决胜2021年中考数学压轴题全揭秘专题15动点综合问题（教师版含解析）

决胜2021中考数学压轴题全揭秘精品

专题15动点综合问题

r、

【考点1】动点之全等三角形问题

[例1]1.如图,CA_LBC,垂足为C,AC=2Cm,BC=6cm,射线BM_LBQ,垂足为B,动点P从C点出发以lcm/s

的速度沿射线CQ运动，点N为射线BM上一动点，满足PN=AB,随着P点运动而运动，当点P运动秒

时，ABCA与点P、N、B为顶点的三角形全等.（2个全等三角形不重合）

【分析】

此题要分两种情况：①当P在线段BC上时，②当P在BQ上，再分别分两种情况AC=BP或AC=BN进行

计算即可.

【详解】

解：①当P在线段BC上，AC=BP时，AACB^APBN,

，BP=2,

.♦.CP=6-2=4,

.二点P的运动时间为44-1=4（秒）；

②当P在线段BC上，AC=BN时，AACB^ANBP,

这时BC=PN=6,CP=O,因此时间为0秒；

③当P在BQ上，AC=BP时，AACB^APBN,

：AC=2,

，BP=2,

，CP=2+6=8,

.•.点P的运动时间为8+1=8（秒）；

④当P在BQ上，AC=NB时，AACB^ANBP,

VBC=6,

，BP=6,

，CP=6+6=12,

点P的运动时间为12+1=12（秒），

故答案为0或4或8或12.

【点睛】

本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等时必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角

必须是两边的夹角.

【变式J-1］已知正方形A3CQ的对角线AC与5。交于点0,点E、尸分别是线段05、0C上的动点

（1）如果动点E、尸满足8E=0尸（如图），且f时，问点E在什么位置？并证明你的结论；

（2）如果动点E、尸满足8E=C〃（如图），写出所有以点E或尸为顶点的全等三角形（不得添加辅助线）.

【答案】（1）当AE_L8尸时，点E在80中点，见解析；⑵以点E或F为顶点的全等三角形有△ABE四△BCF,

△AOEdBOF,/^ADE^/\BAF.

【分析】

（I）根据正方形性质及已知条件得出△8EA/SZ^4E0,ABEMsABOF,再根据三角形相似的性质即可得出

答案；

（2）根据正方形性质及8E=C/即可得出全等的三角形.

【详解】

解：（1）当AE_LBR时，点£在8。中点.证明如下：

延长AE交BE于点M，如图所示：

•;ZBME=ZAOE,ABEM=ZAEO,

.-.ABEM^AAEO,

BMEM

..---=----,

OAEO

・；NMBE=/OBF,NBME=NBOF,

.BMEM

,,一，

BOOF

vAO=BO,

1.EO=OF,

・；BE=OF,

BE=EO,

故当AE_L斯时.，点E在30中点；

⑵・.•四边形ABC。是正方形，

AO=CO=BO=DO,ACIBD^AB=BC=AD=CD,

ZACB=ZABD=ZADE=ZBAC=45°f

•:BE=CF，

：.OE=OF,AF=DE，

•:BE=CF，ZABD^ZACB,AB=BC,

在AABE和4BCF中，

'BE=CF

<ZABD=ZACB,

AB=BC

:.^ABE^/\BCF{SAS)

同理可得△AOEwABOF,/XADE=ZXBAF;

，以点E或户为顶点的全等三角形有人钻石三科中，AAOE=ABOF,Z\4DE=Afi4F；

本题主要考查了全等三角形的性质、正方形的性质，相似三角形的判定及性质，比较综合，难度较大，熟

练掌握正方形的性质是解题的关键.

【支式J-2】如图①，将长方形纸片沿对角线剪成两个全等的直角三角形ABC、EDF,其中A3=8MI,

BC=6cm,AC=10cm.现将△4BC和△E。尸按如图②的方式摆放（点4与点。、点8与点E分别重合）.动

点P从点A出发，沿AC以2c机/s的速度向点C匀速移动；同时，动点。从点E出发，沿射线EO以ac,"/s

（OVaV3）的速度匀速移动，连接PQ、CQ、FQ,设移动时间为fs（0W/W5）.

（1）当t—2时，S^AQF=3S^BQCt贝!]a=；

（2）当以P、C、。为顶点的三角形与△5QC全等时，求a的值；

（3）如图③，在动点尸、。出发的同时，△45C也以3c,n/s的速度沿射线EO匀速移动，当以4、P、。为顶

点的三角形与△EFQ全等时，求a与f的值.

3

【答案】(1)1;(2)-；(3)a=2时，f=2；或。=2.3时，f=5.

