导数压轴选择题

A．a>bB．a<bf()的不同实根个数是=xf()的不同实根个数是=x+a+bx+c点关于x的方程3(f(x))1．(2014?海口二模)设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2)=0，当x>0时，有恒成立，则不等>0的解集是()A．(﹣2，0)∪(2，+∞)B．(﹣2，0)∪(0，2)C．(﹣∞，﹣2)∪(2，+∞)D．(﹣∞，﹣2)∪(0，2)2．(2013?安徽)若函数32有极值x1，x2，且f2．(2013?安徽)若函数32有极值x1，x2，且f(x1)=x1，则2．3．(20文昌模拟)设动直x=m与函数，g=lnx的图象分别交则|MN|的最13?线f(x)=x3(x)于点M、N，小值为()24．(2012?辽宁)已知P，Q为抛物线x2=2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，﹣2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为()AB．3C．﹣4D．﹣85．(2012?无为县模拟)已知定义在R上的函数f(x)、g(x)满足，且f′(x)g(x)<f(x)g′(x)，，若有穷数列(n∈N*)的前n项和等于，则n等于()a围)A．(﹣∞，1]7．(2011?武昌区已知f(x)域为R模拟)图所示．若两定满足f﹣1，正数a，b(a+2b)<1在(﹣∞，+∞)上是增函数，则的奇函数，f(﹣4)=f(x)的导函数f′(x)的图象如，则的取值范围是()8．(2010?辽宁)已知点Py=上，α为曲线在点P处的切线的倾斜围为(C．10．若函数，且0<x1<x2<1，设，则a，b的大小关系是(是(11．已知函数f(x)=x3+ax2+2bx+c(a，b，c∈R)，且函数f(x)在区间(0，1)内取得极大值，在区间(1，2)内取得极小值，z=2+b2的取值范围)A则(a+3)(A 二．填空题(共7小题)13．(2014?江苏模拟)已知函数f(x)满足f(x)=2f()，当x∈[1，3]，f(x)=lnx，若在区间[，3]内，函数g(x)=f(x)﹣ax有三个不同零点，则实数a的取值范围是．14．(2010?盐城三模)设a>0，函数，若对任意的x1，x2∈[1，e]，都有f(x1)≥g(x2)成立，则实数a的取值范围为． (x)在区间(0，1)上单调递增，则b的取值范围是_____．2，2]，使得g(x0)=f(x1)成立，则实数a的取值范围___． (2)存在常数M>0，使|f(x)|≤M|x|对一切实数x均成立；(3)点是函数y=f(x)图象的一个 (4)函数y=f(x)图象关于直线x=π对称．其中正确的．(把你认为正确命题的序号都填上)fxlnx，有以下4个命题①对任意x1、x2∈(0，+∞)，有f()≤；0<x0<x1<x2，总有x0∈(x1，x2)，使得f(x0)≤．其中正其中正确的是________(填写序号)x﹣xinfmm的取值范围是________三．解答题(共4小题)20．(2014?凉州区二模)已知函数f(x)=plnx2+(p﹣1)x2+1． (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)当P=1时，f(x)≤kx恒成立，求实数k的取值范围； 21．(2014?佛山模拟)设a∈R，函数f(x)=lnx﹣ax． (1)若a=2，求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程； (2)若a<，试判断函数f(x)在x∈(1，e2)的零点个数，并说明你的理由； (3)若f(x)有两个相异零点x1，x2，求证：x1?2x2>e2．22．(2012?