北师版数学八年级上册教学案

第三或图形的平移与旋转

3生活中的旋转

图3-12

(1)上面情景中的转动现象，有什么共同特征？

(2)钟表的指针.钟摆在转动过程中，其形状，大小、位

置是否发生改变？汽车方向盘的转动呢？

在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动•个

角度，这样的图形运动称为旋转(circumrutale),这个定点称为

旋转中心，转动的角称为旋转角,旋转不改变图形的大小和

形状,

议一议

券miiimiiiii

如图3-13所示，如果

把钟表的指针看做四边形

AO^C,它绕O点按喷时针方

向旋转得到四边形QDEF.

在这个旋转过程中：图3-13

(1)旋转中心是什么？旋转角是什么？

(2)经过旋转，点A,8分别移动到什么位置?

78

生活中的旋转

(3)AO与。。的长有什么关系？3。与呢?

(4)/AOD与N8OE有什么大小关系？

在图3-13中，点Q,E,F分别是点力，8,C的对应点.

经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了

相同的角度.任意•对对应点与旋转中心的旌线所成的角都

是旋转角，对应点到旋转中心的足离相等.

例1钟表的分钟匀速旋转一周需要60分.

⑴指出它的旋转中心,

(2)经过20分，分针旋转了多少度？

解：⑴它的旋转中心是钟表的轴心(图3—14

中表盘面的中心位置)।

(2)分针匀速旋转•周需要60分,因此旋

转20分，分针旋转的角度为群(20=120。.

图3-14

做一做

liiimkiiim

在图3-15中，正方形A&CQ与正方形EFGH边长相等.

这个图案可以看做是哪个“基本图案”通过旋转得到的？

图3-15

第三或图形的平移与旋转

随堂练习

IIIIIIIIIIIIIIIII

1.右图可以看做是一个英形通过几次旋转

得到的？每次旋转了多少度？

（第1题）

习题3.4

IIIIIIIIIIIHIII

1.如四是一个三叶吊扇的图片，回账下列问题:

（1）吊扁正常工作（运转）时.其叶片的转动可以看成是一个旋转

运动，试找出它的旋转中心；

（2）当第一个叶片转动到第二个叶片的住正时，它转过了多少度？

转动到第三个叶片的仁兄时呢？

（箝在转动过程中，叶片的大小和招技发生变化了吗？

◎数学理魄T

2.吊扇在运转过程中，相同的时间内吊扇上每个点运动的路整是否

都一徉？

30

令生活中的旋转

3.举出现实生活中流怡的一些实例.

4.如图,杳港特别行政区区徽是由五个同样的花精组成的.它可

以奇做是什么“氐木图堡”通过怎样的旋转而存到的？

（第4题）（第5题）

5.观察如图所示的图窠，它可以看做是什么“基本图案”通过怎

样的费林而得到的。

81

第三或图形的平移与旋转

4简单的旋传作图

如图376,在方格纸上作出“小旗子”绕。点按顺时针

方向旋转90°后的图案，并简述理由.

例1如图3-17,△A8C绕C点旋转后,顶点A的对应

点为1点D.试确定顶点8对应点的位置，以及旋转后的三角形.

图3-17

分析；假设顶点8的对应点为点E,则/BCE,Z.ACD

都是旋转角，且CE=C乩CD=CA.

解：⑴连接CQ.

⑵如图3—18,以G为•边作N8CE,使得N8CE=

ZLACD.

简单的旋转作图

图3-18

(3)在射线CE上截取CE=CB.

⑷连接DE.

△DEC就是△SBC绕。点旋转后的图形.

现一以

IIIIIIIIIIIIH

你还能用其他方法作出例I中的△QE。吗?

想一想

KSf3liiiiiiiiiiiiii

在旋转过程中，确定一个三角形旋转后的位置，除需要

此三角形原来的位置外，还需要什么条件？

阉随堂练习

1.在下图中，将大写字母N绕它右下侧的顶点按顺时针方向旋转

皿＞"作出旋转后的图案.

