人教版八年级上册数学 第十二章 全等三角形 解答题专题提高训练 (12)(有解析)

第十二章全等三角形解答题专题提高训练(12)1．如图，在

ABC

和DBE中点D在

AC

上，

BC

与DE于点，DB，BDE，

．（）证：；（）

ADDC2.5，，与△BEP的长和．2．如图所示，，E，F，在条直线上，CF，过E，分作DE

，

BF

，

.（）证△ABF≌CDE；（）证：平EF.3．如图在中ABBACD为AC的中，AE于F交BC于E．（1）求证：．(2)求证：(3)直接写出BD、AE之间满的数量关系．4．如图1，在

ABC

中，

ABBC

，

AC

，把一块含30角的三角板DEF直角顶点D放AC的点直三角板的短直角边为DE，长直角边为DF)，C在DE上，点B上.

(1)求叠部分

BCD

的面积；(2)如2，将直角三角板DEF绕D点顺时针方向旋转30度DE交DF交于点N①请说明：DM；

于点，②在此条件下，

ABC

与直角三角板DEF重部分的面积会发生变化吗？请说明理由，并求出重叠部分的面.(3)如3，将直角三角板DEF绕D点顺时针方向旋转度

0

)，

BC

于点，DF交点N则DN的结论仍成立吗？重叠部分的面积会变吗(请直接写出结论，不需要说明理)5．已知中，＝，＝BC，是BC上点，连接AE（）图1，平∠时⊥于的周长为10，求的长；（）图2，长BC至，使DC＝BC，线段AE绕A顺针旋转90°得段AF，连接，过点作⊥BC，交FC的长线于G求证BG＝．6．我们把两组邻边分别相等的边形叫做“筝形”。如图，四边形

ABCD

是一个筝形，其中

，

AD

.请说明：（）

ABDCBD

；（2）垂平分线段

.7．定义：两边的平方和与这两乘积的差等于第三边平方的三角形叫和三形如1在中若2AB，ABC“和三角”.

（）边三角一定和谐三角”，是命题（填真或假）（）RtABC中，C90AC，BC，，是“和三角形，

ab:c

.（）图2，等边三角形

ABC

的边

AC

，

BC

上各取一点D，且

ADCD

，AE，BD相于点F，

是BEF的，若

是和三角形，

.①求证：ADCE②连结，

ABD，那么线段，，能组成一个“和谐三角形？能，请给出证明：若不能，请说明理.8．如图，在

ABC

中，

ACB90

，

，D是边一点（点D与A

，点B不合），连结

CD

在

CD

的右侧作等腰直角三角形

CDE

．（）证：；（）BF时求BEF的度数．9．如图，在△ABC中作射线AD，BC于D，线段及其延长线上分别取点E，，结CE，，CEBF。请添加一个件，使得BDF≌△CDE,你添加的条件是（不添加辅助线.并明10．们知道：有两条边相等的角形叫做等腰三角形．类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形．（）图，在中，点D，分在AB，AC上设CD，BE相交点，若

A

，

DCBEBC

．请你写出图中一个与相的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形？（）

ABC

中，如果A是等于

的锐角，点D，分在，

AC

上，且DCBEBC

．探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论．11．图所示，在eq\o\ac(△,Rt)中，∠＝90°，平∠交BC于D．(1)若BC＝，＝，点D到AB的距离是多少？(2)若∠＝°求∠的数．12．图∥，D，分别是AB，上点DE=EF．求证ADE≌△CFE．13．图，在等边

