冀教版2019中考数学-第三讲-函数及图象

第三章函数及其图象

§3.1：平面直角坐标系与函数

【基础知识回顾】

一、平面直角坐标系：

1、定义：具有的两条的数轴组成平面直角坐标系，两条数轴分别称

轴轴或轴轴，这两系数轴把一个坐标平面分成的四个部分，我们称作是四个一

2、有序数对：在一个坐标平面内的任意一个点可以用一对来表示，如A(a.b),(a.b)

即为点A的其中a是该点的坐标，b是该点的坐标平面内的点和有序

数对具有的关系。

3、平面内点的坐标特征

①P(a.b)：第一象限第二象限

第三象限第四象限

X轴上Y轴」：.

②对称点：关于y轴的对称点关于y轴的对称点

♦-------------------P(a,b)---------------->

关于原点的对称点

③特殊位置点的特点：P(a.b)若在一、三象限角的平分线上，则

若在二、四象限角的平分线上，则

④到坐标轴的距离：P(a.b)到x轴的距离到y轴的距离到原点的距离

⑤坐标平面内点的平移：将点P(a.b)向左(或右)平移h个单位，对应点坐标为

(或),向上(或下)平移k个单位，对应点坐标为

(或)。

【备注：坐标平面内点的坐标所具备的特征必须结合坐标平面去理解和记忆，不可生硬死记一些结

论。】

二、确定位置常用的方法：

—般由两种：1、2、。

三、函数的有关概念：

1、常量与变量：在某一变化过程中，始终保持的量叫做常量，数值发生__________的

量叫做变量。

【备注：常量与变量是相对的，在一个变化过程中，同一个量在不同情况下可以是常量，也可能是

变量，要根据问题的条件来确定。】

2、函数：

⑴、函数的概念：一般的，在某个过程中如果有两个变量x、y,如果对于x的每一个确

定的值，y都有的值与之对应，我们就成x是,丫是*的。

(2)、自变量的取值范围：

主要有两种情况：①、解析式有意义的条件，常见分式和二次根式两种情况

②、实际问题有意义的条件：必须符合实际问题的背景

(3)、函数的表示方法：

通常有三种表示函数的方法：①、法②、法③、法

⑷、函数的同象:

1

对于一个函数，把自变量X和函数y的每对对应值作为点的与

在平面内描出相应的点，符合条件的所有的点组成的图形叫做这个函数的同象

【备注：1、在确定自变量取值范围时要注意分式和二次根式同时存在，应保证两者都有意义，即被

开方数应___________同时分母应___________o

2、函数的三种表示方法应根据实际需要选择，有时需同时使用几种方法

3、函数同象是在自变量取值范围内无限个点组成的图形，图象上任意一点的坐标是解析式方程的

一个解，反之满足解析式方程的每一个解都在函数同象上】

【重点考点例析】

考点一：平面直角坐标系中点的特征

例1（淄博）如果m是任意实数，则点P（m-4,m+1）一定不在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

（点P的纵坐标一定大于横坐标，.•.点P一定不在第四象限）.

对应训练

1.（宁夏）点P（a,a-3）在第四象限，则a的取值范围是.

考点二：规律型点的坐标

例2（济南）如图，动点P从（0,3）出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时

反射角等于入射角，当点P第2013次碰到矩形的边时，点P的坐标为（）

对应训练

（2018•安顺）

15.如图，点P”Pi，尸”A均在坐标轴上.且尸上2_LP2PI,PzPyLPyPi，若点Pi，生的

坐标分别为（0，-1）,（-2,0）,则点R的坐标为.