2

【分析】

(1)由题意得/8AF=/A8C=90°,8。=4=2"，AF^BC,由三角形面积得4。=38。，则AB=4BQ=8,

得8Q=2=2a,则a=l；

(2)由题意得点P与B为对应顶点，PQ=BQ=at,PC=BC=6,ZCPQ=ZABC=90°,则AP=AC-PC

=4,PQVAC,得f=2,则PQ=8Q=2m再由三角形面积关系即可得出答案；

(3)分两种情况：①AP与E。为对应边，AQ与E尸为对应边，01]AP=EQ,A0=EF=IO,求出a=2,BQ

=BE-EQ=t,则AQ=AB+8Q=8+/=10,解得f=2：

②AP与EF为对应边，AQ与EQ为对应边，则AP=EF=10,AQ=EQ,求出f=5,则4Q=EQ=5a,得

BQ=\5-5a,或8Q=54-15,再分别求出。的值即可.

【详解】

解：(1)由题意得：ZBAF=ZABC=90°,BQ=at=2a,AF=BC,

VSaAQF=3S&BQC>S^AQF=-AFXAQ,S^RQC=—BCXBQ,

：.AQ=3BQ,

：.AB=4BQ=S,

8。=2=2a,

.".a—1；

故答案为：1;

(2)；以尸、C、。为顶点的三角形与△BQC全等，C。是公共边，

.•.点。与8为对应顶点，PQ=BQ^at,PC=BC=6,NCPQ=/A8C=90°,

..."=AC-PC=10-6=4,PQLAC,

\"AP=2t=4,

Ar=2,

・•・PQ=BQ=2a,

'//XABC的面积=Z\ACQ的面积+Z\8CQ的面积，

・・.—X8X6=LX10X2«+—X2aX6,

222

3

解得:a=—■；

2

⑶由题意得：ZA=ZE,

・・・NA与NE为对应角，分两种情况：

①A尸与EQ为对应边，AQ与ER为对应边，则AP=E。，AQ=EF=\O,

,:EQ=att

/.at=2t9

♦"*a=2,

：.EQ=2tt

•:BE=3t,

：.BQ=BE-EQ=t9

・・・AQ=A8+8Q=8+f=10,

解得：f=2；

②AP与EF为对应边，AQ与£。为对应边，则AP=£F=10,AQ=EQ,

A2r=10,

t=5f

：.AQ=EQ=5a,

•；BE=3t=15,

：.BQ=15-5a,或5。=5>-15,

当8Q=15-5a时,AQ=i5-5a+8=23-5a,或AQ=8、（15-5a）=5a-7,

/.56f=23-5a,或5a=5a-7（无意义）,

解得：4=2.3；

当BQ=5a-15时，AQ=5a-15+8=5〃-7,

或4。=8-（5a-15）=7-5a,

.\5a=5a-7（无意义），或5a=7-5a,

解得：a=0.7,不合题意，舍去；

综上所述，a=2时，f=2；或4=2.3时，f=5.

【点睛】

本题主要考查全等三角形的综合问题及动点问题，关键是根据题意找到动点之间的联系，然后结合全等三

角形的性质进行求解问题即可，注意分类讨论思想的运用.

【考点2］动点之直角三角形问题

【例2】如图，在四边形纸片A8CO中，AB//CD,ZA=60°,ZB=30°,CD=2,BC=4,点£是

AB边上的动点，点/是折线A—。一。上的动点，将纸片ABCD沿直线旅折叠，使点A的对应点A'落

在AB边上，连接AC,若［M'BC是直角三角形，则AE的长为.

【分析】

如图（见解析），先利用解直角三角形、勾股定理、矩形的判定与性质求出AB的长，再分NA'CB=9O。和

ZBAC=90。两种情况，分别求出A'3的长，然后根据折叠的性质、线段的和差即可得.

【详解】

如图，过点C作于点M,过点D作于点N,

QAB//CD,

:.CMLCD,DN工CD,

，四边形CDNM是矩形，

/.MN=CD=2,CM=DN,

在用△BGV/中，/8=30。,8。=4,

：.CM=-BC=2,BM=yjBC2-CM2=2G，

2

：.DN=2,

在RtMADN中，4=60°,ZADN=30°,DN=2,

...AN=ON•tan乙ADN=，

3

AB=A2V+MN+3"=亚+2+26=2+更,

33

由折叠的性质得：AE=A'E，

•••点A'在AB边上,

..AE+AE=A4'，

即AE=-AA',

2

由题意，分以下两种情况：

(1)当NA'CB=90。时，口46。是直角三角形，

在MEH'BC中，48=匹^=—--,

cosBcos3003

A4'=AB-A2=2+M一延=2，

33

AE——AA=—x2=1；

22

⑵当N8A'C=90°时，口48。是直角三角形，

在RtQABC中，A'B=BCcosB=4cos30°=，

AA'=AB-A'B=2+^--2s/3=2+^-,

33

.“1“1L2忖.V3

..AE——AA——x2H--------1+—；

2233

综上，AE的长为1或1+也，

3

故答案为：1或1+3.