(第।期

第三或图形的平移与旋转

由习题35

1.将一个正三角形绕它的一个顶点按逆时

斜方向旋JH.分刖作出旋转下列角度后

的图将：

(1)30%(2)60s；(3)90'；(4)120".

2,将右面的图案境。点按喷时针方向旋转

90°,作出旋转E的同图一(第2题)

3,如国，D是等边三角套月8。的边2(?上一

点，桁△480线点,4笠转，使用或精后点

B的对应点为点C.

(1)在图中作出旋转后的图形.

(2)小明是这样做的：过。作从1的平行线

/,在/上取。连接，£,则

(第3题)

△dCE即为旋转后的图那一你能说说小

明这样做的道理吗？

84

＞它们是怎样变过来的

5它们是怎样变过来的

图3-19由四部分组成，每部分都包括两个小“十”字.

红色部分能经过适当的旋转四

得到其他三部分吗？能经过平移

吗？能经过轴对称吗？还有其他hr

的方式吗?3牛

4

例1如图3—20,有甲，乙两棵“小树”，你能对甲“树”

进行适当的操作，将它与乙“树”重合吗？写出你的操作

过程.

解：可以先将甲“树”绕图上的A

点旋转，使得甲“树”被“扶直”，然后，

再沿A©方向将所得“树”平移到8点一

位置，即可与乙“树”重合（如图3-21）.

在图3-20中，你还有其他的操作方法吗?

第三或图形的平移与旋转

想一想

IIIIIIIIIIIIII

你能耨图3-22中的左图

通过平移或旋转得到右图吗？

随堂练习

HiminIImin

I.如图，怎样将左边的图案变成右边的样子?

（第1®）

2.右图是由三个正三角形拼成的，它可

以看做由其中一个三角形经过怎样的

变化而得到？

习题3.6

由IIIIII1IIIIIIIII

©数学理解，

1.理察图中的两个图案，左，右国案可以分别看做是由什么“基

本图案’经过怎样的变化形成的？（不考虑颜生）

❖

｛第1题）

86

►它们是怎样变过来的

2.下面的图案可以看做是以一个什么图案为“数本困案”形成的？送

用两种方法分折它的形成过程.

3,现存国中的国薰，它可以看做是由什么'"身本图案杵没过怎样

的变化心前的？

备问题解决,

4.仿照习题3,设计几个由相同的的宴拼接而成的美丽图胪.

87

第三或图形的平移与旋转

6简单的图案设计

在现实生活中,我们经常见到一些美丽的图案.

图3-23

你能用平移、旋转或轴对称分析图3-23中各个图案的

形成过程吗？你是怎样分析的？与同伴交流.

例1欣赏图3-24的

图案，并分析这个图案

形成的过程.

解：图3—24中的图

案是由二个“基本图案”

组成的，它们分别是三图3-24

种不同颜色的“爬虫”（形状,大小完全相同）.

在图中，同色的“胆虫”之间是平移关系，所有同色的“爬

虫”可以通过其中•只经过平移而得到，相邻的不同色的“爬

虫”之间可以通过旋转而得到，其中，旋转角度为1201旋转

中心为“鹿虫”头上、腿上或脚趾上一点.

简单的图案设计

做一做

iiiamBiinii

仿照图3-23中的某个标志设计一个图案，与同伴交流,

并简述你的设计意图，

议一设

iiimimiiia

生活中还有哪些图案用到了平移或旋转？分析其中的一

个，并与同伴进行交流.

读一读/

________________

在计算机上进行平移和旋转

借助计算机，以适当的软件为平台，可以很方便地将图

形进行平移、旋转-现以“Z+Z”为例，看看怎样将△KB。进

行平移和旋转.

1.平移

(1)依次选择两个点，单击右键菜单中的“选定平移向

量”选项，即标记了以选择的第一个点为起点、第二个点为

终点的向量，

第三或图形的平移与旋转

(2)选择△/WC,单击“变换F菜单下的“平移几何对象”

选项，即可得到△封£「按照指定方向与距离平移后的图形.

