考研数学二分类模拟196

考研数学二分类模拟196一、选择题1.

设f(x)在[a，b]可导，则______A.f'+(a)=0B.f'+(a)≥0C.f'+(a)＜0D.f'+(a)≤0正确答案：D[解析]由f(x)在[a，b]上可导可知，

显然，x-a＞0，又故f(x)-f(a)≤0，从而有再由极限的局部保号性可知，即f'-(a)≤0。故选D。

2.

设f(x)可导，F(x)=f(x)(1+|sinx|)，则f(0)=0是F(x)在x=0处可导的______A.充分必要条件B.充分条件但非必要条件C.必要条件但非充分条件D.既非充分条件也非必要条件正确答案：A[解析]令φ(x)=f(x)|sinx|，显然φ(0)=0。由于

而由φ(x)在x=0处可导的充分必要条件是φ'+(0)与φ'-(0)都存在且相等可知，若f(0)=0，则必有φ'++(0)=φ'-(0)；若φ'+(0)=φ'-(0)，即有f(0)=-f(0)，从而f(0)=0。

因此f(0)=0是φ(x)在x=0处可导的充分必要条件，也是F(x)在x=0处可导的充分必要条件。故选A。

3.

设F(x)=g(x)φ(x)，x=a是φ(x)的跳跃间断点，g'(a)存在，则g(a)=0，g'(a)=0是F(x)在x=a处可导的______A.充分必要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.非充分非必要条件正确答案：A[解析]因φ(x)在x=a处不可导，所以不能对F(x)用乘积函数的求导法则，需用定义求F'(a)。

题设φ(x)以x=a为跳跃间断点，则存在，A+≠A-。

当g(a)=0时，有

这表明，g(a)=0时，F'(a)存在

下面证明若F'(a)存在，则g(a)=0。

反证法。若g(a)≠0，由函数相除的求导法则可得，φ(x)在x=a可导，这与题设矛盾，则g(a)=0，g'(a)=0是F(x)在x=a处可导的充要条件。故选A。

4.

设f(x)在点x=a处可导，则函数|f(x)|在点x=a处不可导的充分必要条件是______A.f(a)=0且f'(a)=0B.f(a)=0且f'(a)≠0C.f(a)＞0且f'(a)＞0D.f(a)＜0且f'(a)＜0正确答案：B[解析]若f(a)≠0，由复合函数求导法则有

因此排除C、D两项。

当f(x)在x=a可导，且f(a)≠0时，|f(x)|在x=a点可导。

当f(a)=0时，

上面两式分别是|f(x)|在x=a点的左、右导数，因此，当f(a)=0时，|f(x)|在x=a点不可导的充要条件是上面两式不相等，即f'(a)≠0。故选B。

5.

设函数f(x)在[0，1]上二阶可导，且则______

A．当f'(x)＜0时，

B．当f"(x)＜0时，

C．当f'(x)＞0时，

D．当f"(x)＞0时，正确答案：D[解析]方法一：将函数f(x)在处按泰勒展式展开，可得

对上述方程左右两边在[0，1]上同时积分，有

当f"(x)＞0时，由定积分的几何意义可知，表示由曲线直线x=0，x=1和x轴所围成的曲边梯形的面积，因此所以从而有故选D。

方法二：举特例。

令排除A项；令排除B项；令排除C项。故选D。

6.

设则______A.f(x)在x=x0处必可导，且f'(x0)=aB.f(x)在x=x0处连续，但未必可导C.f(x)在x=x0处有极限，但未必连续D.以上结论都不对正确答案：D[解析]本题需将f(x)在x=x0处的左、右导数f'+(x0)和f'-(x0)与f'(x)在x=x0处的左、右极限区分开。

只能得出但不能保证f(x)在x0处可导，以及在x0处连续和极限存在。

例如显然，x≠0时，f'(x)=1，因此

但是因此不存在，所以f(x)在x=0处不连续，不可导。

故选D。

7.