考点三：函数自变量的取值范围

例3（2018•巴中）

7.函数）=坐三的自变里X的取值范围是（）

A.且x*2B-x>-2且x/2

C.D.全体实数

对应训练

2

J无一1

3.（泸州）函数丫=叶」自变量x的取值范围是（)

x—3

A.x》l且x#3B.x》lC.xW3D.x>l且x#3

考点四：函数的图象

例4（重庆）2013年“中国好声音”全国巡演重庆站在奥体中心举行.童童从家出发前往观看，先

匀速步行至轻轨车站，等了一会儿，童童搭乘轻轨至奥体中心观看演出，演出结束后，童童搭乘邻居

刘叔叔的车顺利回到家.其中x表示童童从家出发后所用时间，y表示童童离家的距离.下面能反映y

与x的函数关系的大致图象是（）

对应训练

小明从家到学校，先匀速步行到车站，等了几分钟后坐上了公交车，公交车沿着公路匀速行驶一段时

间后到达学校，小明从家到学校行驶路程s（m）与时间t（min）的大致图象是（）

考点四：动点问题的函数图象

例5（烟台）如图1,E为矩形ABCD边AD上一点，点P从点B沿折线BE-ED-DC运动到点C时停止,

点Q从点B沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是lcm/s.若P,Q同时开始运动，设运动时

间为t（s）,ZXBPQ的面积为y（cm2）.已知y与t的函数图象如图2,则下列结论错误的是（）

42

A.AE=6cmB.sinZEBC=-C.当0<tW10时，y=-t2D.当t=12s时，△PBQ是等腰三角

55

形

对应训练

5.（铁岭）如图，点G、E、A、B在一条直线上，RtaEFG从如图所示是位置出发，沿直线AB向右匀

速运动，当点G与B重合时停止运动.设aEEG与矩形ABCD重合部分的面积为S,运动时间为t,则S

与t的图象大致是（）

3

D

SS

RA.0ZB.。'C.°rD.0

5.D

【聚焦中考】

1.(东营)若定义：f(a,b)=(-a,b),g(m,n)=(m,-n),例如f(1,2)=(-L2),g

(-4,-5)=(-4,5),则g(f(2,-3))=()

A.(2,-3)B.(-2,3)C.(2,3)D.(-2,-3)

2.(济南)甲、乙两人在一次百米赛跑中，路程s(米)与赛跑时间t(秒)的关系如图所示，则下

列说法正确的是()

A.甲、乙两人的速度相同B.甲先到达终点

C.乙用的时间短D.乙比甲跑的路程多

3.(潍坊)用固定的速度如图所示形状的杯子里注水，则能表示杯子里水面的高度和注水时间的关系

的大致图象是

)

4.(聊城)如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点0出发，按向上，向右，向下，向右的方向不

断地移动，每移动一个单位，得到点A,(0,1),A2(1,1),A3(1,0),At(2,0)，…那么点

A*(n为自然数)的坐标为(用n表示)

5.(东营)如图，已知直线1：y=—X,过点A(0,1)作y轴的垂线交直线1于点B,过点B作直

3

线1的垂线交y轴于点Ai；过点&作y轴的垂线交直线1于点日,过点R作直线1的垂线交y轴于点

A2；…按此作法继续下去，则点A刈3的坐标为

4

6.（临沂）如图，正方形ABCD中，AB=8cm,对角线AC,BD相交于点0,点E,F分别从B,C两点同

时出发，以lcm/s的速度沿BC,CD运动，到点C,D时停止运动，设运动时间为t（s）,AOEF的面

积为s（cm2）,则s（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为（）

【备考真题过关】

一、选择题

1.（2018•东营）在平面直角坐标系中，若点P（机-2,加+1）在第二象限，则根的取值范围是

()

A.m<-lB.m>2C.-l<m<2D.m>—1

2.(2018•荆门)