当标记的向量变化时，通过平移得到图形的位置也相应发

生变化.

2.旋转

(1)选择点。，单击“变换"菜单下的"指定旋转或放缩

中心”选项，即将点。标记为旋转中心，

42T-15A2

「„imHwuwixe

/，nr^rrTP

/..

//七”Ei

,片XMWinx.

（遇Nth

(2)单击“变换”菜单下的“指定旋转角或放缩倍数参

数……二在旋转角编辑框中输入pi.然后单击确定按钮.设

置旋转帚春数为加

(3)选择△5BC,单击“变操”菜单下的“旋转几何对

象”选项，即可得到△儿BC以点。为旋转中心逆时针旋转180,

的图形.

根据上面的操作，你可以尝试在“Z+Z”中完成上节的随

堂练习第1题.

90

简单的图案设计

由习题3.7

IIIIIBIIIIIIIIII

◎数学理解,

1.利用旋转分析下列图拿、畀设计一个你所喜欢的做标.

NEIV

/VISN

(1)(2)⑶

(第I题)

即问题解决,

2.利用角、线段导短本图形.借助族杵、平移或轴对称设计一个图

黄，井简逑你的谀计意图.

，按下面的步臊，可以很同单地得到一个别致的图窠；,/\

《】)准各一张正三角形纸片(如图①)；/

(2)把批片任意撕或两部分(如图②、图③)；四①

(3)将图②沿正三角彩的一边作钟对称，得到新的图形，并将新

的国序以正三角形的一个顶点作为会转中心就转，得到国©

(图③保林不动)；

(4)把图④平移到困③的右边，褥到国⑤；

(5)对图⑤进行适当的修饰，便得到一个别致的图案⑥.

体骐上逑步骤具体做一做,并将你的设计与同学交流.

图⑵图③

91

第三或图形的平移与旋转

;才旦顾与受次［小，

平移是否改变图形的位近.形状、大小？通过实例加以

说明一旋转呢?

2.，些过平待.对应点所建成的线段之间有什么关系？

经过旋转.每一对对应点与旋借中心之间有什么关

3.收集生活中利用平移.轴对歙，旋转设计而成的国竟,

体会谡计者的意图.

4.你能利用一次平移和一次液样设计一个用髭吗？你想

表达什么含义？

B复习题

IIIIIIHIIIIII

,二i知识技能，

L作出“港艇”向右平移6格后的图案.

2.图中的菊花闺器.妫中心旋转多少度后能和原来

的图窠相互支合？

（第2题）

复习题

3.加图.△月。8绕。点旋转后，G

点是8点的对应点，作出^AOB日、

旋传后的三角杉.

A0

(第3照)

4.仔画一个及1△WAC,其中/©=90°,分别作出△才友?捺如下条

件黄转或平移后的图册：

(1)以8点为旋酹中心，拄逆时■针方向旋杆30：；

(2)以8点为旋转中心,按逆时针才向旋样18(T；

(3)取三角杉外一点0为旋转中心，按逆时计方向旋转1^0°；

(4)将△■SC1平移，使捋8点的对应点为彳点一

5.火车在一段之直的辕轨上行驶，这个过

位可以看成是车厢沿着铁轨的方向平移

的过隹.如果火车驶入弯道，这时还可

以看成是平移吗？说说你的理由.

6,下面两幅图拿分别是由什么“忠本图窠”通过平移得到的？

Q「QCQT"^

⑴⑵

(第6题)

第三章图形的平移与旋转

—

X.如印△48U.△,4。七均是顶角为42'的号腱三角形，BC,。6分

别是底边，困中的哪两个三角套可以通过多样的送转而相互得到？

（第8题）

9.如困，有甲，乙两岸“，卜树”，通过对甲“树”进行适当的操作，将

它与乙“树”支合.