3

【点睛】

本题考查了解直角三角形、勾股定理、矩形的判定与性质、折叠的性质等知识点，依据题意，正确分两种

情况讨论是解题关键.

【变式2-1](2019•辽宁中考模拟)如图，已知二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴交于点A(4,0)和点Dl­

l.0),与y轴交于点C,过点C作BC平行于x轴交抛物线于点B,连接AC

(1)求这个二次函数的表达式；

(2)点M从点O出发以每秒2个单位长度的速度向点A运动；点N从点B同时出发，以每秒1个单位长度

的速度向点C运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停动，过点N作NQ垂直于BC交AC

于点Q,连结MQ.

①求AAQM的面积S与运动时间t之间的函数关系式，写出自变量的取值范围；当t为何值时，S有最大

值，并求出S的最大值；

②是否存在点M,使得△AQM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.

19

【答案】（l）y=-X2+3X+4；（2）@S=-t2+t+2；0<t<2；S**«=-?②存在，点M的坐标分别为（1,

24

0)和(2,0).

【解析】

【分析】

(1)由待定系数法将AD两点代入即可求解.

⑵①分别用t表示出AM、PQ,由三角形面积公式直接写出含有t的二次函数关系式，由二次函数的最大值

可得答案；

②分类讨论直角三角形的直角顶点，然后解出I,求得M坐标.

【详解】

(1)；二次函数的图象经过A(4,0)和点D(-l,0),

[16a+4Z?+4=0

a—b+4=0

a——\

解得＜c，

b=3

所以，二次函数的解析式为y=-x?+3x+4.

⑵①延长NQ交x轴于点P,

：BC平行于x轴，C(0,4)

，B(3,4),NP1OA.

根据题意，经过t秒时，NB=t,0M=2t,

则CN=3-t,AM=4-2t.

VZBCA=ZMAQ=45°,

，QN=CN=3-t,

.♦.PQ=NP-NQ=4-(1-t)=l+t,

I1

SAAMQ=—AMxPQ=-(4-2t)(1+t)

'22

=-t2+t+2.

Va=-KO,且OQ,O.S有最大值.

19

当t=］时，S«>；(,■(=—.

24

②存在点M,使得△AQM为直角三角形.

设经过t秒时,NB=t,0M=2t,

则CN=3-t,AM=4-2t,

二；NBCA=NMAQ=45。.

I.若NAQM=90。，

则PQ是等腰RtAMQA底边MA上的高.

，PQ是底边MA的中线，

1

.*.PQ=AP=-MA,

解得，t=L

2

.♦.M的坐标为(1,0).

II.若NQMA=90。，此时QM与QP重合.

・・・QM=QP=MA,

l+t=4-2t,

/.t=l,

.,.点M的坐标为(2,0).

所以，使得△AQM为直角三角形的点M的坐标分别为(1,0)和(2,0).

【点睛】

此题考查了待定系数法求解析式，还考查了三角形的面积，要注意利用点的坐标的意义表示线段的长度，

从而求出线段之间的关系还要注意求最大值可以借助于二次函数.

【支为2-2】如图，在矩形Q4HC中，OC=8,Q4=12,B为CH中点,连接A3.动点”从点。出

发沿。4边向点A运动，动点N从点A出发沿边向点8运动，两个动点同时出发，速度都是每秒1个

单位长度，连接CM,CN,MN,设运动时间为f(秒)(0</<10).则，=时，ACA7N为直角三角形

____7f41-V241

【答案］-或——-——

24

【分析】

△CMN是直角三角形时，有三种情况，一是/CMN=90。，二是/MNC=90。，三是/MCN=90。，然后进行分

类讨论求出t的值.

【详解】

解：

图1

过点N作0A的垂线，交OA于点F,交CH于点E,如图1,

点是CH的中点，

11

，BH=-CH=-0A=6,

22

VAH=0C=8,

.♦.由勾股定理可求：AB=10,

'/AN=t,

ABN=10-t,

・.・NE〃AH,

AABEN^ABHA,

.BN_EN

.10-t_EN

10'

4(10-r)