在函数y=五三1中，白变量X的取值范围走

I-X

A.B.x>lC.x<\D.xWl

3.（玉林）均匀地向一个瓶子注水，最后把瓶子注满.在注水过程中,水面高度h随时间t的变化规

律如图所示，则这个瓶子的形状是下列的（）

4.（乌鲁木齐）某仓库调拨一批物资，调进物资共用8小时，调进物资4小时后同时开始调出物资（调

进与调出的速度保持不变）.该仓库库存物资m（吨）与时间t（小时）之间的函数关系如图所示.则

这批物资从开始调进到全部调出所需要的时间是（）

5

C.8.8小时D.9小时

5.（黄冈）一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车的速度为100千米/小时，

特快车的速度为150千米/小时，甲乙两地之间的距离为1000千米，两车同时出发，则图中折线大致

表示两车之间的距离y（千米）与快车行驶时间（小时）之间的函数图象是（）

6.（绍兴）如图是我国古代计时器“漏壶”的示意图，在壶内盛一定量的水，水从壶底的小孔漏出.壶

壁内画有刻度，人们根据壶中水面的位置计时，用x表示时间，y表示壶底到水面的高度，则y与x

的函数关系式的图象是（）

7.（三明）如图，在矩形ABCD中，0是对角线AC的中点，动点P从点C出发，沿DC方向匀速运动

到终点C.已知P,Q两点同时出发，并同时到达终点，连接OP,OQ.设运动时间为t,四边形OPCQ

的面积为S,那么下列图象能大致刻画S与t之间的关系的是（）

6

8.（南充）如图1,点E为矩形ABCD边AD上一点，点P,点Q同时从点B出发，点P沿BE-ED-DC

运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是lcm/s,设P,Q出发t秒时，△

BPQ的面积为ycm2,已知y与t的函数关系的图象如图2（曲线0M为抛物线的一部分），则下列结论:

①AD=BE=5cm；

2

②当0<tW5时，y=）t2；

2

③直线NH的解析式为y=-yt+27；

29

④若aABE与△QBP相似，则土=一秒，

4

其中正确结论的个数为（）

图⑴图⑵

二、填空题

1.（上海）已知函数f（x）=-3—，那么f（J5）=_________.

x+1

2.（兰州）如图，在直角坐标系中，已知点A（-3,0）、B（0,4）,对AOAB连续作旋转变换，依

3.（湖州一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点.已知点

A（0,3）,点B是x轴正半轴上的整点，记AAOB内部（不包括边界）的整点个数为m.当点B的横

坐标为3n（n为正整数）时，m=（用含n的代数式表示）.

2

1

O123456789101112：x

4.（咸宁）“龟兔首次赛跑”之后，输了比赛的兔子没有气馁，总结反思后，和乌龟约定再赛一场.图

中的函数图象刻画了“龟兔再次赛跑”的故事（x表示乌龟从起点出发所行的时间，力表示乌龟所行

的路程，”表示兔子所行的路程）.有下列说法：

①“龟兔再次赛跑”的路程为1000米；

7

②兔子和乌龟同时从起点出发；

③乌龟在途中休息了10分钟；

④兔子在途中750米处追上乌龟.

其中正确的说法是.(把你认为正确说法的序号都填上)

§3.2一次函数

【基础知识回顾】

一、一次函数的定义：

一般的：如果y=(),那么y叫x的一次函数

特别的：当b=时，一次函数就变为丫=1«<(心0),这时y叫x的

【备注：正比例函数是一次函数，反之不一定成立，是有当b=O时，它才是正比例函数】

二、一次函数的同象及性质：

b

1、一次函数y=kx+b的同象是经过点(0,b)(-V-.0)的一条,

K

正比例函数y=kx的同象是经过点和的一条直线。

【备注：因为一次函数的同象是一条直线，所以画一次函数的图象只需选取个特殊的点,

过这两个点画一条直线即可】

2、正比例函数y=kx(QO),当k>0时，其同象过、象限，此时时y随x的增大

而；当k<0时;其同象过、象限，时y随x的增大而。

3、一次函数丫=1«+13,图象及函数性质

①、k>0b>0过___—象限

»y随X的增大而

②、k>0b<0过____象限

③、k<0b>0过____象限

»y随X的增大而.