*10一下面的两蜡图是怎样利用旋转、平移支轴对称进行设计的？你能

际照其中的困窠自己设计一个图案吗？

复习题

⑵

(第I。题)

觐问题解决》

II,利用平移、流传.轴对称设计一个国发，说明你所表达的含义，并

在班上展示你的作品.

12.利用一个圆、一个正三角形，通过2次旋转或平杼设计一个图案，

说明你的设计意图•

•13.如图,甲、乙两个单位•分别｛立于一条封闭式街道的两旁.甩准备合

作修建L座过有天桥，问：

(1)矫建在何处才能使由甲到乙的路线最短？注意.侨必须与街

道垂直.

(2)桥住在何处才能使甲.乙到桥的距图相等？

(第13题)

第三或图形的平移与旋转

14.如图.48两点敕大山阻隔,为了改善山区的交通,现撤开蓄一

个苜窜d,B的坡道，纱建一条高速公路.请你设计出一个方案，物

用平行的有关却识测董出48之间的距禺和隧道开街的方向.

悌14®)

飞躯联系拓r>

15.正三角形史中心至少旋转多少度可以与原四招圭合？正方彩浇中

心至少旋转多少度可以与原图形重合？正五边彩况中心至少流转

多少度可以与原国彬变金？正六边形呢？正七边行呢？正八边游

呢？....画呢?

96

第三章图形的立移与旋转

数t救学,

回顾与思考

I回顾与思考I

以问题中的形式进平存是不技变图彩的俄第、府联通过实例加以

行回顾与思考，是本娈说明.流转呢？

粒材的特笆之•.对本经过平珞，对应点所连艮的线笈之间布什么关系？

章许多概念.结论的总经过旋传，每一对对应点、与旋行中心之间有什么关

结.宜结介具体的事例

来说明，同时，要求能收集生活中利用平移、轴对称，旋转送计而成的图案

够欣贷、解科已有的困体会设计者的意图.

案，设计•些新的图案.你能利，和一次平移和一次旋转设计一个图案吗？依奥

表达什么含义？

匐复习题

1.先找到“潜艇”的名

个顶点向右平移6

格后的位置.然后.按

照相应的方式连接即

可得到平移后的图案.

（第1题）

2.45°或其整数倍.2.图中的菊花图案，空中心旋转多少反后能和柬来

的图案相互支合？

（第2题）

136

第童

!1:边形性质探索

我们生活的世界充满着大自然的杰作和人类的创造物，各式各

样的图案为我们装点看生活,无论是蜜蜂营造的蜂房、建筑师们创

作的建筑物，还是平整、无健隙地铺满地面的地砖，无论是你曾经

玩过的七巧板，还是些风筝,窗杈……从中都能看到多边形（尤其

是四边形）的“身影二了解它们，你不仅能学到更多的数学，欣赏

中外艺术家们的杰作，而且能独立设计许多漂亮的图案……

在本章，我们杼学习四边形的性质，探索平行四边形、菱形，矩

形、正方形,梯形等特殊四边形的性质……

第四黄四边形性质探索

1平行四边形的性质

将一张纸对折，剪下两张叠放的三

角形纸片.将它们相等的•组边重合，

得到一个四边形.

(1)你拼出了怎样的四边形？与同

伴交流.

(2)小明排出了如图所示的一个四

边形，这个四边形的对边有怎样的位置

关系？说说你的理由.

两组时边分别平行的四边形叫做平行四边形

(paralielogram).平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫

它的对角线(diagon由.如图4一1所示的四边形八成7)是平行

四边形，记作"口A8CT,读作八、-------大

“平行四边形A8CD”，线段3。\

就是的一条对角线.*------Ac

图4T

做一做

(I)在你拼接得到的平行四边形中，有哪些相等的线段.

哪些相等的角？你是如何得到的？与同伴交流.