.\EN=----------

5

4

.♦.FN=8-EN=T,

5

当NCMN=90°,

3

由勾股定理可求：AF=-t,

VOM=t,

；.AM=12-t,

38

.\MF=AM-AF=12-t--t=\2-t,

55

VZOCM+ZCMO=90°,ZCMO+ZFMN=90°,

二NOCM=NFMN,

VZO=ZNFM=90o,

.,.△COM^AMFN,

.PCOM

"~MF~~FNr

8

7

..t=一,

2

当NMNC=90。，

4

FN=T

5

4

AEN=8——t

5

8

VMF=12—r

5

3

・・・CE=OF=OM+MF=12--i

VZMNF+ZCNE=90°,

ZECN+ZCNE=90°,

・・・ZMNF=ZECN,

•/ZCEN=ZNFM=90°,

/.△CEN^ANFM,

.CEEN

34

12--/8--/

55

.41±^/24T

••t=----------------

4

V0<t<5,

.41-V241

♦・t=----------------;

4

当NNCM=90°,

由题意知：此情况不存在，

综上所述，ZiCMN为直角三角形时，t=Z或曳二叵L

24

【点睛】

本题主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，有一定的综合性.

【考点3】动点之等腰三角形问题

【例3】如图，A3是。。的直径，是弦，AB=10cm,BC=6cm.若点P是直径A3上一动点,

当口尸BC是等腰三角形时，4P=cm.

【答案】2.8、4或5

【解析】

解：①8为顶点即=时,

AP,=AB-APV

=10-6.

=4.

②C为顶点即CP=CB时，

RtElBAC中：AC7AB2-BC。=8,

SABC=^ACBC=^-ABCD.

CD=4.8,

BD=dBC2-Clf=3.6,

AP?=AB-B3=AB-2BD=2.8.

③P为顶点即CP=3P时，P与。重合,

/.APi=r=5.

综上AP为2.8,4或5cm.

故答案为：2.8.4或5cm.

点睛：解答本题的关键分三种情况讨论：①BC=BP：②CP=CB,③CP=BP.

【变式3-1】如图①，已知正方形ABCO边长为2,点P是AO边上的一个动点，点A关于直线肝的对

称点是点Q,连结PQ、DQ、CQ、BQ.设AP=x.

DDD

（1）当x=l时，求5尸长;

⑵如图②，若PQ的延长线交8边于E,并且NCQO=90°,求证：ACEQ为等腰三角形;

⑶若点P是射线A。上的一个动点，则当ACQQ为等腰三角形时，求x的值.

【答案】（1）BP=«；（2）证明见解析；（32CDQ为等腰三角形时x的值为4-2月、2叵、273+4.

3

【解析】

【分析】

（1）利用勾股定理求出BP的长即可；（2）根据对称性质及正方形的性质可得AB=BQ=BC,

ZA=ZBQP=ZBCE=90°,可得NBQE=90。，由第一视角相等性质可得NBCQ=/BQC,根据同角或等角的

余角相等的性质可得NEQC=NECQ,可得EC=EQ,可得结论；（3）若ACDQ为等腰三角形，则边CD边为

该等腰三角形的一腰或者底边.又Q点为A点关于PB的对称点，则AB=QB,以点B为圆心，以AB的长

为半径画弧，则Q点只能在弧AB上.若CD为腰，以点C为圆心，以CD的长为半径画弧，两弧交点即

为使得ACDQ为等腰三角形（CD为腰）的Q点.若CD为底边，则作CD的垂直平分线，其与弧AC的交点

即为使得ACDQ为等腰三角形（CD为底）的Q点.则如图所示共有三个Q点，那么也共有3个P点.作辅

助线，利用直角三角形性质求之即可.

【详解】

（l）VAP=x=l,AB=2,

,BP=^AB-+AP2=75，

（2）：四边形ABCD是正方形，

/.AB=BC,ZA=ZBCD=90°.

VQ点为A点关于BP的对称点，

，AB=QB,ZA=ZPQB=90°,

，QB=BC,ZBQE=ZBCE=90°,

.,.ZBQC=ZBCQ,

二ZEQC+ZBQC=ZECQ+ZBCQ=90°,

ZEQC=ZECQ,

EQ=EC,即△CEQ为等腰三角形.

(3)如图，以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，以点C为圆心，以CD的长为半径画弧，两弧分别交于

Qi,Q3.此时ACDQi,ACnQs都为以CD为腰的等腰三角形.

作CD的垂直平分线交弧AC于点Q2,此时△CDQ2以CD为底的等腰三角形.

①讨论Qi,如图，连接BQi、CQi,作PQiJ_BQi交AD于P,过点Qi,作EFLAD于E,交BC于F,

•.•△BCQi为等边三角形，正方形ABCD边长为2,

；.FC=1,QF=JCQ|2-FC2=G，QIE=2-6，

在四边形ABPQi中，

；NABQi=30°,

.,.ZAPQi=150°,

:.ZEPQi=30°,△PEQi为含30。的直角三角形,

.，.PE=GEQI=2百-3,

：EF是BC的垂直平分线，

1

AE=—AD=1，

2

X=AP=AE-PE=1-(2V3-3)=4-2丛.

