处理常见的误差分配原则:1、等准确度分配指以相等的误差分配到各分项。第五十九页，共七十二页，2022年，8月28日2023/3/30北京交通大学电气工程学院姜学东2-60第二章

测量误差理论及数据处理第六十页，共七十二页，2022年，8月28日2023/3/30北京交通大学电气工程学院姜学东2-61第二章

测量误差理论及数据处理2、等作用分配指分配给各分项的误差对测量误差总和的作用或对总和的影响相同。第六十一页，共七十二页，2022年，8月28日2023/3/30北京交通大学电气工程学院姜学东2-62第二章

测量误差理论及数据处理分配给各分项的误差为：第六十二页，共七十二页，2022年，8月28日2023/3/30北京交通大学电气工程学院姜学东2-63第二章

测量误差理论及数据处理一、有效数字及数字的舍入规则有效数字：规定误差不得超过末位单位数字的一半，从左边第一个不为零的数字起，到右面最后一个数字止，为有效数字。（四）测量数据的处理在测量中不可避免地存在误差，并且仪器的分辨能力也有限，测量数据不可能完全准确。为了表示得确切，通常规定误差不得超过末位单位数字的一半。第六十三页，共七十二页，2022年，8月28日2023/3/30北京交通大学电气工程学院姜学东2-64有效数字中除末位外前面各位数字都是准确的，只有末位数欠准，但包含的误差不应大于末位单位数字的一半。第二章

测量误差理论及数据处理3.860V，表示误差绝对值不大于0.0005V3.86V，表示误差绝对值不大于0.005V科学计数法，3.910x1054位有效数字。第六十四页，共七十二页，2022年，8月28日2023/3/30北京交通大学电气工程学院姜学东2-65小于5舍，大于5入，等于5时取偶数。舍入规则：如12.6012.6112.6212.63第二章

测量误差理论及数据处理对每个测量值，小数点后第2位都包含有误差，所以小数点后第三位无意义，要按舍入原则处理掉。古典的“四舍五入”有缺陷。如