(2)任意•个平行四边形，是否都可以由两个全等三角

形拼接而成？如果能，你能对其中一个三角形通过适当的变

化(如平移、轴对称、旋转)而得到另一个三角形吗？具体

做•做，从中你又能得到哪些结论？

卜平行四边形的性质

平行四边形的对边相等.

平行四边形的对角相等.

随堂练习

lllltlllllllHIII

1.如图，四边形A8CD是平行四边形.求:

（l）ZADC,/8。。的度数：

⑵边gBC'的长度.

30D

（第I题）

2.四边形A8CD是平行四边形，它的四条边中哪些线段可以通过平移而

相互得到？

■■UUUUUIII1

I.在口ABCD中*ZJ=48\5C=3cm.求/C的度数及包？

边妁长.

2.如国，口边形XBCD是平行四边形，ZADC=125\ZCAD=

21.求/C：痞的度教.

B匕______MT

（第3题）

3.如图，在匚U灰?。中，/C,8Q是两茶对角煤，△，"？是寺边三

角形一试找出图中两组棋手的线■接、两值相孑的角.

第四童四边形性质探索

做做

如图4—2,口力8CQ的两条对角线AC8D相交于点。

(1)图中有哪些二角形是全等

的？有哪些线段是相等的？

(2)能设法验证你的猜想吗？

你既可以用测量的方法，也可以用品制纸片并借助旋转

的方法.

平行四边形的对角线互相平分.

例1如图4一3,四边形ABCD是平行四边形，DB1AD,

求8C,及08的长.

解：平行四边形的对边相等，于是次?=71。=8,CD=

AB=10.

在Ri△八QB中，AQ=g,AB=10,BD=J,W-也=

=6,由平行四边形的对角线互相平分.得。8==80=3.

100

平行四边形的性质

时想一想

Hillmanilium

在笔直的铁轨上，夹在两根铁轨之

间的枕木是否一样长？

例2已知直线"f过直线口上任意两点48分别向

直线6作垂线，交直线〃于点点。（如图4-4）,

（1）线段4a8。所在的直线

有怎样的位置关系？

（2）比较线段AC8。的长短.

图47

解：⑴由AC.3。同时垂直于直线优得AC//BD.

（2）!：“二,一四边形483是平行四边修—AC=助九

{ACfiHu

在例2中，线段AC的长是点A到直线匕的距阂.同样,

线段的长是点8到直线。的距离，且AC=8/Z因此，若两

条直线互相平行，则其中，条直线上任意两点到另一条直线

的距离相等，这个距离称为平行线之间的距离.

鎏设＜

举出生活中的几个实例，反映”平行线之间的垂线段处

处相等”的几何事实.

第四童四边形性质探索

随堂练习

iimiiiiiiiiuii

1.口A3CD的两条对角线相交于点。.CM.08,A5的长度分别为

3cm,4cm,5cm,求其他各边以及两条对角线的长度，

习题4・2

由IIIIIIIIIIIIIIII

鼠r知识雌,

1.在口A8CD中.已初,4从BC,C。三条边的长度分别力(*+3)51.

(x-4)cm,16cm,这个平行国边彩的周长是多少？

2.如图.在口ABCD中*ZODA

=绯:,，OA=6cm、OB=3cm.

^.AD,47的长.

3.对角级可以将如图的平行四边彩分成全争的两部分.这样的直线

还有很多.

(1)多作几条这样的直线，看看它们有什么共同的耕征.

(2)也箭用旋转的有关金识解择你的发现.

佛3题)

102

卜平行四边形的判别

2平行四边形的判别

小明的爸爸在钉制平行四边形框架时采用了下面两种方法.

方法一：如图4-5,将两

根木条AC,的中点重叠，并

用钉子固定，则四边形A6CO

就是平行四边形.

方法二：如图4-6,将两根同样长的木条.A3,CD平行

放置，再用本条A。，8。加固，得到的四边形八8。。就是平

行四边形,

你能说出这两种方法的道理吗？与同伴交流.

两条对角线互相平分的四边形是平行四边形.