中，

ABBC

厘米，

DC

厘米，如果点

以

3厘米/的度运动．

（）果点在线段上由点C向运．点在段BA上B向点运动，它们同时出发，若点的运动速度与点的动速度相等：①经过“秒后，

和

CDM

是否全等？请说明理由．②当两点的运动时间为多少秒时，

BMN

刚好是一个直角三角形？（）点

的运动速度与点的动速度不相等，点

从点B出发，点以来的运动速度从点

C

同时出发，都顺时针沿

ABC

三边运动，经过

秒时点

与点

第一次相遇，则点N的动速度__________米/秒（直接写出答案）14．图，点B在线AE上∠CAE=∠，∠求证：15．图，已知△ABC，按如下步骤作图：①以点A为圆长为半径画弧．②以点C为圆长为半径画弧，两弧相交于点D．③连结，与AC交点E，连结，CD．求证：△ABE≌△ADE16．图：已知、分在AB、上，，∠∠，BE=3，CD的长．17．图，已知点、、E在同一直线上，∠，，DE，∠°，求∠的数；

18．图，直线、CD相于点O平分BOC，COF.(1)若∠AOF=50°，∠BOE的度数；(2)若∠BOD:∠，∠的度数19．问题提出）规定：四条边对应相等，四个角对应相等的两个四边形全等．我们借助学“三角形全等的判”获得的经验与方法“全四边形的判”进行探究．（初步思考）在两个四边形中，我们把一边对应相”“一个角对应相”称为一个条件，满足4个条件的两个四边形不一定全等，如边长相等的正方形与菱形就不一定全等．类似地，我们容易知道两个四边形全等至少需要5个条件．（深入探究）小莉所在学习小组进行了研究，她们认为5个件可分为以下四种类型：Ⅰ一条边和四个角对应相等；Ⅱ二条边和三个角对应相等；Ⅲ三条边和二个角对应相等；Ⅳ四条边和一个角对应相等．（）明认为Ⅰ条边和四个角对应相的两个四边形不一定全等，请你举例说明．（）红认为Ⅳ条边和一个角对应相的两个四边形全等，请你结合下图进行证明．已知：如图，．求证：．证明：

（）刚认为可以Ⅱ二条边和三个角对应相”进步分类，他以四形

和四边形

为例，分为以下四类：①②③④

，，，，

，，，，

，，，，

，，，，

；；；；其中能判定四边形

和四边形

全等的是（序号），概括可“全四边形的判定方”，这个判定方法是．（）亮经过考认为也可以“Ⅲ三条边和二个角对应相”进步分类，请你仿照小刚的方法先进行分类，再概括得出一个全等四边形的判定方法．20．图题：在如图所示的方中，每个小方格都是边长1的方形，是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），请做出与有一条公共边且全等的所有格点三角形

【答案解析】1．（）明解析；）

CDP

与△的长为

1

．（）根据角和差得出

ABCDBE

，再根据三角形全等的判定定理即可得证；（）根据三形全等的性质得出式、线段的和差即可得．ABDCBE（）

ACBE4

，再根据三角形的周长公CBDCBECBD，即

ABCDBEBDE在和DBE中

DBEDBEASA；（）

ADDCACADDC由（），

BCBE4与△BEP的长和为

CDDPBPBECP)DP)CD2.5即

CDP

与△的长和为

1

．【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、角的和差等知识点，熟记三角形全等的判定定理与性质是解题关键．2．（）解；2见解析（）出AF＝，＝DEC90°，根据HL证ABF≌CDE即可；（）出BF，根据AAS证≌DEG即可．（）AE＝，∴＋＝＋，∴＝，∵⊥，⊥，

∴在和中，

，）（2），∴BF，BGF＝DGE和中

BFGDEG＝DE

，∴≌△DEG，即BD平．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和质，注意：三角形全等的判定定理有S，全等三角形的对应边等，对应角相等．3．（1证明见解析；证见解析；（3结论BDAEDE理由见解.（1）据同角的余角相等，即证.（2）C作CMAC交AE的长线于M，证明ABDCAM，ADBM，ADCM，BDAM，明CDECME，得到M，可明（3）据CDECME得到MEDE，可接出、ED之足的数量关系．（1）明：AEBDAFBBAC90，ABDBAF90，BAFCAE90，ABDCAE．（2）明：过CACAE的延长线于M，则ACM90BAC，CM//，MCEABCACBBAFADB，ADBFAD90，ABDBAF90ABDCAM，在ABD和CAM中DABACM,ABAC,ABDCAM,ABDCAM，ADBM，ADCM，BDAM，D为AC中点，ADDCCM在CDECME，CDCM,DCEECM，CECE,CDECME(SAS)，MCDE，