设f(x)可导且则当Δx→0时，f(x)在x0点处的微分dy是______A.与Δx等价的无穷小B.与Δx同阶的无穷小C.比Δx低阶的无穷小D.比Δx高阶的无穷小正确答案：B[解析]由f(x)在x0点处可导及微分的定义可知

于是即当Δx→0时，dy与Δx是同阶的无穷小。故选B。

8.

设函数f(u)可导，y=f(x2)，当自变量x在x=-1处取得增量Δx=-0.1时，相应的函数增量Δy的线性主部为0.1，则f'(1)=______A.-1B.0.1C.1D.0.5正确答案：D[解析]由微分的定义可知，函数f(x)在x0点处的增量Δy的线性主部即为函数f(x)在该点处的微分dy|x=x0=f'(x0)Δx，所以有

0.1=y'(-1)Δx=-0.1y'(-1)，

即有

y'(-1)=-1。

而且

y'(-1)=[f(x2)]'|x=-1=f'(x2)·2x|x=-1=-2f'(1)，

因此f'(1)=0.5。故选D。

9.

设函数y=f(x)具有二阶导数，且f'(x)＞0，f"(x)＞0，Δx为自变量x在点x0处的增量，Δy与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若Δx＞0，则______A.0＜dy＜ΔyB.0＜Δy＜dyC.Δy＜dy＜0D.dy＜Δy＜0正确答案：A[解析]根据函数单调性的判断f'(x)＞0可知，f(x)严格单调增加，由f"(x)＞0可知，f(x)是凹函数。作函数的图形如图所示，显然Δx＞0时，

Δy＞dy=f'(x0)dx=f'(x0)Δx＞0。

故选A。

注意区分函数的增量与微分的几何意义。Δy=f(x0+Δx)-f(x0)表示的是曲线上实际的增量；dy=f'(x0)Δx表示的是该点切线上对应的增量。

10.

设函数g(x)可微，h(x)=e1+g(x)，h'(1)=1，g'(1)=2，则g(1)=______A.ln3-1B.-ln3-1C.-ln2-1D.ln2-1正确答案：C[解析]函数h(x)=e1+g(x)两边同时对x求导，可得

h'(x)=e1+g(x)g'(x)，

在上面的等式中令x=1，结合已知条件h'(1)=1，g'(1)=2，可得

1=h'(1)=e1+g(1)g'(1)=2e1+g(1)，

因此得g(1)=-ln2-1。故选C。

11.

设g(x)可微，h(x)=esin2x+g(x)，=______A.-ln2-1B.ln2-1C.-ln2-2D.ln2-2正确答案：A[解析]h'(x)=esin2x+g(x)·[2cos2x+g'(x)]，则

即故选A。

二、填空题1.

正确答案：sinx2[解析]令x-t=u，则

2.

设函数则y=f(x)的反函数x=f-1(y)在y=0处的导数正确答案：[解析]由反函数的求导法则可知

3.

设函数f(x)在x=2的某邻域内可导，且f'(x)=ef(x)，f(2)=1，则f'''(2)=______。正确答案：2e3[解析]由题设知，f'(x)=ef(x)，在此方程两边同时连续两次对5c求导得

f"(x)=ef(x)f'(x)=e2f(x)，

f'''(x)=2e2f(x)f'(x)=2e3f(x)，

又f(2)=1，故f'''(2)=2e3f(x)=2e3。

4.

设函数y=y(x)由方程y=1-xey确定，则正确答案：-e[解析]当x=0时，y=1。

在方程两端对x求导，得y'=-ey-xeyy'，整理得

y'(1+xey)=-ey，

5.

设函数y=y(x)由方程2xy=x+y所确定，则dy|x=0=______。正确答案：(ln2-1)dx[解析]方法一：对方程2xy=x+y两边求微分，有

2xyln2·(xdy+ydx)=dx+dy。

由所给方程知，当x=0时y=1。将x=0，y=1代入上式，有ln2·dx=dx+dy。所以，

dy|x=0=(ln2-1)dx。

方法二：两边对x求导数，有

2xyln2·(xy'+y)=1+y'。

当x=0时y=1，以此代入，得y'=ln2-1，所以

dy|x=0=(ln2-1)dx。

隐函数求导无需记忆公式，只需掌握处理方式：对等式两边同时求导再解方程，求导的时候要注意y应该看成x的函数。需要计算二阶导数时，一般无需解出y'之后再求导，这样计算往往比较复杂，可直接对求过一次导数的方程两边再求一次导数，最后解出y"。

6.