组对边平行且相等的四边形是平行四边形.

103

第四童四边形性质探索

例1如图4一7,ACII£P,点8在AC上且AB=£D=BC.

找出图中的平行四边形.

解；四边形WDE,eCDE都是平行四边形，理由是:

(ABnED一一，一

,“「八一四边形ABDE是平行四边形，

'A占=ED

IIED

[BC=ED四边形比DE是平行四边形.

肺堂练习

IIIIIIIIIIIIIIIH

1.如图，在中，AC,血)相交于

点。，点&/-在对角线AC匕ROE-OF.

(1)OA'-jOC,OH与OD是否相等？

(2)四边形打RE是平行四边出吗？

(第I题)

宙习题4・3

1.息口ABCD中，点E.F分别&.AB,

CD上，DF=BE.29边彤DEBF

是平行四边界吗？就说你的理由.

104

I平行四边形的判别

2.如图，在口川BCD中，O是/（7.BD

的交点,点£,F.G,〃分别是/O.

BO,CO.。。的中点，明边形£FG〃

是平行四边形吗？说说你的理由一

3.小明是这样作平行四边形的：钎三角尺/8C的一边乂（'此着直尺，

推移三角尺到44G的位直.这时西边帮山汕「3我是平行口边

杉.你能说说小明这样做的道理吗？

（第3期

用两根长40cm的木条和两根长30cm的木条作为四边

形的四条边，能否拼成♦个平行四边形？与同伴进行交流.

小明拼成的四边形如图4-8所

示，图中的四边形ABC。是平行四边./~7

形吗？为什么？

f

«*40C

图4—R

两组对边分别相等的四边形是平行四边形.

105

第四童四边形性质探索

做一做

IIIIIIHIIIIM

在图4-9中，AC=BD=16,AB=

CD=EF=15,CE=DF=9.图中有哪

些互相平行的戏段？

议一议

IIIIIIIIIIIIH

一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四

边形吗？

平行四边形的判别方法：

两组对边分别平行的四边形是平行四边形.

两组对边分别相等的四边形是平行四边形.

一-组对边平行且相等的四边形是平行四边形.

两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，

的堂练习

riiiiiiiiiiiniii

I.有两条边相等，并H另外的两条边也相等的四边形一定是平行四

边形吗？

2.如图，四个全等三角形拼成一个大的

三角形,找出图中所有的平行四边

形，并说明理由.

108

＞平行四边形的判别

习题4.4

IIIIIIIIIIIIMII

1.,AB-CDt且NOCf—/从IC,四边形.4ZTCD是平行四边招

吗？你有几种判别方法？

4D

（第2题）

2,加图是由六个全等的正三府形料成的.国中有几个平行四边形？

说说你的理由.

◎数学理魄T

3一如图，曲以才培级的文点（结点）为项点画出几个平行四边形，

畀说明你画图的方法和其中的道理.

107

第四童四边形性质探索

3菱形

上图的衣帽来中有你熟悉的图形吗？

•组邻边相等的平行四边形叫做菱形(rhombu*),

如图4-10,在菱形A6CD中，对角线AC,以＞相交于

(1)图中有哪些线段是相等

的？哪些角是相等的？

(2)图中方哪些等腰三角形、

直角三角形？

(3)两条对角线AC,一有什

么特定的位置关系？图4-10

菱形的四条边都相等，两条对角线互相垂直平分，每"

条对角线平分一组对角.

想一想

IIIIIIIIIIIIII

(1)菱形是轴对称图形吗？如果是，那么它有几条对称

轴？对称轴之间有什么位置关系？

108

€＞菱形

(2)如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个

菱形的纸片？

小颖是这样做的：将•张长方形的纸对折、再对折(如图),

然后沿图中的虚线剪下，打开即可.

你知道她这样做的道理吗?

议一议

siiiiiiimiii

木工在做菱形的窗格时，总是保证四条边框•样长•你

能说出其中的道理吗？与同伴交流.