BCDBCD．（）：结：BD

AE

DE．理由：

，

DE，AM

AE

ME

AE

DE，

AM，

AE

DE．【点睛】考查余角的性质，全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键4．

=

；①明见解析；②重叠部分的面积不变为；＝DN的结论仍成立，重叠部分面积不会变（）叠部分是个等腰直角三角形，求出其直角边，即可求解；（）连接，证得BD＝，C＝45°，进而求CDM≌△，即可得到DM＝；利①中的结论CDM≌△BDN即得出答案；（）明过程似（），根据2）中的结论，可以直接写出．解：∵＝，＝，是的点，∠＝，∴∠＝∠＝CBD45°BD⊥∴＝＝

AC＝∴＝eq\o\ac(△,S)

CD·BD＝×1×1＝.(2)①接，∵＝，是AC的中点，∠＝，∴∠＝∠＝＝∠ABD＝，∴＝，＝∠NBD＝45°，又∵直角三角板DEF绕D点顺时针方向旋转30度，∴∠CDM＝∠BDN=30°，∴△CDM△BDN(ASA).∴＝②由①知△CDM≌△BDN，

∴

＝＝eq\o\ac(△,S)

，即此条件下重叠部分的面积不变为

.(3)DM＝的结论仍成立，重叠部分面积不会.（明过程类似（））【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质和三角形全等的判定和性质，正确理解题目中叙述的旋转过程，作出辅助线是解决本题的关键．5．（）＝m2）见解析（1根据等腰三角形的性质得到°，根据角平分线的性质得到，根据全等三角形的性质得到AH=AC，于是得到结论（2先连接，据AAS判△ADF≌△ABE，到DF=BE再判定△≌△，得出DF=BG进而得到BG=BE．解：（）∵∠＝，＝，∴∠＝45°，∵平∠时⊥AB于H，∴＝＝BH在eq\o\ac(△,Rt)与eq\o\ac(△,Rt)中AE，∴eq\o\ac(△,Rt)与eq\o\ac(△,Rt)（），∴＝，∴＝，∵△EHB的长为，∴＝＝BC+BH＝10m；（）图所示连接，线段AE绕点A顺时针旋转得线段AF则AE＝AF，EAF90°，

∵⊥，DC＝，∴＝，∠ABE＝∠45°，∴∠BAD90°＝∠，∴∠BAE＝，∴△ABE≌△（），∴＝，∠ADF＝∠＝45°，∴∠＝，∵⊥，∴∠CBG＝∠CDF＝又∵＝，＝∠，∴△≌△（）∴＝，∴＝．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，依据全等三角形的对应边相等得出结论．6．（）见析；（2详见解.（1根据已知条件利用SSS即证明全等；（2由

ABD

得到

CDB

，再根据AD=CD利等腰三角形“三线合一性即可证得垂平分线段

（）和ADDBDB，

CBD

中，∴

ABD

（）（）知，

ABD∴

∵

AD

，∴BD直平分线段AC.

【点睛】此题考查三角形全等的判定定理及性质定理，熟记定理并熟练运用是关.7．（）；2）:c3:.（），证明见解析（1利用“和谐三角形”的定义验证即可；（2若

ABC

是和三角形，分

，a

ac

，b

a

三种情况，分别进行讨论即可；（3①先利用“和谐三角形”和第2）问的结论得出

60

，然后再利用等边三角形的性质证明

，则结论可证；②先证明ABF≌CAG，出BF，出FG，EG然后分别表示出AG

2

,EF

2

,,

2

，然后用“和谐三角形”定义验证即（1）设等边三角形三边分别为∵三角形为等边三角形∴a=b=c∵

ab

∴等边三角形是“和谐三角形”故答案为“真”（）

90，BC，∴a2.①若a

2

2

ab

2

，则

.（去）②若2，a22，∴aca

，得

a

.由勾股定理得ba∴:c3:2.③若b

a

，则

，∴bc2b，cb

.由勾股定理得∴a::c

a3:1:2∵

b∴a::c

3:1:2（去）综上可知，

是和谐三角形时ab:c3.（）∵在等三角形中，∴

BC，ACBBAC

.又∵BG是BEF的，BGF是和三”，∴FG:BGBF3:2.∴

60

.∴

FBABFG

.