④、k<0b>0过____象限

4、若直线11：y=klx+bl与11：y=k2x+b2平行，则klk2,若klHk2,则11与12___

【备注：y随x的变化情况，只取决于的符号与无关，而直线的平移，只改变

的值________的值不变］

三、用待定系数法求一次函数解析式：

关键：确定一次函数y=kx+b中的字母与的值

步骤：1、设一次函数表达式

2、将x,y的对应值或点的坐标代入表达式

8

3、解关于系数的方程或方程组

4、将所求的待定系数代入所设函数表达式中

四、一次函数与一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程组

1、一次函数与一元一次方程：一般地将*=或y代入y=kx+b中解一元一次方程可求

求直线与坐标轴的交点坐标。

2、一次函数与一元一次不等式：kx+b>0或kx+b<0即一次函数图象位于x轴上方或下方时相应的

x的取值范围，反之也成立

3、一次函数与二元一次方程组：两条直线的交点坐标即为两个一次函数所列二元一次方程组的解,

反之根据方程组的解可求两条直线的交点坐标

【备注：1、一次函数与三者之间的关系问题一定要结合图象去解决

2、在一次函数中讨论交点问题即是讨论一元一次不等式的解集或二元一次方程组解的问题】

五、一次函数的应用

一般步骤：1、设定问题中的变量2、建立一次函数关系式

3、确定自变量的取值范围4、利用函数性质解决问题5、作答

【备注：一次函数的应用多与二元一次方程组或一元一次不等式(组)相联系，经常涉及交点问题，

方案设计问题等】

【重点考点例析】

考点一：一次函数的图象和性质

例1(大庆)对于函数y=-3x+l,下列结论正确的是()

A.它的图象必经过点(-1,3)

B.它的图象经过第一、二、三象限

C.当x>l时，y<0

D.y的值随x值的增大而增大

对应训练

(2018•贵阳)一次函数y=kx-l的图像经过点P,且y的值随x值的增大而增大，则点P的坐标可以

为()

A、(-5,3)B、(1,-3)C、(2,2)D、(5,-1)

考点二：一次函数的图象和系数的关系

例2(莆田)如图，一次函数y=(m-2)x-1的图象经过二、三、四象限，则m的取值范围是()

A.m>0B.m<0C.m>2D.m<2

例3(遵义)P,(x„y.),P(x,y)是正比例函数y=--x图象上的两点，下列判断中，正确的

2222

是（）

A.yi>y2B.yt<y2

C.当Xi<X2时，yi<y2D.当xi<xz时，yi>y2

9

对应训练

2.（眉山）若实数a,b,c满足a+b+c=O,且aVbVc,则函数y=cx+a的图象可能是（）

3.（福州）A,B两点在一次函数图象上的位置如图所示,两点的坐标分别为A（x+a,y+b）,B（x,

y),下列结论正确的是（）

a<0C.b=0D.ab<0

考点三：一次函数解析式的确定

例4（常州）已知一次函数y=kx+b（k、b为常数且kWO）的图象经过点A（0,-2）和点B（1,0）,

则k=,b=.

对应训练

4.（重庆）已知正比例函数丫=1«（1;?0）的图象经过点（1,-2）,则这个正比例函数的解析式为（）

11

A.y=2xB.y=-2xC.y=—xD.y=—-x

22

考点四：一次函数与方程（组）、不等式（组）的关系

例5（2018•呼和浩特）

若以二元一次方程x+2厂6=0的解为坐标的点（x,都在直线v=-lx+6-l上,

2

则常数*=

A.1B.2C.-1D.1

例6（2018•白银）如图，一次函数y=-工一2与y=2x+m的图象相交于点尸（〃,一4）,则关于x的

2x+m<—x—2

不等式组＜的解集为__________

—x-2<0

10

对应训练

5.（武汉）直线y=2x+b经过点（3,5）,求关于x的不等式2x+b20的解集.

