函数最值求法

1/8函数的最值.pqs)：p,q是方程x2-sx+1(s2-2)=0的两个实根.3s3s例1.2实数x,y满足4x2-5xy+4y2=5,设s=x2+y2,则ssmaxmin解:由题意知,xy=s-1,故(xy)2=(s-55又x2+y2=s：x2,y2是方程t2-st+(4s-1)2=0的两个实根.510解得共s共,即s=s=133min13,max3当自变量的取值范围为一区间时,常用单调性法来求函数的最值.若函数在整个区间上是单调的,则该函数在区间端点上取到最大值或最小值.若函数在整个区间上不是单调的,则把该区间分成各个小区间,使得函数在每一个区间上是单调的,再求出各个小区间上的最值,从而可以得到整个区间上的最值.(8x-x2>0xxxxx-6,2/8minmaxminmaxx_13例2.2求函数y=,：y=：y=,y=min17max5运用均值不等式求最值,必须具备三个必要条件,即一正二定三等,缺一不可."正"是指各项均为正数,3/822注:在用均值不等式求函数的最值时,往往需要配合一定的变形技巧,才可以把问题转化成求不等式的2222222222时成立,故sin(1+cos9)的最大2434.换元法用换元法求函数最值,就是根据函数表达式的特点,把某一部分看作一个整体或用一个新变元来代替,达到化繁难为简易,化陌生为熟悉,从而使原问题得解.换元法通常有三角代换和代数代换两种.例4.1正数x,y满足a+b=1,其中a,b为不相等的正常数,求x+y的最小值.xyau解：au解：令=,当且仅当=,即当且仅当=,即24max44max45.几何法某些二元函数最值问题具有图形背景,这时我们可以将所给函数表达式化为具有一定几何意义的代数表达式,再利用几何图形,对函数最值作出直观的说明和解释.根据函数所表示的几何意义,我们可以将函数4/8例求函数f(x)=的最小值.y的斜率的最值<如图>.显然,当点P与点B(1,0)重合时,直线AP的斜率最小,此时K=1.当直线AP与上半个单位圆x2+y2=1(y>0)相AB3切时,直线AP的斜率最大.APK4KKK44综上可得,直线AP的斜率的最值为:K=K=,K=K=minAB3maxAP3：f(x)min=,f(x)max=yfx义是：在抛物线y=x2上的点P(x,x2)分别到点A(3,2)和点B(0,1)的距离之差,求其最大值.5/8v的最大值.x=y+1,y=x+1由此可知:当y)–1时,x)w;当x)–1时,y)w由此不难得出,当双曲线族xy+x+y–v=0与单位圆x2+y2=1切于点T(2,2)时,纵截距22v取得极大值1+2,而1+2>1,故所求纵截距v的极大值就是最大值.22因此,所求函数v的最大值为1+22法设n个数据X,X,,X的平均数为X,则其方差为12n一些试题的最值问题.这种方法适用的范围很广,可以用来求函数的最值,也可以用来求某一字母的最值以与求某一代数式的最值.6/833pq的方差是k最大值为2在(a,b)内的各极值与f(a),f(b)中的最大值与最小值.要求三次与三次以上的函数的最值,以与利用其他方法很难求的函数似的最值,通常都用该方法.导数法往往就是最简便的方法,应该引起足够重视.minmaxminmax(|n)|200又f(1)=1,limf(将f(10000),f(1)与limf(x)加以比较,得f(x)的最大值为f(10000)=1x)w2007/812342f(x)的增区间.f(x)的4个单调区间依次成"减——增——减——增"的顺序,使得首、尾两个区间的单调性相异,从而使得f(x)在"两次探底"中得到最〔小〕点.4444nfx比大小可得.[说明]本函数是二次函数的复合函数,用配方法求最值也很简便.8/8a4a最值寻根的导数判定若定义在一个开区间上的函数y=f(x)有导函数f,(x)=g(x)存在,那么f(x)是否有最值的问题可转化为f(x)的导函数g(x)是否有最根的问题来研究：〔2〕若导函数g(x)有唯一的根x,即f'(x)=0,则f(x)有最值f(x).此时,导函数f,(x)的根000x即是函数f(x)最根x