又∵

FABEAC

.∴

FBA

.∴

≌CAE()

.∴CE.②∵

GCBABD

，

∴∴

FAB60ACGABF≌CAG)

.∴

.由

AC

，

AD

知

BECD

，设FG，，

3∴AG

2BFx

34

2EF2

3xy

2

x22，∴

AG

222

xy

2

2

2

，∴AG

EF

，∴线段，，CD能成一个和谐三角形【点睛】本题为材料理解题，主要考查了全等三角形的判定及性质，能够理解“和谐三角形”的定义是解题的关键.8．（）明解析；）

BEF67.5

．（）“”证；（）全等三形的性质可得BE，求解．解：（）为腰直角三角，90

45等三角形的性质可，

CD

，又

ACB

，

DCE，BCE，在

和

BCE

中BCBCECDACD(；（）

ACB，，ACDBCE，AD，

45又：ADBFBFBE，BEF．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明是题的关键．．DE=DF由已知可证﹦FBD，EDCFDB，因为三角形全等条件中必须是三个元素，并且一定有一组对应边相等．故添加的条件是（CE∥或ECD=∠DBF或∠∠等；添加的条件是：或CE∥或ECD=∠或∠DEC=∠等.证明：中∵

BDEDCFDBDE∴△BDF≌△【点睛】此题考查全等三角形的判定，解题关键在于掌握判定定.10．）∠相的角是BOD、COE四边形DBCE是等对边四边形；）在等

对边四边形DBCE，明见解析；（1根据三角形外角的性质可得BOD60°根据对顶角的性质可得COE＝60°；作⊥BE于点作⊥，D交延线于F点过明≌△，可得＝，再明BDF≌△，即可证明四边形DBCE等对边四边形；（2作⊥于G点作BF交CD长线于点．易eq\o\ac(△,证)BCF≌△，而证明△BDF≌△，所以＝，所以四边形等对边四边形．（1）∵∠=60°

DCBEBC

∴∠∠OCB=30°BOD∠COE=∠OBCOCB＝＋30°60°，∴与∠A相等的角是∠BOD∠，四边形DBCE是对边四边形，证明如下：如图，作⊥BE于点作BF交CD延线于点．∴∠∠∠∵∠＝＝

∠ABC=BC，∴△BCF≌△CBG∴＝CG∵∠BDF＝∠ABE∠DOB，BEC∠ABE＋∠A∠∠∴∠BDF＝∠BEC又∵∠∠CGE=90°，＝，∴△BDF≌△，∴BD＝CE∴四边形DBCE是对边四边形．（2存在等对边四边形，理由如下：如图，作⊥BE于点作BF交CD延线于点．∴∠∠∠

∵∠＝＝≌△CBG，∴＝CG

∠ABC=BC，∵

DCBEBC

1∴∠=∠OBC＋∠OCB+=，2∴∠A=BOD，∵∠BDF＝∠ABE∠DOB，BEC∠ABE∠A∴∠BDF＝∠BEC又∵∠BDF=CGE=，＝，∴△BDF≌△，∴BD＝CE∴四边形DBCE是对边四边形．【点睛】解决本题的关键是理解等对边四边形的定义，把证明问题转化为证明三角形全等的问题．11．）（2）过点D作DE⊥于先求出CD，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=CD，而得解；根据角平分线的定义可求出∠CAB的数，再据三角形内角和定理即可解.解：1）点D作DE于，∵，，∴CD=BC-BD=10-6=4，∵∠，平分∠，∴DE=CD=4，即点D到AB的离是4；(2)因AD平BAC，所以∠2＝又因为∠＝90°，所以∠90°－＝【点睛】本题考查的知识点是角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，解题关键是熟记性质并作出辅助线．

