2021届上海市XX中学高三上学期摸底考试数学试题

绝密★启用前数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三总分得分注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上一.填空题1.已知集合，，，则非零实数2.不等式的解集为3.已知，则4.若满足约束条件，则的最大值为5.已知是函数的反函数，且，则实数6.在△中，角、、所对边分别为、、，已知，，，则△的面积为7.已知为等比数列，，，则8.在平面直角坐标系中，为原点，，，，动点满足|CD|=1，则的最大值为9.我校5位同学报考了北京大学“强基计划”第I专业组，并顺利通过各项考核，已知5位同学将根据综合成绩和志愿顺序随机地进入教学类、物理学类、力学类这三个专业中的某一个专业，则这三个专业都有我校学生的概率是（结果用最简分数表示）10.设是直线与圆在第四象限的交点，则极限11.设、分别是函数和的零点（其中），则的取值范围是12.已知，点在函数的图像上，，则数列的前项和二.选择题13.设复数满足，则复数对应的点位于复平面内（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限14.若动点、分别在直线和上移动，则的中点到原点距离的最小值为（）A.B.C.D.15.椭圆上有10个不同的点，若点坐标为，数列是公差为的等差数列，则的最大值为（）A.B.C.D.16.已知，符号表示不超过的最大整数，若函数有且仅有3个零点，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.三.解答题17.如图，已知平面，，与平面所成的角为30°，且.（1）求三棱锥的体积；（2）设为的中点，求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.18.已知函数.（1）当时，求函数的单调递增区间；（2）对任意，当函数的图像恒在函数图像的下方时，求实数的取值范围.19.如图，有一块扇形草地，已知半径为，，现要在其中圈出一块矩形场地作为儿童乐园使用，其中点、在弧上，且线段平行于线段.（1）若点为弧的一个三等分点，求矩形的面积；（2）当在弧上何处时，矩形的面积最大？最大值为多少？20.已知双曲线经过点，两条渐近线的夹角为60°，直线交双曲线于、两点.（1）求双曲线的方程；（2）若过原点，为双曲线上异于、的一点，且直线、的斜率、均存在，求证：为定值；（3）若过双曲线右焦点，是否存在轴上的点，使得直线绕点无论怎样转动，都有MA⋅MB=0成立？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由.21.如果一个数列从第2项起，每一项都与它的前一项的差都大于2，则称这个数列为“数列”.（1）若数列为“数列”，且，，，求实数取值范围；（2）是否存在首项为1的等差数列为“数列”，且其前项的和满足？若存在，请求出的通项公式；若不存在，请说明理由；（3）已知等比数列的每一项均为正整数，且为“数列”，，，当数列不是“数列”时，试判断数列是否为“数列”，并说明理由.参考答案及其解析一.填空题1.32.3.4.35.16.7.8.9.10.111.12.【第10题解析】改编自2015年上海高考理18当时，直线方程无限趋近于直线，直线与圆在第四象限的交点坐标为，表示点与点连线的斜率，当时，无限趋近于点，因此，极限实际上就是圆上一点处切线的斜率，计算得斜率为1．【第11题解析】，，∴为与交点的横坐标，其中，为与交点的横坐标，其中，又与互为反函数，∴关于对称，∴，∴，由于，∴．【第12题解析】由题意，得，∴，两边取常用对数，得，∴是以为首项，2为公比的等比数列，∴，从而，又，∴，∴，∴．二.选择题13.A14.C15.C16.D【第15题解析】设椭圆上一点，其中且，则，∴，∴，选C．【第16题解析】即与的图像有且仅有3个不同的交点．时，，；时，；时，；如图，易得，选D．三.解答题17.（1）；（2）.18.（1）和；（2）.19.（1）如图，作于点H，交线段CD于点E，连接OA、OB，∴，…2分∴，，∴…4分.…6分（2）设…7分∴，∴…9分…11分∵，∴…12分∴即时，13分，此时A在弧MN的四等分点处，答：当A在弧MN的四等分点处时，…14分20.（1）由题意得：…2分解得：…3分∴双曲线的方程为…4分（2）证明：设点坐标为，则由对称性知点坐标为…5分设，则…7分，得…8分∴…10分（3）当直线的斜率存在时，设直线方程为，与双曲线方程联立消得：，∴得且……12分设、∵MA⋅MB…14分假设存在实数，使得MA⋅MB=0∴对任意的恒成立，∴，解得．∴当时，．当直线l的斜率不存在时，由及知结论也成立综上：存在，使得MA⋅MB21.（1）由题意得：，…1分，即，…3分解不等式得：；…4分（2）假设存在等差数列符合要求，设公差为，则，由，得，…5分由题意得：对均成立，即：对均成立，……7分∵，且，∴，与矛盾，∴这样的等差数列不存在．…10分（3）设数列的公比为，则，∵的每一项均为正整数，且，∴，且，∵，即：在中，“”为最小项，同理，在中，“”为最小项，…11分由为“型数列”，可知只需，即，又∵不是“型数列”，且“”为最小项，∴，即，