浙江师范大学《高等数学》d9-7方向导数与梯度

第九章第七节一、方向导数

二、梯度三、物理意义方向导数与梯度引言偏导数:反映的是函数沿坐标轴方向的变化率。方向导数:反映函数在指定方向上的变化率。讨论函数沿任一指定方向的变化率的问题一、方向导数定义：

若函数则称为函数在点P0

处沿方向l

的方向导数.在点处沿方向l

(方向角为

)存在下列极限:记作定理:则函数在该点沿任一方向

l

的方向导数存在,证明:由函数且有在点P0

可微,得故特别:•当l与x轴同向•当l与x轴反向对于二元函数为,)的方向导数为向角对于三元函数为

)的方向导数为向角例1.求函数

在点P(1,0)沿从点向P到Q（2，-1）的方向的方向导数.解:向量

PQ

=(1，-1)的单位向量为例2.

求函数在点(1,1,2)沿方向l的方向导数，其中l的方向角分别为60度、45度、60度.解:

与l同向的单位向量因为函数可微分，且由此，得二、梯度

方向导数公式令向量这说明方向：f变化率最大的方向模:

f的最大变化率之值方向导数取最大值：1.定义即同样可定义二元函数称为函数f(P)在点P

处的梯度记作(gradient),在点处的梯度说明:

函数的方向导数为梯度在该方向上的投影:向量其中称为向量微分算子或Nabla算子.(为方向l上的单位向量)说明:

函数在一点的梯度与函数在这点的方向导数间的关系:（1）当θ=0，即方向el与梯度gradf方向相同时，函数增加最快.此时函数在这个方向的方向导数达到最大值，这个最大值就是梯度的模.（2）当θ=π，即方向el与梯度gradf方向相反时，函数减少最快.此时函数在这个方向的方向导数达到最小值.（3）当θ=π/2，即方向el与梯度gradf方向正交时，函数的变化率为0.2.梯度的几何意义称为函数f

的等值线或等高线

.则L*上点P处的法向量为即函数在点P的梯度垂直于该点等值线,并指向函数增大的方向.函数f在点P的梯度方向就是等值线在这点的法线方向n.推广到三元函数为f的等值面.则函数f在点(x0,y0,z0)的梯度的方向就是其上点P处的法向量为称等值面在这点的法线方向n,梯度的模就是函数沿这个法线方向的方向导数.设函数

在空间区域G内具有一阶连续偏导数则对于每一点P0（x0,y0,z0），都可以定出一个向量

这向量称为函数f在点P0（x0,y0,z0）的梯度，记作gradf或三元函数在一点的梯度，是这样一个向量，它的方向是函数在这点方向导数取得最大值的方向；它的模等于方向导数的最大值.等高线图举例这是利用数学软件Mathematica绘制的曲面及其等高线图,带阴影的等高线图中,亮度越大对应曲面上点的位置越高等高线图带阴影的等高线图例3.

求解:例4.

设函数解:(1)点P处切平面的法向量为在点P(1,1,1)处的切平面方程.故所求切平面方程为即(2)求函数f在点P(1,1,1)沿增加最快方向的方向导数.求等值面

(2)函数f在点P处增加最快的方向为沿此方向的方向导数为思考:

f在点P处沿什么方向变化率为0?注意:

对三元函数,与垂直的方向有无穷多)0,1,2(=PzzyyyzxPfn)ln,,2()(1-=Ñ=3.梯度的基本运算公式例5.证:试证处矢径r的模,三、梯度的物理意义函数(物理量的分布)数量场

(数量函数f(M))场向量场(矢量函数，向量值函数F(M))如:温度场,电势场等如:力场,速度场等对于空间区域G内的任一点M，可微函数梯度场(向量场F(M)的一个势函数)(势场)注意:

任意一个向量场不一定是梯度场.若向量场F(M)是某个数量函数f(M)的梯度，则称因为它不一定是某个数量函数的梯度.(向量场F(M)为势场)例5.已知位于坐标原点的点电荷q在任意点试证证:

利用例5的结果这说明场强:处所产生的电势为垂直于等势面,且指向电势减少的方向.内容小结1.方向导数•

三元函数在点沿方向l

(方向角的方向导数为•

二元函数在点的方向导数为沿方向l(方向角为2.梯度•

三元函数在点处的梯度为•

二元函数在点处的梯度为3.关系方向导数存在偏导数存在•

•

可微梯度在方向l

上的投影.方向:

f变化率最大的方向模:

f的最大变化率之值•

梯度的特点P1112，36，7，10

作业备用题

1.函数在点处的梯度解:则注意x,