菱形的判别方法：

一组邻边相等的平行四边形是菱形.

对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

四条边都相等的四边形是菱形.

第四童四边形性质探索

例1如图4一11,口A笈0D的两条对角线AC,8Q相交于

点O,AB=-/5-,4(7=2,Otf=1.

(1)AC,8。互相垂直吗？为什

么？

(2)四边形ASUD是菱形吗？为

什么？

解；(1)在aAOB中，AB2=AO2+OH2-►N/IO2是

直的一►AC1BD.

(2)四边形A8CO是平行四边形$_丝_四边形A8CD

是菱形.

习题4.5

iiiniviiiimii

知识技能命

1.四边界ABCD是菱形，。是两茶对南媒的交点,已-5cm.

AO-4cm,求对角践8。的长一

©教学理解.

2如国，两张等宽的纸条更又空也在一起，空卷的部分4SCQ是英

形吗？为什么？

(第2题)

110

►菱形

3.如图，在长方形.4BCD中，E.RG,〃分别是它四条边的中点,

那么四边形E尸G"是什么持殊的强边阳？你是如何判断的？

（第3题）

111

第四童四边形性质探索

4

有-个内向是直角的平行四边形叫做矩形(reclan出).

在•个平行四边形活动框架匕用两根橡皮筋分别套在相

对的两个顶点上，拉动-对不相邻的顶点，改变平行四边形的

形状(如图4-12).

1i14-12

(1)随着/〃的变化，两条对角线的长度分别是怎样变化

的？

(2)当Na是锐角时，两条对角线的长度有什么关系？当

Za是钝角时呢？

(3)当/a是直角时，平行四边形变成矩形，此时两条对

用线的长度有什么关系？

矩形的对角线相等，四个角都是直角.

►矩形*正方形

例1如图4—13,在矩形

A占CD中，两条对角线人CBD

相交于点。,AB=OA=4cm.

求与AQ的长.

解：在矩形，UJCQ中，对角线C与互相平分且相等,

「是BD=CA=2OA=8cm,

在RlZ\8AQ中，4/)=J月况7/~78-4*=4-/T(cm).

想一想

mimuiiiii

对角线相等的平行四边形是怎样的四边形？为什么?

对角线相等的平行四边形是矩形.

随堂练习

IIIIIIIIIIIIIIIII

1.已知UM8CD的两条对用线同仇BQ相交于点。，△月。3是等

边三角形，求N84。的度数一

以一议

赛IIIIIIIHIIIII

(1)矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？如

果不是，简述你的理由.

(2)直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半,你能用

矩形的有关性质解祥这个结论吗？

第四童四边形性质探索

习题4.6

由IIIIIIIIIIIIIIII

L女知识技能,

1.一个矩形的对角线长6cm.时角蝶与一边的央闲是45°.求花形的

长与宽.

2.三个角是直角的四边影是矩形吗？林迷你的理由.

备问题解决,

3,检查你搴（或教室）的门椎（或才桌面上是不是矩形,如果仅有一根

较长的绳■子.你怎样检查？解释其中的道理.

一组邻边相等的矩形叫做正方形（square）.

正方形是菱形吗？正方形具有哪些性质？

正方形具有平行四边形、矩形，菱形的一切性质.

热二橘正方形有几条对称轴？

例2如图4—14,四边形A80O是正方形，两条对角线相

交于点。.求/AQ8,的度数.

<>矩形.正方形

IS4-14

解：正方形A8CD是菱形，对角线AC,BD•定垂直.所

以/八OB=90s.

正方形A8CQ既是矩形，又是菱形，（一-----

所以N1M。=90"，且对角线4C平分（还有其他\

ZBAD,因此NOA8=45。.J方法吗?

做一做

II1IIIIIIIIIII

如图4-15,将•张长方形纸对折两

次，然后剪下一个角，打开.怎样前才

能剪出一个正方形？

议一议

iiimiiiiiiia

正方形、矩形、菱形以及平行四边形四者之间有什么关系?