6.（青岛）如图，一个正比例函数图象与一次函数y=-x+l的图象相交于点P,则这个正比例函数的

表达式是.

考点五：一次函数综合题

例7（2018•重庆A）如图，在平面直角坐标系中，直线y=—x+3过点A（5,m）且与轴交

于点B,把点A向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到点C.过点C且与y=2x平行的

直线交）'轴于点O.

（1）求直线CQ的解析式；

（2）直线AB与CD交于点E,将直线CD沿28方向平移，平移到经过点B的位置结束，求直

线。。在平移过程中与x轴交点的横坐标的取值范围.

对应训练

7.（2018•河北）如图，直角坐标系xOy中，一次函数y=-：x+5的图象h分别与x,y轴交于A,B两点，正比例

函数的图象b与h交于点C（m,4）.

（1）求01的值及12的解析式.

⑵求SAAOC-SABOC的值.

⑶一次函数y=kx+1的图象为路且k，h不能围成三角形，直接写出k的值.

11

考点六：一次函数的应用

例8（株洲）某生物小组观察一植物生长，得到植物高度y（单位：厘米）与观察时间x（单位：天）

的关系，并画出如图所示的图象（AC是线段，直线CD平行x轴）.

（1）该植物从观察时起，多少天以后停止长高？

（2）求直线AC的解析式，并求该植物最高长多少厘米？

对应训练

8.（湛江）周末，小明骑自行车从家里出发到野外郊游.从家出发1小时后到达南亚所（景点），游

玩一段时间后按原速前往湖光岩.小明离家1小时50分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往湖光岩，如图

是他们离家的路程y（km）与小明离家时间x（h）的函数图象.

（1）求小明骑车的速度和在南亚所游玩的时间；

（2）若妈妈在出发后25分钟时，刚好在湖光岩门口追上小明，求妈妈驾车的速度及CD所在直线的函

数解析式.

【聚焦山东中考】

1.（2018•南通）函数y=-x的图象与函数y=x+l的图象的交点在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

12

2.（2015•潍坊）设点A（xi,yj和B（x2,y2）是反比例函数y=七图象上的两个点，当Xl<x2<0

x

时，yi<y2,则一次函数y=-2x+k的图象不经过的象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.（2015•潍坊）一次函数y=-2x+b中，当x=l时，y<l,当x=T时，y>0.则b的取值范围是.

4.（2015•泰安）把直线y=-x+3向上平移m个单位后，与直线y=2x+4的交点在第一象限，则m的取

值范围是（）

A.l<m<7B.3<m<4C.m>lD.m<4

（2018•丽水）某通讯公司就上宽带网推出A,B.C三种月收费方式.这三种收费方式每月所需的费用

y（元）与上网时间x（h）的函数关系如图所示，则下列判断簿送的是（▲）

A.每月上网时间不足25h时，选择A方式最省钱

B.每月上网费用为60元时，B方式可上网的时间比A方式多

C.每月上网时间为35h时，选择B方式最省钱

D.每月上网时间超过70h时，选择C方式最省钱

5.（2018•仙桃）甲、乙两车从A地出发，匀速驶向B地.甲车以80km/h的速度行驶1h

后，乙车才沿相

同路线行驶.乙车先到达B地并停留lh后，再以原速按原路返回，直至与甲车相遇.在此过程中，两

车之间的距离y

（km）与乙车行驶时间x（h）之间的函数关系如图所示.下列说法：①乙车的速度是120km/h；②m=160；

③点II的

坐标是（7,80）；④n=7.5.其中说法正确的是（）

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④

6.（2018•重庆A）

17.A,B两地相距的路程为240千米，甲、乙两车沿同一线路从A地出发到B地，分别以一定的速度

13

匀速行驶，甲车先出发40分钟后，乙车才出发。途中乙车发生故障，修车耗时20分钟，随后，乙车

车速比发生故障前减少了10千米/小时（仍保持匀速前行），甲、乙两车同时到达8地。甲、乙两车

相距的路程y（千米）与甲车行驶时间无（小时）之间的关系如图所示，求乙车修好时，甲车距3地

还有千米。

（2015♦临沂）某工厂投入生产一种机器的总成本为2000万元.当该机器生产数量至少为10台，但不

超过70台时，每台成本y与生产数量x之间是一次函数关系，函数y与自变量x的部分对应值如下表:

X（单位：台）102030

y（单位：万元/台）605550

（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）求该机器的生产数量；

（3）市场调查发现，这种机器每月销售量z（台）与售价a（万元/台）之间满足如图所示的函数关

系.该厂生产这种机器后第一个月按同一售价共卖出这种机器25台，请你求出该厂第一个月销售这种

机器的利润.（注：利润=售价-成本）

7.（2018•徐州）为缓解油价上涨给出租车待业带来的成本压力，某市自2018年11月17日起，调

整出租车运价，调整方案见下列表格及图像（其中a,b,c为常数）

收费标准

行驶路程

调价前调价后

不超过3km的部分起步价6元起步价a元

超过3km不超出6km的部分每公里b元

每公里2.1元

超出6km的部分每公里C元

14

D

设行驶路程xkm时，调价前的运价打（元），调价后的运价为yz（元）如图，折线ABCD表示上与x

之间的函数关系式，线段EF表示当0WxW3时，力与x的函数关系式，根据图表信息，完成下列各题:

①填空：a=,b=c=_______.

②写出当x>3时，/与x的关系，并在上图中画出该函数的图象.

③函数十与正的图象是否存在交点？若存在，求出交点的坐标，并说明该点的实际意义，若不存在请

说明理由.

8.（济宁）如图，直线y=-1x+4与坐标轴分别交于点A、B,与直线y=x交于点C.在线段0A上，

2

动点Q以每秒1个单位长度的速度从点0出发向点A做匀速运动，同时动点P从点A出发向点0做匀

速运动，当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动.分别过点P、Q作x轴的垂线，交直线

AB、0C于点E、F,连接EF.若运动时间为t秒，在运动过程中四边形PEFQ总为矩形（点P、Q重合

除外）.

（1）求点P运动的速度是多少？

（2）当t为多少秒时，矩形PEFQ为正方形？

（3）当t为多少秒时，矩形PEFQ的面积S最大？并求出最大值.