、PED

一乂电

②讨论Q2,如图，连接BQ2,AQ2,过点Q?作PGLBQ2,交AD于P,交CD于G,连接BP,过点Q2作

EF1CD于E,交AB于F,

TEF垂直平分CD,

.•.EF垂直平分AB,

:.AQ2=BQ2.

VAB=BQ2,

.••△ABQ2为等边三角形.

*<•AF=gAE=1,FQ2=JAE?-AF?=G>

在四边形ABQ2P中，

：/BAD=/BQ2P=90°,ZABQ2=60°,

.♦.NAPQ2=120°,

ZEQ2G=ZDPG=180°-120°=60°,

.,.EQ2=EF-FQ2=2-V3.

EG=6EQ2=26-3,

，DG=DE+GE=l+2V3-3=2V3-2,

二DG=百PD,即PD=2--,

3

.•.X=AP=2-PD=RL

3

③对Q3,如图作辅助线，连接BQi,CQi,BQ,，CQ3,过点Q：作PQ3，BQS,交AD的延长线于P,连接

BP,过点Qi,作EFJ_AD于E,此时Q3在EF上，记Q3与F重合.

•••△BCQi为等边三角形，ABCQ3为等边三角形，BC=2,

Q1Q2—25/3，QiE=2-^/^,

，EF=2+百，

在四边形ABQ3P中

■:ZABF=ZABC+ZCBQ3=150°,

...ZEPF=30°,

••.EP=GEF=2G+3,

VAE=1,

x=AP=AE+PE=1+2V3+3=273+4.

【点睛】

本题考查四边形的综合、正方形的性质、含30。角的直角三角形的性质，第三问是一个难度非常高的题目，

可以利用尺规作图的思想将满足要求的点Q找全.另外求解各个P点也是勾股定理的综合应用熟练掌握并

灵活运所学知识是解题关键.

【变式3-2】(2019•河南中考模拟)如图，抛物线y=ax2+bx+3交y轴于点A,交x轴于点B(-3,0)和点C(L

0),顶点为点M.

⑴求抛物线的解析式；

(2)如图，点E为x轴上一动点，若AAME的周长最小，请求出点E的坐标；

(3)点F为直线AB上一个动点，点P为抛物线上一个动点，若ABFP为等腰直角三角形，请直接写出点P

3

【答案】(l)y=-/-2x+3；(2)E(-y,0)；(3)点P的坐标为(2,-5)或(1,0).

【解析】

【分析】

(1)设抛物线的解析式为：y=a(x+3)(x-l),然后将点A的坐标代入函数解析式即可求得此抛物线的解析式；

(2)作A关于x轴的对称点A(0,-3),连接MA，交x轴于E,此时△AME的周长最小，求出直线MA，解析

式即可求得E的坐标；

(3)如图2,先求直线AB的解析式为：y=x+3,根据解析式表示点F的坐标为(m,m+3),

分三种情况进行讨论：

①当/PBF=90。时，由FiPLx轴，得P(m,-m-3),把点P的坐标代入抛物线的解析式可得结论；

②当NBF3P=90。时，如图3,点P与C重合，

③当NBPF4=90。时，如图3,点P与C重合，

从而得结论.

【详解】

(1)当x=0时，y=3,即A(0,3),

设抛物线的解析式为：y=a(x+3)(x-l),

把A(0,3)代入得：3=-3a,

a=-l,

y=-(x+3)(x-1)=-x2-2x+3,

即抛物线的解析式为：y=-x2-2x+3；

⑵y=-X2-2X+3=-(X+1尸+4,

AM(-1,4),

如图1,作点A(0,3)关于x轴的对称点A'(0,-3),连接A，M交x轴于点E,则点E就是使得△AME的周

设直线A'M的解析式为：y=kx+b,

把A(0,-3)和M(-l,4)代入得:

-k+b=4

b=-3

k=—7

解得：〈

b=-3

二直线A'M的解析式为:y=-7x-3,

当y=0时，-7x-3=0,

3

x=--，

7

13

.•.点E(--,0),

7

(3)如图2,易得直线AB的解析式为：y=x+3,

设点F的坐标为(m,m+3),

①当NPBF=90。时，过点B作BP_LAB,交抛物线于点P,此时以BP为直角边的等腰直角三角形有两个,

QPABPFIfTJABPF2,

V0A=0B=3,

/.△AOB和4A'OB是等腰直角三角形，

.,.ZF|BC=ZBFiP=45°,

.♦.FiPLx轴，

/.P(m,-m-3),

把点P的坐标代入抛物线的解析式y=-x2-2x+3中得：

-m-3=-m2-2m+3,

解得：m】=2,m2=-3(舍),

・・・P(2,-5)；

②当NBF3P=90。时,如图3,

VZF3BP=450,且NF3BO=45。，

二点P与C重合，

故P(l,0),

③当NBPF4=90。时，如图3,

O

VZF4BP=45,且NF4BO=45。，

二点P与C重合，

故P(l,0),

综上所述，点P的坐标为(2,-5)或(1,0).