随堂练习

I.边长为2cm的正方形，对角线的长是多少?

2.图4-14中有多少个等腰直角三角形？

第四章四边形性质探索

:读一读］

侦察兵密码通信游戏.

利用正方形的性质可以进行“侦察兵密码通信游戏二

将一张厚纸板剪成一个正方形纸板.把它划分成64个

小方格并开小窗.如图4-16所示.假如必须传递如下消息：

.进攻计却在9月16日晨5时，注意左翼一革命军事会议，9

月14日”，把栅格放在一张纸上，在格格子的窗口上写上消

息.一开始依次存放16个字母：JINGONGJIHUAZAI9

它们的位置见图4一17.

随着沿逆时针方向将册格旋转5兀已写了的字母被盖

住，在新的窗口继续写入内容.再作2次旋转.并写入内容.如

果还留下未祓利用的方格，就用48.C-殖满它们（使得没

有空格）.整封信具有图4—18所显示的形状一没有密码正方块

的人一点也不僮它们的意思.

如果有密码正方块（图4—16）,读起来和刚才填写密码

时的程序一样（盖上正方块和逆时针方向旋转9（）,在第4次

旋转后，收信人就弄清楚了密码内容.

有意思吧！你不妨试一试！

图4-161514-18

•本段节选自［俄1沙沙金等等,吕乃刚译《直观几何取2001年I月华东帅范大

学出版社出版）第77页，有删改1

卜矩形.正方形

由习题4.7

1.时角曼长为2cm的正方形，边长是多少？

2.对于周长为20cm的矩杉,通过填写下表.研究官的长与宽的支

化对面机的影响,

矩形的长/cm…876543—•

矩形的宽/cm••1

矩形的囿枳/cm，*■(

3.如国.在正方彩/8CD中,£,，；G,H

分别在它的鸣茶边上，且AE=8F=

CG=DH.四边玛EFGH是什么特殊四边

形，你是如何判断的？

4.判别一个超边形是正方形.你有哪些方

法？（第3题｝

问题解决》

3.如何谩计花珠？

在一块正方脑的花坛上，欲修建两条直的小路，使捋两条直的小

路将花坛平均分成面松相争的四部分（不学其道路的宽度）一体有

几笄方法？（至少说出三种）

117

第四章四边形性质探索

（第S®）

118

梯形

5梯形

上面的几幅图中有你熟悉的图形吗?

•组对边平行而另•组对边不平行

的四边形叫做梯形(trapezoid).如图

4-19所示，平行的两边叫做梯形的底，

不平行的两边叫做梯形的腰，夹在两底

之间的垂线段叫做梯形的高.

如图4-20,两条腰相等的梯形叫做等腰梯形(isosceles

mipezoid).如图4-21,♦条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形

(rightangledtrapezoid).

♦较短的底叫做上底.较氏的底叫做下底.

DQ

第四章四边形性质探索

网傲一做

在一张有平行线条的纸上作•

个等腰梯形.连接两条对角线(如图

4-22所示).图中有哪些相等的线

段？有哪些相等的角？这个图形是

轴对称图形吗？设法验证你的猜想.04-22

等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等.

III1IIIIIIIIII

在图4-23中，四边形八。。力是等腰梯形，将腰48平移

到OE的位置.

1514-23

(1)DE把四边形A8C。分成了怎样的两个图形?

(2)图中有哪些相等的线段、相等的角？

例1如图4—24,在等腰梯形/IBS中，4。=2,BC=4,

高DF=2,求腰QC的长.

BC

图4-24

舟梯形

解：如图4-25,将腰八8平移到DE的位置，由平移的性

质和平行四边形的判别方法，可知四边形八片£。是平行四边

形，£>E=AB=。r，BE=AD,

在等腰中,EC=BC-BE=BC-AD=4-2=2,

CF=+EC=U*=麻可=丽=凡

i,梯形与平行四边形有什