设y=y(x)是由方程xy+ey=x+1确定的隐函数，则正确答案：-3[解析]方程两边对x求导可得，

y+xy'+y'ey=1，

解得

再次求导可得

2y'+xy"+y"ey+(y')2ey=0，

整理得

当x=0时，y=0，y'(0)=1，代入(*)得

求隐函数的二阶导数，可以在方程两边同时求两次导数，求导时要把y看成y=y(x)，用复合函数求导法则。求完两次导数之后，再从中解出即可。

7.

设y=y(x)是由方程x2-y+1=ey所确定的隐函数，则正确答案：1[解析]将x=0代入原方程可得y=0。

方程x2-y+1=ey两端同时对x求导，有

将x=0，y=0代入上式，可得

(*)式两端再次对x求导得

将x=0，y=0，代入上式，可得

8.

设可导函数y=y(x)由方程确定，则=______。正确答案：-1[解析]令x=0，则y(0)=0。

方程两端同时对x求导，得

将x=0，y(0)=0代入上式，得

9.

设y=y(x)是由方程确定的隐函数，则y"=______。正确答案：[解析]在方程两边对x求导得

即有

化简可得进而可得

10.

设y=y(x)由方程所确定，则y"(0)=______。正确答案：-2π[解析]将x=0代入方程可得y=1，即y(0)=1。

在方程两边对x求导，得

即于是y'(0)=3。

再在两边对x求导，得

所以

y"(0)=-2π。

三、解答题1.

设函数y=f(x)由参数方程所确定，其中ψ(t)具有二阶导数，且求函数ψ(t)。正确答案：解：因为所以

根据已知

从而可得

(1+t)ψ"(t)-ψ'(t)=3(1+t)2，

即有

假设u=ψ'(t)，则有

由u|t=1=ψ'(1)=6可得C1=0，因此ψ'(t)=3t(1+t)。

又已知可得C2=0，因此

2.

求函数f(x)=x2ln(1+x)在x=0处的n阶导数。正确答案：解：当n=1时，则f'(0)=0；

当n=2时，则f"(0)=0；

当n≥2时，利用莱布尼茨公式

令u(x)=x2，v(x)=ln(1+x)，则

所以

[解析]由秦勒级数可知。反过来，如果能求出函数在这一点的泰勒级数，也就能通过比较对应项得到f(n)(x0)=n!an。

3.

假设函数f(x)和g(x)在[a，b]上存在二阶导数，并且g"(x)≠0，f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0。证明：

(Ⅰ)在开区间(a，b)内g(c)≠0；

(Ⅱ)在开区间(a，b)内至少存在一点ξ，使正确答案：证明：(Ⅰ)利用反证法。假设存在c∈(a，b)，使得g(c)=0，则根据题意，对g(x)在[a，c]和[c，b]上分别应用罗尔定理，可知存在ξ1∈(a，c)和ξ2∈(c，b)，使得g'(ξ1)=g'(ξ2)=0成立。

接着再对g'(x)在区间[ξ1，ξ2]上应用罗尔定理，可知存在ξ3∈(ξ1，ξ2)，使得g"(ξ3)=0成立，这与题设条件g"(x)≠0矛盾，因此在开区间(a，b)内g(x)≠0。

(Ⅱ)构造函数F(x)=f(x)g'(x)-g(x)f'(x)，由题设条件得函数F(x)在区间[a，b]上是连续的，在区间(a，b)上是可导的，且满足F(a)=F(b)=0。根据罗尔定理可知，存在点ξ∈(a，b)，使得F'(ξ)=0，即

f(ξ)g"(ξ)-f"(ξ)g(ξ)=0，

因此可得

4.