武汉模拟)已知函数f(x)=ln(1+x)﹣ax在x=﹣处的切线的斜率为1．(Ⅰ)求a的值及f(x)的最大值； (Ⅱ)证明：1+++…+ln>(n+1)(n∈N*)；Ⅲ)设g(x)=b(ex﹣x)，若f(x)≤g(x)恒成立，求实数b的取值范围．23．(2009?聊城二模)已知函数为大于零的常数． (1)若函数f(x)在区间[1，+∞)内调递增，求a的取值范围； (2)求函数f(x)在区间[1，2]上的最小值； (3)求证：对于任意的成立．所以在(0，2)内恒有f(x)＞0；在(2，+∞)内恒有f(x)所以在(﹣∞，﹣2)内恒有f(x)＞0；在(﹣2，0)内恒有f (x)＜0．又不等式x2f(x)＞0的解集，即不等式f(x)＞0集所以答案为(﹣∞，﹣2)∪(所以答案为(﹣∞，﹣2)∪(0，fxxaxbxx是方程3x2+2ax+b=0的两根，不妨设x2＞x1，由3(f(x))2+2af(x)+b=0，则有两个f(x)使等式成立，x1=f如下示意图象：如图有三个交点，故选A 如下示意图象：如图有三个交点，故选A解：画图可以看到|MN|就是两条曲线间的垂直设F(x)=f(x)﹣g(x)3=x3﹣令F′(x)＞0得x＞；令F′(x)＜0得0＜x＜，所以当x=时，F(x)有最小值为F()=+ln3= lnAxyPQP∴∴点A的纵坐标为﹣2x﹣24故选C解：∵=，f(x)g(x)＜fx)又，即，即，解得a=2(舍去)或．要两段都是增函数且两个函数的交点处要满足递增，22解：由f(x)的导函数f′(x)的图象，设f′(x2)=mx=+nn又a＞0，b＞0，则画出点(b，a)的可行域而可视为可行域内的点(b，a)与点M(﹣2，﹣2)连线8．98．9．x﹣x﹣x增，因为f'(x)=x^2+2cosx在x∈(0，2】>0恒成立根据奇函数的性质可得出，在其对应区间上亦是单调递增的f(1+x)+f(x^2﹣x)>0∵函数f(x)在区间(0，1)内取得极大值，在区间(1，2)内取得∴f′(x)x2+ax+2b=0在(0，1)和(1，2)内各有一个根f′(0)>0，f′(1)<0，f′(2)>0即(a+3)2+b2表示点(a，b)到点(﹣3，0)的距离的平12．知(﹣3，0)到直线a+b+2=0的距离，平方为为最小值，由得(﹣axaxfxaxa所以a=0符合题意；0)的距离2，所以z=(a+3)2+b2的取值范围为()故选项为BI)当0<a≤3时，′2f(x)=﹣3ax2+(a﹣3)为开口向下的=a1﹣2a3()≤0，f(x以函数f(x)在定义域上为单调递减函数，函数f(1)=﹣3，此时符的最小值为合题意；′2 xa函数f(x)在[﹣1，﹣]上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以此时函综上所述：当即时符合题意．故选B[，3]内，函数g(x)=f(x)﹣ax，有三个不①a>0若x∈[1，3]时，f(x)=lnx，可得g(x)lnx﹣ax，(x>0)g′(x)=﹣a=，若g′(x)＜0，可得x＞，g(x)为减函数，若g′(x)＞0，可得x＜，g(x)为增函数，此时g(x)必须在[1，3]上有两个交点，若g′(x)＞0，可得x＜﹣＜0，g(x)为增函数若g′(x)＜0，可得x＞﹣，g(x)为减函数，在[，1]上有一个交点，则，解得0＜a≤6ln3② (x)﹣ax，有三个不同的零点，③a=0，显然只有一解，舍去综上：≤a＜．故答案为：≤ag(x)的最大值为g(e)=e﹣1xafxefaeaae内，解：∵f(x3)=x﹣3x，∴f′(x)=3(x﹣1)(x+1)，当x∈[﹣2，﹣1]，f′(x)≥0，x∈(﹣1，1)，f′(x)＜0；x∈(1，2]，f′(x)＞∴f(x)在[﹣2，﹣1]上是增函数，(﹣1，1)上递减，(1，2)递增；∴f(x)的值域A=[﹣2，2]；又∵g(x)=ax+1(a＞0)在[﹣2，2]上是增函数，同理g(x)=ax+1(a＜0)在[﹣2，2]上是减函数，17．