【备考真题过关】

一、选择题

1.（2015•湖州）若正比例函数y=kx的图象经过点（1,2）,则k的值为（）

15

11

A.--B.-2C.-D.2

22

2.（2015•陕西）如果一个正比例函数的图象经过不同象限的两点A（2,m）,B（n,3）,那么一定

有（）

A.m>0,n>0B.m>0,n<0C.m<0,n>0D.m<0,n<0

3.（2015•荆门）若反比例函数y=七的图象过点（-2,1）,则一次函数y=kx-k的图象过（）

x

A.第一、二、四象限B.第一、三、四象限

C.第二、三、四象限D.第一、二、三象限

4.（2015•黔东南州）直线y=-2x+m与直线y=2xT的交点在第四象限，则m的取值范围是（）

A.m>-lB.m<lC.D.TWmWl

5.（2015•十堰）张师傅驾车从甲地到乙地，两地相距500千米，汽车出发前油箱有油25升，途中加

油若干升，加油前、后汽车都以100千米/小时的速度匀速行驶，已知油箱中剩余油量y（升）与行驶

时间t（小时）之间的关系如图所示.以下说法错误的是（）

A.加油前油箱中剩余油量y（升）与行驶时间t（小时）的函数关系是y=-8t+25

B.途中加油21升

C.汽车加油后还可行驶4小时

D.汽车到达乙地时油箱中还余油6升

6.（2015•天门）小文、小亮从学校出发到青少年宫参加书法比赛，小文步行一段时间后，小亮骑自

行车沿相同路线行进，两人均匀速前行.他们的路程差s（米）与小文出发时间t（分）之间的函数关

系如图所示.下列说法：①小亮先到达青少年宫；②小亮的速度是小文速度的2.5倍；③a=24；④

b=480.其中正确的是（）

A.①②③B.①②④C.①③④D.@@③④

二、填空题

16

1.（2015•珠海）已知，函数y=3x的图象经过点点B（-2,yz）,则力y式填

或“=”）

2.（2015•成都）已知点（3,5）在直线y=ax+b（a,b为常数，且aWO）上，则—一的值为_____.

0-5

3.（2015•包头）如图，已知一条直线经过点A（0,2）、点B（1,0）,将这条直线向左平移与x

轴、y轴分别交与点C、点D.若DB=DC,则直线CD的函数解析式为.

4.（2015•孝感）如图，一个装有进水管和出水管的容器，从某时刻开始的4分钟内只进水不出水，

在随后的8分钟内既进水又出水，接着关闭进水管直到容器内的水放完.假设每分钟的进水量和出水

量是两个常数，容器内的水量y（单位：升）与时间x（单位：分）之间的部分关系.那么，从关闭进

地.2小时后，小明的父亲骑摩托车沿同一路线也从甲地前往乙地，他们行驶的路程y（千米）与小聪

行驶的时间x（小时）之间的函数关系如图所示，小明父亲出发小时时，行进中的两车

三、解答题

17

1.（厦门）一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始的3分内只进水不出水，在随后的9分内既

进水又出水，每分的进水量和出水量都是常数.容器内的水量y（单位：升）与时间x（单位：分）之

间的关系如图所示.当容器内的水量大于5升时，求时间x的取值范围.

W升

2.（湘潭）莲城超市以10元/件的价格调进一批商品，根据前期销售情况，每天销售量y（件）与该

商品定价x（元）是一次函数关系，如图所示.

（1）求销售量y与定价x之间的函数关系式；

（2）如果超市将该商品的销售价定为13元/件，不考虑其它因素，求超市每天销售这种商品所获得的

3.（盐城）水果店王阿姨到水果批发市场打算购进一种水果销售，经过还价，实际价格每千克比原来

少2元，发现原来买这种水果80千克的钱，现在可买88千克.

（1）现在实际购进这种水果每千克多少元？

（2）王阿姨准备购进这种水果销售，若这种水果的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足如

图所示的一次函数关系.

①求y与x之间的函数关系式；

②请你帮王阿姨拿个主意，将这种水果的销售单价定为多少时，能获得最大利润？最大利润是多少？

（利润=销售收入-进货金额）

y杆克

4.（2015•河北）如图，A（0,1）,M（3,2）,N（4,4）.动点P从点A出发，沿y轴以每秒1

个单位长的速度向上移动，且过点P的直线1：产-x+b也随之移动，设移动时间为t秒.

（1）当t=3时，求1的解析式；

18

（2）若点M,N位于1的异侧，确定t的取值范围；

（3）直接写出t为何值时，点M关于1的对称点落在坐标轴上.

§3.3反比例函数

【基础知识回顾】

一、反比例函数的概念：

一般地：函数y（k是常数，k*0）叫做反比例函数

【备注：1、在反比例函数关系式中：kwO、XHO、ywO

2、反比例函数的另一种表达式为丫=（k是常数，k*0）

3、反比例函数解析式可写成xy=k（kxO）它表明反比例函数中自变量x与其对应函数值y之积,

总等于1

二、反比例函数的图象和性质：

k

1、反比例函数丫=一（匕0）的图象是,它有两个分支，关于对称

X

k

2、反比例函数丫=一（kM）当k>0时它的图象位于象限，在每一个象限内y随x的增大而

X

当k<0时，它的图象位于象限，在每一个象限内，y随X的增大而

k

【备注：1、在反比例函数y=一中，因为XHO,所以双曲线与坐标轴无限接近，但永不与x轴y

X

轴__________

2、在反比例函数y随x的变化情况中一定注明在每一个象限内】

3、反比例函数中比例系数k的几何意义:

