优选教案：人教B版高中数学必修第四册9.1.1 正弦定理

9.1.1正弦定理（1）《解三角形》这一章内容，是初中解直角三角形内容的拓展与延续，也是高中《三角函数》与《平面向量》在解三角形中的应用。初中阶段着重定性的讨论三角形中线段与角的位置关系，本章主要是定量地揭示三角形边、角之间的数量关系。本章内容在高考中主要与三角函数、平面向量等知识联系起来以及在立体几何问题求解中的应用。正弦定理是解斜三角形的基本工具之一，同时它的推导过程也为余弦定理的推导设下伏笔，因此它具有承上启下的重要地位，并且它还是解决实际生活中与三角形有关的问题的有力工具。正弦定理是本章的第一节，是使学生在已有知识的基础上，通过对三角形边角关系的研究，发现并掌握三角形中的边与角之间的数量关系。通过创设问题情景，从而引导学生产生探索愿望，激发学生学习的兴趣，并指出解决问题的关键在于研究三角形中的边、角关系。在教学过程中，要引导学生自主探究三角形的边角关系，先由特殊情况发现结论，再对一般三角形进行推导证明,并引导学生分析正弦定理可以解决两类关于解三角形的问题：（1）已知两角和一边，解三角形；（2）已知两边和其中一边的对角，解三角形。

考点教学目标核心素养三角形面积公式结合实例，了解已知两边和夹角的三角形面积公式的推理过程，掌握三角形面积公式的应用数学抽象、逻辑推理、数学运算正弦定理通过对任意三角形边长和角度关系的探索，了解正弦定理的推导过程，掌握正弦定理及其变形，并进行简单的应用，掌握已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数.直观象限、数学抽象、逻辑推理、数学运算【教学重点】三角形面积公式、正弦定理的推理过程，及简单应用【教学难点】已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数引入：在现代过程中，得益于科技的发展，距离的测量能借助红外测距仪、激光测距仪等工具直接完成。不过，在这些工具没有出现以前，你知道人们是怎样简洁获得两点间距离的吗？如图所示，若想知道河对岸的一点A与岸边一点B之间的距离，而且已经测量出了BC的长，也想办法得到了与的大小，你能借助这三个量，求出AB的长吗？为了方便起见，将3个内角所对的边分别记为，在这样的约定下，情景中的问题可以转化为：已知，如何求.问题1：三角形的面积公式尝试与发现：（1）如图，已知中，，你能求出这个三角形的面积吗？（2）一般地，在中，如何根据地值，求出这个三角形的面积？如图所示，在中，过A作BC边上的高AD，在中，由正弦的定义可知：因此三角形的面积为：当C为锐角时，求三角形面积的方法在为锐角时都成立，因此；当C为钝角时，如下图所示，仍设的BC边上的高为AD，则可知因此仍有成立；当C为直角时，由，可知仍成立.一般地，若记的面积为S，则问题2：正弦定理由此可知：，又因为，因此可得：这就是正弦定理：在一个三角形中，各边的长和它所对的角的正弦的比相等.例1.已知中，求.解：由已知得：.由正弦定理可知：，所以注：在一个三角形中，如果已知两个角与一个边，就可以求出这个三角形的另外一个角，然后由正弦定理可以求出该三角形其他的两条边.因此，确定了一个三角形的两个角和一个边之后，这个三角形就唯一确定了，这与我们初中所学的三角形全等的判定定理AAS（或ASA）一致.习惯上，我们把三角形得3个角和3个边都称为三角形的运算，已知三角形的若干元素求其他元素一般称为解三角形.例2.已知中，，求解这个三角形.解：因为，所以由于，所以或.当时，此时为直角三角形，c为斜边，从而有：；当时，此时为等腰三角形，从而由等角对等边有：.注：根据例2的解答，下图中（1），（2）都满足条件，事实上，这与我们初中所学的SSA不能作为三角形全等的判定定理一样.例3.已知中，，求及三角形面积.解：由得：由于，所以或.当时，而所以三角形得面积为：当时，，不合题意，舍去.注：例3中不可能成立，也可从以及大边对大角看出.例4.判断满足条件的是否存在，并说明理由.解：假设满足条件的三角形存在，则由可知又因为，所以这是不可能的，因此不存咋这样的三角形.问题3：利用正弦定理和三角形内角和定理，解决三角形（1）两角和任意一边，求其它两边和一角；如；（2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角．如。一般地，已知两边和其中一边的对角解斜三角形，有两解或一解（见图示）．一解两解一解一解例5.根据下列条件，判断有没有解？若有解，判断解的个数．（1），，，求；（2），，，求；（3），，，求；（4），，，求；（5），，，求．解（1）∵，∴只能是锐角，因此仅有一解．（2）∵，∴只能是锐角，因此仅有一解．（3）由于为锐角，而，即，因此仅有一解．（4）由于为锐角，而，即，因此有两解，易解得．（5）由于为锐角，又，即，∴无解．【巩固练习】练习1：“已知△ABC中，a＝20，A＝30°，C＝45°，求B，b，c.解∵A＝30°，C＝45°，∴B＝180°－(A＋C)＝105°，由正弦定理b＝eq\f(asinB,sinA)＝eq\f(20sin105°,sin30°)＝40sin(45°＋60°)＝10(eq\r(6)＋eq\r(2))，c＝eq\f(asinC,sinA)＝eq\f(20sin45°,sin30°)＝20eq\r(2)，∴B＝105°，b＝10(eq\r(6)＋eq\r(2))，c＝20eq\r(2).【解题方法】当已知三角形的两角和一边时，解三角形的步骤如下：(1)利用三角形内角和定理求出第三个角；(2)利用正弦定理求出另外两边．