12．解析首先根据∥可∠=∠，加对顶角AED，和条件DEEF可用ASA证≌△．∵∥，∴∠ADE∠，和中，

CEF∴△ADE△(ASA)．【点睛】本题考查了利用角边角来证明两个三角形全等，题中用到了平行线的性质定理，两条直线平行，内错角相等．13．）

，理由详见解析；②当

t

秒或t秒，BMN是直角三角形；2）或2.6．（）根据题得，所以BM=4cm=CD．据“”明≌CDM；②设运动时间为秒分别表示CM和BN．两种情况，运用特殊三角形的性质求解：I∠NMB=90；Ⅱ．∠BNM=90°（）M与第次相遇，有两种可能．点运动速度快；②．点N运速度快，分别列方程求解．解：（）

．理由如下：

NM

厘米/秒且

t

秒，26())BMCM10cm)BNCMCD4()BM，CDM．

(SAS)②设动时间为t秒，直角三角形有两种情况：Ⅰ．当

NMB

时，60，

，BM，32(10t)

（秒）；Ⅱ．当

BNM

时，60，BMN．，10t

（秒）当

t

秒或t秒时，BMN是直角三角形；9（）两种情讨论：①．点M

运动速度快，则

325V，解得VNN

；②．点

运动速度快，则

2525N

，解得

3.8N

．故答案是

2.6

．【点睛】本题考查等边三角形的性质和特殊直角三角形的性质及列方程求解动点问题，两次运用分类讨论的思想，难度较大．14．明见解析根据等角的补角相等可得到∠∠，由条件CAE=∠，AB=AB可利用证明△≌，根据全等三角形对应边相等可得结.证明：∵∠∠CBE=180°，ABD+∠DBE=180°，∠，∴∠∠，在△和△中，∵∠CAE=∠，，ABC=∠，∴△≌（∴AC=AD.15．解析试题分析：由

判定

.

再由

SAS

证明ABE试题解析：在

△

与

ADC

中，

ABAD{DCADC

BAC在△ABE

和中，AD{AE，≌ADE16．试题分析：要求，要证明BE=，与CD分放在两三角形中，证明两三角形全等即可得到，而证明两三角形全等需要三个条件，题中已知一对边和一对角对应相等，观察图形可得出一对公共角，进而利用ASA可出三角形ABE与角形ACD全等，利用全等三角形的对应边相等可得证．试题解析：在△和ACD中ABAC

，≌（）∴=（等三角形的对应边相等）．∴点睛：此题考查了全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定方法为SSS；；；；（直角三角形判定全等的方法），常常利用三角形的全等来决线段或角相等的问题，在证明三角形全等时，要注意公共角及公共边，对顶角等隐含条件的运用．100°试题分析：先根据AAS证△≌△，得到∠＝∠°，再根据邻补角示得∠BFD的数试题解析：∵∠A∠D，∴∠∠∵，∴即BC＝，在△和△中

11111111111111111

BCEF∴△≌DEF（）∴∠＝，又∵∠＝，∴∠＝80，又∵∠∠∠＝°∴∠100°18．（1；）AOF70（）据补角余角的关系，可得COB，据角平分线的定义，可得答案；（）据邻补，可得关于x的程，根据解方程，可，根余角的定义，可得答案．(1)COF与DOF是补角，∴∠COF=180°−∠DOF=90°.∵∠与∠AOF互为余角，∴∠AOF=90°−50°=40°.∵∠与是补，∴∠∠AOC=180°∵平∠，∴∠BOE=

∠；(2)∠BOD:∠，设∠BOD=∠，BOE=COE=4x.∵∠与是补，∴∠∠，即，解得x=20°.∵∠与AOF互为余角，∴∠AOF=90°∠−20°=70°.【点睛】此题考查角平分线的定义，对顶角、邻补角，解题关键在于掌握其性质定.1