k

双曲线丫=一（修0）上任意一点向两坐标轴作垂线

X

两垂线与坐标轴围成的矩形面积为,即如图：S«ABOC=

19

SAAOB=_________

【备注：k的几何意义往常与前边提示中所谈到的xy=k联系起来理解和应用】

三、反比例函数解析式的确定

k

因为反比例函数y=~(kwO)中只有一个待定系数所以求反比例函数关系式只需知道一组

X

对应的X、y值或一个点的坐标即可，步骤同一次函数解析式的求法

一、反比例函数的应用

解反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，这里要特别注

意自变量的__________

【重点考点例析】

考点一：反比例函数的图象和性质

.,ah

例1(云南)若ab>0,贝L次函数y=ax+b与反比例函数y=—在同一坐标系数中的大致图象是()

对应训练

1.(随州)正比例函数y=kx和反比例函数y=---------(k是常数且k#0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是

x

x

①常数mv-1；

②在每个象限内，y随x的增大而增大；

③若A(-1,h),B(2,k)在图象上，则hVk；

④若P(x,y)在图象上，则P'(-x,-y)也在图象上.

其中正确的是()

A.®®B.②③C.③④D.①④

20

考点二：反比例函数解析式的确定

k-\

例4（哈尔滨）如果反比例函数了=——的图象经过点（-1,-2）,则k的值是（）

X

A.2B.-2C.-3D.3

对应训练

1+Z7

4.（广元）已知关于x的方程（x+1）2+（x-b）2=2有唯一的实数解，且反比例函数>=一上的图象

X

在每个象限内y随x的增大而增大，那么反比例函数的关系式为（)

3122

A.y——B.y=—C.y——D.y——

xxxx

考点三：反比例函数k的几何意义

k

例5（内江）如图，反比例函数y=-（x>0）的图象经过矩形0ABe对角线的交点M,分别于AB、BC交于点

X

D、E,若四边形0DBE的面积为9,则k的值为（）

A.1B.2C.3D.4

对应训练

5.（2018荆门）

如图,在平面宜角坐标系X。中,函数y=L（k>0,x>0）的图家经过菱形。4c。的顶

X

点。和边/C的中点£若美形O/CQ的边长为3,则女的值为▲.

21

考点四：反比例函数与一次函数的综合运用

2

例6（岳阳）如图，一次函数yi=x+l的图象与反比例函数必=一的图象交于A、B两点，过点作AC

X

_Lx轴于点C,过点B作BDJ_x轴于点D,

连接AO、B0,下列说法正确的是（）

A.点A和点B关于原点对称

B.当xVl时,yi>y2

C・SAAOC=SABOD

D.当x>0时，力、丫2都随x的增大而增大

对应训练

k

（2018•临沂）如图，正比例函yi=Lx与反比例函数y2二上9的图象相交于A、B两点，其中点A的横坐

x

标为1.当yiVyz时，x的取值范围是（）

A.xV-1或x>lB.-IVxVO或x>l

C.-IVxVO或OVxVlD.xV-1或OVxVl

（2018•重庆A）如图，在平面直角坐标系中，菱形4啦的顶点A,6在反比例函数y=&（k>0,x>0）

X

的图象上，横坐标分别为1,4,对角线8D〃x轴.若菱形/腼的面积为竺，则4的值为（D）

2

A.-B.—C.4D.5

44

22

y

1c

考点五反比例函数的实际应用

（2018河北）

26.（11分）如图是轮滑场地的截面示意图，平台AB