【点睛】

此题考查了待定系数法求函数的解析式，周氏最短问题，等腰直角三角形的性质和判定等知识.此题综合

性很强，解题的关键是注意数形结合和分类讨论思想的应用.

【支龙3-3](2019•广西中考真题)已知抛物线y=和直线y=-x+。都经过点M(-2,4),点。为坐

标原点，点P为抛物线上的动点，直线y=-x+o与X轴、y轴分别交于A8两点.

(1)求〃2、6的值；

⑵当AR4M是以AM为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；

⑶满足⑵的条件时，求sinNBOP的值.

【答案】⑴m=1；力=2：(2)点2的坐标为(-1』)或(2,4)：(3)sinNBOP的值为¥或省.

【解析】

【分析】

(1)根据点M的坐标，利用待定系数法可求出根X的值；

(2)由(1)可得出抛物线及直线AB的解析式，继而可求出点A的坐标，设点P的坐标为(X,/)，结合点A,M

的坐标可得出的值，再利用等腰三角形的性质可得出关于x的方程，解之即可得出结论；

(3)过点尸作PN_Ly轴，垂足为点N,由点尸的坐标可得出PN,PO的长，再利用正弦的定义即可求出

sin/BOP的值.

【详解】

⑴将M（-2,4）代入y=/«/,得：4=4",

••m=

将M（—2,4）代入y=+得：4=2+8，

**-/?=2；

（2）由（1）得：抛物线的解析式为y=f,直线AB的解析式为y=-x+2,

当y=0时，一%+2=0,

解得：x=2>

.♦.点A的坐标为（2,0）,。4=2,

设点尸的坐标为（苍丁），则BA?=（2-%）2+（0-x2）2=x4+x2-4%+4,

PM2=》

=（-2-x）2+（4-f）24_7X2+4X+20,

APAM是以AM为底边的等腰三角形，

/.PA2=PM2，即犬+》2-4》+4=/一7/+4%+20.

整理，得：%2-x-2=0.

解得：玉=-1,工2=2,

...点P的坐标为（T，l）或（2,4）；

（3）过点尸作PN_Ly轴，垂足为点N，如图所示，

当点P的坐标为（一覃）时，PN=1,PO="TF=0，

,•sin/BOP------=-----；

PO2

当点P的坐标为（2,4）时，PN=2,PO=V22+42=2^-

••PNV5

・・sin/BOP=---=——，

PO5

满足（2）的条件时，sinN80P的值的值为也或好.

25

【点睛】

本题考查了待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、

等腰三角形的性质、勾股定理以及解直角三角形，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出

加,人的值；（2）利用勾股定理及等腰三角形的性质，找出关于x的方程；（3）通过解直角三角形，求出

sin/BOP的值.

【考点4】劫点之相仞三角形问题

【例4】如图，AD〃BC,ZABC=90°,AB=8,AD=3,BC=4,点P为AB边上一动点，若APAD与APBC

是相似三角形，求AP的长.

【答案】AP=—或AP=2或AP=6

7

【分析】

由AD//BC,/8=90。,可证NH£>=NPBC=90。，又由/W=8/O=3,BC=4,设AP的长为x,则BP长为8-x,然后分

别从与去分析，利用相似三角形的对应边成比例求解即可求得答案.

【详解】

解：VAB1.BC,

ZB=90°,

:AD//BC,

:.ZA=180°-ZB=90°,

/.NRW=NPBC=90°,

AB=8,AO=3,8C=4,

设AP的长为x,则8P长为8-x,

若AB边上存在尸点，使△田。与△P8C相似，那么分两种情况：

若^APCsaBPC,则AP:BP=AD:BC,&\ix:(8-x)=3:4,

解得尸日24、

若^APD^^BCPMAP:BC=AD:BP,即x:4=3:(8-x),

解得42或户6,

24

所以"=——或AP=2或AP-6.

7

【变式41】已知：如图，在平面直角坐标系中，A4BC是直角三角形，ZACB=90°,点A,C的坐标分

3

别为A(-3,0),C(l,0),BC=-AC

4

(1)求过点4,8的直线的函数表达式；

(2)在x轴上找一点O,连接03,使得A408与A4BC相似(不包括全等)，并求点。的坐标；

(3)在(2)的条件下，如尸，。分别是A8和A。上的动点，连接尸。，设A尸问是否存在这样的，”,

使得AAP。与AAOB相似？如存在，请求出/〃的值；如不存在，请说明理由.