解：∵f(x)=2xcosx是一个奇函数，在对称的区间上单调性相同，故不对，排除(1)因为|cosx|≤1，令M=2即得|f(x)|≤M|x|成立，故(2)对，因为f()+f(﹣x)=﹣(π+2xs)inx+(π﹣2x)sinx=﹣4xsinx≠0，所以点不是函数y=f(x)图象的一个对称中心，故(3)不对．函数y=f(x)图象不关于直线x=π对称故(4)不对故答案为：()218．解：∵f(x)=lnx是(0，+∞)上的增函数，∴对于①由f()=ln，lnf故①错误．对于②，∵x1＜x2则有f(x1)＜f(x2)，故由增函数的定对于③由不等式的性质得x1f(x1)＜x2f(x2)，故③错误；m20．解：(1)f(x)的定义域为(0，+∞)，f′(x)=，当p≥1时，f′(x)>0，故f(x)在(0，+∞)上单调递增；当p≤0时，f′(x)<0，故f(x)在(0，+∞)上单调递减；当0<p<1时，令f′(x)=0，解得x=．则当x时，f′(x)>0；x时，f′(x)<0，故f(x)在(0，)上单调递增，在上单调递减； (2)∵x>0，令h(x)=，则k≥h(x)max，∵h′(x)==0，得x=1，且当x∈(0，1)，h′(x)>0；当x∈(1，+∞)，h′(x)<0；所以h(x)在0，1)上递增，在(1，+∞)上递减，所以h(x)max=h(1)=1，故 kfxxxf(x)<x，即lnx<x﹣1，∴令 (1)当a=2时，切线的斜率k=， (2)方法一：2 (i)当a≤0时，f'(x)≥0，则f(x)在(1，e)上单调递增， (ii)当a>0时，令f'(x)=0，得．①时，则当x∈(1，e2)，有f′(x)≥0，从而f(x)在(1，e2)单调递增，22222当即时，则∴f(x)在x∈(12，e2)有且只有一个零点．当时，函数f(x)有且只有一个零点．函数f(x)在x∈(1，e2)的零点个数等2价于函数y=a的图象与函数的图象的交点个数，令g(x)=，则，由g'(x)=0，得x=e，在区间(1，e)上，g'(x)＞0，则函数g(x)是增函数，∴g(1)＜g(x)＜g(e)，即；在区间(e，2e2)上，g'(x)＜0，则函数g(x)是减函数，∴g(e2)＜g(x)＜g(e)，即．22∵，∴当a≤0时，f(x)在x∈(1，e2)没有零点；当时，函数f(x)有且只有一个零 (3)原不等式?lnx1+lnx2＞2．t＞1，于是?．故函数h(t)在(1，+∞)上为增函数，∴th)(＞h(1)=0，22．：(Ⅰ)解：函数f(x)的定义域为(﹣1，+∞)．求导数，得f′(x)=﹣a．由已知，∵函数f(x)=ln(1+x)﹣ax在x=﹣处的切线的斜率为1当﹣1＜x＜0时，f′(x)＞0；当x＞0时，f′(x)＜0． (Ⅱ)证明：法(一)：由(Ⅰ)，得ln(1+x)﹣x≤0，即ln(1+x)≤x，当且仅当x=0时，等号成立．令x=(k∈N*)，则＞ln(1+)，即＞ln，∴＞ln(k+1)﹣lnk(k=1，2，…，n)．将上述n个不等式依次相加，得n法(二)：用数学归纳法证明． (1)当n=1时，左边=1=lne，右边=ln2，∴左边＞右边，不等式成立． (2)假设当n=k时，不等式成立，即1+++…+＞ln(k+1)．由(Ⅰ)，知x＞ln(1+x)(x＞﹣1，且x≠0)．x=，则＞ln(1+)=ln，∴ln(k+1)+＞ln(k+1)+ln=ln(k+2)，根据(1)(2)，可知不等式对任意n∈N*都成立． (Ⅲ)解：∵f0()=0，g(0)=b，若f(x)≤g(x)恒成立，则b≥0．由(Ⅰ)，知f(x)max=f(0)=0． (1)当b=0时，g(x)=0，此时