练习2：在△ABC中，根据下列条件，解三角形．(1)A＝60°，c＝eq\r(2)，a＝eq\r(6)；(2)a＝eq\r(3)，b＝eq\r(2)，B＝45°.解(1)由正弦定理得eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，∴sinC＝eq\f(c·sinA,a)＝eq\f(\r(2)×\f(\r(3),2),\r(6))＝eq\f(1,2).又c＝eq\r(2)，a＝eq\r(6)，∵c<a，∴C<A，故在△ABC中，C＝30°，∴B＝180°－(A＋C)＝90°.由正弦定理得eq\f(b,sinB)＝eq\f(a,sinA)，∴b＝eq\f(a·sinB,sinA)＝eq\f(\r(6)×1,\f(\r(3),2))＝2eq\r(2).∴C＝30°，B＝90°，b＝2eq\r(2).(2)由正弦定理，得sinA＝eq\f(asinB,b)＝eq\f(\r(3)sin45°,\r(2))＝eq\f(\r(3),2).∵0°＜A＜180°，∴A＝60°或A＝120°.当A＝60°时，C＝75°，∴c＝eq\f(bsinC,sinB)＝eq\f(\r(2)sin75°,sin45°)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),2)；当A＝120°时，C＝15°，∴c＝eq\f(bsinC,sinB)＝eq\f(\r(2)sin15°,sin45°)＝eq\f(\r(6)－\r(2),2).∴A＝60°，C＝75°，c＝eq\f(\r(6)＋\r(2),2)或A＝120°，C＝15°，c＝eq\f(\r(6)－\r(2),2).[变式](1)改为“A＝30°，c＝eq\r(6)，a＝eq\r(2)”，结果又怎样？解由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，∴sinC＝eq\f(c·sinA,a)＝eq\f(\r(6)×\f(1,2),\r(2))＝eq\f(\r(3),2)，又c＝eq\r(6)，a＝eq\r(2)，∴c>a，∴C>A，又C为△ABC的内角，∴C＝60°或C＝120°.当C＝60°时，B＝180°－A－C＝90°，∴b＝eq\r(a2＋c2)＝2eq\r(2)；当C＝120°时，B＝180°－A－C＝30°，此时△ABC为等腰三角形，则b＝a＝eq\r(2).综上可知，C＝60°，B＝90°，b＝2eq\r(2)，或C＝120°，B＝30°，b＝eq\r(2).【解题方法】已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形时，可能出现一解、两解或无解的情况，应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况，作出正确取舍．练习3：在△ABC中，a＝eq\r(2)，b＝2，A＝30°，求B，C及c.解由eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)得，sinB＝eq\f(bsinA,a)＝eq\f(2sin30°,\r(2))＝eq\f(\r(2),2).∵a＜b，∴B＞A＝30°.∴B＝45°或B＝135°.当B＝45°时，C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋45°)＝105°，∵eq\f(c,sinC)＝eq\f(a,sinA)，∴c＝eq\f(asinC,sinA)＝eq\f(\r(2)sin105°,sin30°)＝eq\f(\r(2)×\f(\r(6)＋\r(2),4),\f(1,2))＝eq\r(3)＋1.当B＝135°时，C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋135°)＝15°，∴c＝eq\f(asinC,sinA)＝eq\f(\r(2)sin15°,sin30°)＝eq\f(\r(2)×\f(\r(6)－\r(2),4),\f(1,2))＝eq\r(3)－1.综上可知，B＝45°，C＝105°，c＝eq\r(3)＋1或B＝135°，C＝15°，c＝eq\r(3)－1.练习4：在△ABC中，已知A＝30°，a＝8，b＝8eq\r(3)，求△ABC的面积．解由eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得sinB＝eq\f(b,a)sinA，∴sinB＝eq\f(8\r(3),8)×sin30°＝eq\f(\r(3),2).又8eq\r(3)×sin30°＜8＜8eq\r(3)，即bsinA＜a＜b，∴三角形的解有两种情况．∵sinB＝eq\f(\r(3),2)，∴B＝60°或B＝120°，∴C＝90°或C＝30°.∴S△ABC＝eq\f(1,2)ab×sinC＝eq\f(1,2)×8×8eq\r(3)×sin90°＝32eq\r(3)，或S△ABC＝eq\f(1,2)×8×8eq\r(3)×sin30°＝16eq\r(3).∴△ABC的面积为32eq\r(3)或16eq\r(3).【解题方法】三角形的面积问题的处理思路1．若所给条件为边角关系，则运用正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)求出某两边及夹角，再利用三角形面积公式求解．2．若所求面积的图形为不规则图形，可通过做辅助线或其他途径构造三角形，转化为求三角形的面积．3．解决