已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1。证明：

(Ⅰ)存在ξ∈(0，1)，使得f(ξ)=1-ξ；

(Ⅱ)存在两个不同的点η，ζ∈(0，1)，使得f'(η)f'(ζ)=1。正确答案：证明：(Ⅰ)令F(x)=f(x)-1+x，则F(x)在[0，1]上连续，且F(0)=-1＜0，F(1)=1＞0，故由零点定理知，存在ξ∈(0，1)，使得F(ξ)=0，即f(ξ)=1-ξ。

(Ⅱ)在[0，ξ]和[ξ，1]上对f(x)分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点η∈(0，ξ)，ζ∈(ξ，1)，使得

于是

5.

设函数f(x)在[0，3]上连续，在(0，3)内存在二阶导数，且

证明：(Ⅰ)存在η∈(0，2)，使f(η)=f(0)；

(Ⅱ)存在ξ∈(0，3)，使f"(ξ)=0。正确答案：证明：(Ⅰ)令x∈[0，2]。由于f(x)在[0，2]上连续，所以可知F(x)在[0，2]上可导，由拉格朗日中值定理可知，存在η∈(0，2)，使得即

所以f(η)=f(0)。

(Ⅱ)因为f(2)+f(3)=2f(0)，即又因为f(x)在[2，3]上连续，由介值定理知，至少存在一点η1∈[2，3]使得f(η1)=f(0)。

又因为函数在[0，η]上连续，在(0，η)上可导，且f(0)=f(η)，由罗尔定理知，存在ξ1∈(0，η)，使得f'(ξ1)=0。

因为f(x)在[η，η1]上连续，在(η，η1)上可导，且满足f(η)=f(0)=f(η1)，由罗尔定理知，存在ξ2∈(η，η1)，使得f'(ξ2)=0。

因为f(x)在[ξ1，ξ2]上二阶可导，且f'(ξ1)=f'(ξ2)=0，根据罗尔定理，至少存在一点ξ∈(ξ1，ξ2)，使得f"(ξ)=0。

6.

设函数f(x)在[0，π]上连续，且证明在(0，π)内f(x)至少有两个零点。正确答案：证明：反证法，如果f(x)在(0，π)内无零点(或有一个零点，但f(x)不变号，证法相同)，即f(x)＞0(或＜0)，由于在(0，π)内，有sinx＞0，因此必有(或＜0)。这与假设相矛盾。

如果f(x)在(0，π)内有一个零点，而且改变一次符号，设其零点为a∈(0，π)，于是在(0，a)与(a，π)内f(x)sin(x-a)同号，因此但是，另一方面

这个矛盾说明f(x)不可能在(0，π)内只有一个零点，因此它至少有两个零点。

7.

设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)=g(a)，f(b)=g(b)。证明存在ξ∈(a，b)，使得f"(ξ)=g"(ξ)。正确答案：证明：构造辅助函数F(x)=f(x)-g(x)，由题设有F(a)=F(b)=0。又f(x)，g(x)在(a，b)内具有相等的最大值，不妨设存在x1≤x2，x1，x2∈(a，b)使得

若x1=x2，令c=x1，则F(c)=0。

若x1＜x2，因F(x1)=f(x1)-g(x1)≥0，F(x2)=f(x2)-g(x2)≤0，由介值定理知，存在c∈[x1，x2](a，b)，使F(c)=0。

在区间[a，c]，[c，b]上分别利用罗尔定理知，存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得

F'(ξ1)=F'(ξ2)=0。

再对F'(x)在区间[ξ1，ξ2]上应用罗尔定理，存在ξ∈(ξ1，ξ2)(a，b)，使得F"(ξ)=0，即

f"(ξ)=g"(ξ)。[解析](1)使用罗尔定理之前需要检验它的三个条件，即f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，f(a)=f(b)。理论上，这三个条件是同等重要的，缺失了任何一个定理的结论都将不再成立；但在题目中，前两个条件一般都是已知的，重点往往在最后一个条件上，即说明函数在端点处的函数值相同，在实际应用中，往往不是一定要算出函数在区间端点上的函数值，只需要说明函数在区间上有两点的函数值相同即可。因此，运用罗尔定理条件的关键就可以浓缩成一句话：找到函数在两点的函数值相同。

(2)根据本题最后的思路，如果要证明