3Q1312525

【答案】⑴尸“+屋⑵D点位置见解析'D(7(⑶符合要求的”的值为式或手

【解析】

【分析】

(1)先根据A(-3,1),C(l,0),求出AC进而得出BC=3求出B点坐标，利用待定系数法求出直线AB的

解析式即可；

(2)运用相似三角形的性质就可求出点D的坐标；

(3)由于△APQ与4ADB已有一组公共角相等，只需分△APQ^AABD和^APQ^AADB两种情况讨论,

然后运用相似三角形的性质建立关于m的方程，就可解决问题.

【详解】

解：(l)：A(-3,0),C(l,0),

，AC=4,

3

BC=—AC,

4

3

.♦.BC=-x4=3,

4

3),

设直线AB的解析式为y=kx+b,

-3k+b=0

k+b=3

3

k=一

.4

••9'

b=—

I4

39

二直线AB的解析式为y——x+—；

44

(2)若4ADB与4ABC相似，过点B作BD1AB交x轴于D,

.,.ZABD=ZACB=90°,如图1,

„dABAD,

此时——=——，nHnPAB2=AC・AD.

ACAB

VZACB=90°,AC=4,BC=3,

...AB=5,

A25=4AD,

・25

，AD=—，

4

2513

.•・OD=AD-A0=------3=—

44

13

二点D的坐标为(一,0)；

4

(3)VAP=DQ=m,

25

；・AQ=AD-QD=--m.

“APA。

则有一-=—

ABAD

，AP・AD=AB・AQ,

2525

—m=5(-—in),

44

25

解得m=—；

9

入APAQ

则有一

ADAB

•・.AP・AB=AD・AQ,

.2525

・・5m=—(-—m),

44

解得：m=U^,

36

12525

综上所述：符合要求的m的值为上或占L

369

【点睛】

此题是相似形综合题，主要考查了是待定系数法，相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，也考查了

分类讨论的数学思想，属于中档题，解本题的关键是根据相似建立方程求解.

【支式4*2]如图，正方形ABCO,点尸为射线OC上的一个动点，点。为AB的中点，连接尸Q,DQ,

过点尸作PEJL。。于点E.

(1)请找出图中一对相似三角形，并证明；

(2)若45=4,以点P,E,。为顶点的三角形与△40。相似，试求出OP的长.

【答案】(])△OPESAQOA,证明见解析；(2)DP=2或5

【分析】

(1)由/ADC=NDEP=NA=90。可证明△ADQs^EPD；

(2)若以点P,E,Q为顶点的三角形与AADQ相似，有两种情况，当△ADQs^EPQ时，设EQ=x,则EP

EPDE

=2x,则DE=26r,由△ADQS3PD可得而=而，可求出x的值，则DP可求出；同理当

△ADQsaEQP时，设EQ=2a,则EP=a,可得友二=2=_L,可求出a的值，贝ijDP可求.

a42

【详解】

(l)AADQ^AEPD,证明如下：

VPE1DQ,

.\ZDEP=ZA=90o,

VZADC=90°,

/ADQ+/EDP=90°,NEDP+/DPE=90。，

.\ZADQ=ZDPE,

.•.△ADQs/\EPD；

(2)：AB=4,点Q为AB的中点，

，AQ=BQ=2,

:.DQ=小心+延="2+22=2石，

VZPEQ=ZA=90°,

二若以点P,E,Q为顶点的三角形与AADQ相似，有两种情况,

ADPE3

①当△ADQs^EPQ时，—=2,

AQEQ

设EQ=x,则EP=2x,则DE=2逐一x,

由(1)知△ADQs/XEPD,

EPDE

"AD-AQ'

.lx2\[5-x

••----=------------，

42

:.x=非

,DP=ylDE2+EP2-5：

②当△ADQs^EQP时，设EQ=2a,则EP=a,

同理可得.2逐二2a=2=J.,

a42

综合以上可得DP长为2或5,使得以点P,E,Q为顶点的三角形与aADQ相似.

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解

题的关键.

【考点5】动点之平行四边形问题(含特殊四边形)

【例5］如图，抛物线y=af+法+3与无轴交于A(—3,0),3(1,0)两点，与y轴交于点C.

(1)求抛物线的解析式;

(2)点P是抛物线上的动点，且满足S“AO=2SAPC。，求出。点的坐标;

(3)连接点E是x轴一动点，点尸是抛物线上一动点，若以8、C、E、产为顶点的四边形是平行

四边形时，请直接写出点尸的坐标.

备用图

X

【答案】⑴y=-f—2x+3;⑵川-2+疗,-4+2S），£卜2-77,-4-2疗），川-6,+26）,

舄(6,一2百卜⑶4—1一万,—3),居卜1+"—3),骂(—2,3)

【分析】

(1)由待定系数法求出解析式即可:

(2)先求出点C坐标，可得OA=OC=3,由面积关系列出方程即可求解;

(3)分两种情况讨论，利用平行四边形的性质可求解;

【详解】

解:

(1)；抛物线经过点A(-3,0),点8(1,0),

9a—3b+3=0

。+匕+3=0

。=一1

解得：〈

b=—2’

二抛物线的解析式为:y=-x2-2x+3,

•.•抛物线的解析式为:y=-x2-2x+3,与y轴交于点C,

•••点C坐标为(0,3),

即OA=OC=3；

(2)过点P作PM1.AO于点M,PNLCO于点、N,

设尸(X,-X2-2X+3)(

•,^SPAO=2sApco，

：.-AOPM=2x-COxPN,

22

；AO=3,CO=3,

PM=2PN,H[j|-x2-2x+3|=2|x|,

当点P在第一、三象限时，—2X+3=2X，

解得，%——2+V7,%2——2--77；

二6(-2+疗,Y+2。，6(-2--2。.

当点P在第二、四象限时，一/一2%+3=—2%，

解得％--也>—V3；

.••6(",26),£(6,-2百)；

(3)若BC为边，且四边形BCFE是平行四边形,

，CF〃BE,

•••点C与点F纵坐标相等，

•*-3=-x2-2x+3>

解得玉=-2,/=0(舍去)>

.•.点F(-2,3),

若BC为边，且四边形BCFE是平行四边形,

.•.BE与CF互相平分，

•••BE中点纵坐标为0,且点C纵坐标为3,

.,.点F的纵坐标为-3,

••—3=—x2—2x+3>

解得％=—.

X]=—1—5/7，X-y——1+5/7,

F(-1-"-3)或尸(-1+"-3)，

若BC为对角线,则四边形BECF是平行四边形，

.♦.BC与EF互相平分，

3

.•.BC中点纵坐标为一，且点E的纵坐标为0,

2

...点F的纵坐标为3,

...点F(-2,3),

综上所述，点F坐标为：片㈠一后,_3)，6(—1+77,-3)，£(-2,3)：

【点睛】

本题主要考查了二次函数的应用，平行四边形的性质，掌握待定系数法，平行四边形的性质是解题的关键.

【支.式5-1】(2019•江西中考真题)在图1,2,3中，已知回ABCD，/-ABC=120=,点f为线段BC上的动点，

(2)如图2,连接A户

①填空:

/LFAD・ZE4B(填">%“<”，"=")；

②求证：点尸在乙18c的平分线上；

(3)如图3,连接EG，DG'并延长DG交比1的延长线于点H，当四边形AEGH是平行四边形时，求明的值•

AB

【答案】⑴60。；⑵①=,②见解析；(3)4

【解析】

【分析】

(I)根据菱形的性质计算：

(2)①证明"AB=zJAE=60。，根据角的运算解答；

②作FM1BC丁M,FN184交BA的延长线于AT证明zUFNw/EFM，根据全等三角形的性质得到

FN=FM，根据角平分线的判定定理证明结论；

(3)根据直角三角形的性质得到GH=2AH，证明四边形ABEH为菱形，根据菱形的性质计算，得到答案・

【详解】

解：(1)...四边形AEFG是菱形，

Z.AEF=1800-LEAG=60°'

:.Z.CEF=Z.AEC-£AEF=60。，

故答案为：60。；

(2)①...四边形［BCD是平行四边形，

£DAB=180°-UBC=60。'

...四边形4EFG是菱形，Z.EAG=120。，

A£FAE=60。，

・•・LFAD=LEAB'

故答案为：=;

②作FM1BC于M'FN1况4交BA的延长线于AT

图2

则HVB=LFMB=90。'

・・・ziVFM=60。'又UFE=60。，

・・・LAFN=LEFM'

7EF=EAfLFAE=60c,

.・"4EF为等边三角形，

・・・FA=FE1

在4AFN和中’

,^AFN=^EFM'

LFNA=占ME

FA=FE

・・・44FiV会4EFMG4AS)'

:・FN=FM，又FM_LBC'FN1BAf

・••点F在乙4BC的平分线上；

(3)...四边形AEFG是菱形，LEAG=120c,

・・・LAGF=60。，

・•・LFGE=LAGE=30"

・・・四边形AEGH为平行四边形，

・・・GE/1AR

・・・^GAH=LAGE=30。'LH=LFGE=30。，

/.LGAH=90c,又UGE=30。'

：.GH=2AH'

♦:血B=60。'〃f=30。'

・・・LADH=30c,

・・・AD=AH=GE'