名师教案 高中数学人教A版 选择性必修 第一册 抛物线及其标准方程

.3.1抛物线及其标准方程一、内容和内容解析1.内容抛物线的概念、标准方程及其简单应用.2.内容解析抛物线是平面内到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹.其中的定点、定直线（不经过定点）是确定抛物线的几何要素，这一概念反映了抛物线的几何特征.根据抛物线的概念，类比椭圆、双曲线标准方程的获得过程，通过建立适当的平面直角坐标系中，用坐标法推导抛物线的标准方程.由于焦点的位置不同，抛物线标准方程的形式也不同.此时，要根据抛物线的位置，充分运用坐标法，对方程的形式进行转化，获得焦点分别在轴负半轴、轴正半轴、轴负半轴上的抛物线的标准方程.通过抛物线的标准方程，结合抛物线的概念，可以研究抛物线的几何性质及其简单应用，特别是过焦点的直线的有关性质.上述过程体现了研究圆锥曲线的一般过程.本节内容包含的核心思想方法是坐标法，这在结合抛物线的几何特征，推导抛物线标准方程的过程中得到了充分展示.另外还有多种研究方法，例如，类比椭圆、双曲线的研究过程与方法；在观察图形特征的基础上，形成抛物线的概念；在坐标系中研究焦点位置不同的抛物线得到的标准方程不同，用到了分类讨论的思想；求解教科书中的两个例题时使用了待定系数法；对二次函数的图像为什么是抛物线的研究用到了划归与转化思想；等等.基于以上分析，确定本节课的教学重点：抛物线的概念和标准方程的建立.二、目标和目标解析1.目标（1）能从几何情境中认识抛物线的几何特征，给出抛物线的定义，发展直观想象素养.（2）能类比椭圆、双曲线的标准方程的建立过程，运用坐标法推导出抛物线的标准方程，并能用它解决简单的问题，进一步体会建立曲线的方程的方法，发展直观想象、数学运算素养.2.目标解析达成上述目标的标志是：（1）能通过绘制抛物线的过程，确定抛物线上的点满足的几何条件，明确抛物线的几何特征，形成抛物线的概念.（2）能认识建立抛物线标准方程的过程与建立椭圆、双曲线标准方程的过程是类似的.能通过建立适当的坐标系，根据抛物线上的点满足的几何条件列出抛物线上的点的坐标满足的方程，化简列出的方程，得到抛物线的标准方程；并能用它解决简单的问题，进一步认识获得曲线的方程的方法.三、教学问题诊断分析学生对抛物线的认知基础是对二次函数图像的直观感知，但是并不知道抛物线的几何特征.确定抛物线的几何要素是一个定点和一条定直线，这与确定椭圆与双曲线的几何要素不同.相比而言，椭圆与双曲线的几何特征在具体情境中较为明显，而抛物线的几何特征在具体情景在具体情境中较为隐蔽，学生不容易发现.本节课的教学难点是抛物线几何特征的发现.四、教学过程设计引导语：通过前面的学习可以发现，如果动点到定点的距离与到定直线（不过点）的距离之比为当时，点的轨迹为椭圆；当时，点的轨迹为双曲线.一个自然的问题是：当时，即动点到定点的距离与它到定直线的距离相等时，点的轨迹会是什么形状？下面我们就来研究这个问题.（一）抛物线概念的获得问题1：利用信息技术作图，是定点，是不经过点的定直线.是直线上任意一点，过点作线段的垂直平分线交于点拖动点点随之运动，你能发现点满足的几何条件吗？它的轨迹是什么形状？师生活动：教师拖动点展示点的运动过程，学生观察点的轨迹.从而得到抛物线的定义：我们把平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线.设计意图：通过对问题1的探究，引导学生利用已知条件和图形认识抛物线的几何特征，抽象得出抛物线的概念，发展学生的数学抽象核心素养.（二）建立抛物线的标准方程问题2：比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如何建立坐标系，可能使所求抛物线的方程形式简单？师生活动：教师讲解，根据抛物线的定义，与抛物线有关的重要几何元素有三个：抛物线、抛物线的焦点、抛物线的准线。所以我们可以考虑三种情况：第一种，以抛物线的焦点为原点建立坐标系，如下左图所示；第二种，以抛物线的准线为轴建立坐标系，如下中图所示；第三种，过抛物线的焦点向准线作垂线，以垂线与抛物线的交点为原点，以垂线为轴建立坐标系，如下右图所示。然后说明为了使抛物线的方程形式简单，选择第二种建立坐标系的方法，并推导此时抛物线的标准方程.学生观看并思考，也可以跟着一起推导.设计意图：通过问题2的思考，为学生展示抛物线标准方程的推导过程，提升学生的数学运算核心素养.问题3：在建立椭圆、双曲线的标准方程时，选择不同的坐标系我们得到了不同形式的标准方程.抛物线的标准方程有哪些不同的形式？在平面直角坐标系中，类比椭圆、双曲线，怎样求不同开口方向的抛物线的标准方程？师生活动：教师出示下表，并引导学生类比刚推导出的开口向右的抛物线的标准方程、焦点坐标和准线方程，填写开口向左、向上、向下的抛物线的标准方程、焦点坐标和准线方程，以及焦点到准线的距离.图形标准方程焦点坐标准线方程焦点到准线的距离设计意图：类比椭圆与双曲线不同形式的标准方程，结合开口向右的抛物线的标准方程，获得开口向左、向上和向下的抛物线的标准方程、焦点坐标和准线方程，以及焦点到准线的距离.问题4：你能说明二次函数的图像为什么是抛物线吗？指出它的焦点坐标、准线方程.师生活动：教师利用PPT将二次函数的解析式变形成抛物线的标准方程的形式，从而说明二次函数的图像是抛物线，并利用标准方程求出焦点坐标和准线方程.设计意图：利用高中所学的抛物线的标准方程说明初中所学的二次函数的图像的确是抛物线，严谨、科学，建立了初高中知识的联系.（三）抛物线及其标准方程的巩固与运用例1（教科书第132页例1）（1）已知抛物线的标准方程是求它的焦点坐标和准线方程；（2）已知抛物线的焦点是求它的标准方程．师生活动：教师展示解题过程，学生观看并思考．设计意图：通过本例题，向学生展示抛物线中最关键的三个要素：标准方程、焦点坐标和准线方程的求法。体会：由标准方程可以确定焦点坐标和准线方程；反之，由焦点坐标或准线方程也可以确定抛物线的标准方程.练习1根据下列条件写出抛物线的标准方程：（1）焦点是 （2）准线方程是 （3）焦点到准线的距离是师生活动：教师展示解题过程，学生观看并思考．设计意图：通过练习，巩固学生对抛物线的标准方程的求解能力.练习2求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：（1） （2） （3） （4）师生活动：教师展示解题过程，学生观看并思考．设计意图：通过练习，巩固学生对抛物线的焦点坐标和准线方程的求解能力.例2（教科书第133页练习3）（1）抛物线上一点与焦点间的距离是则点到准线的距离是，点的横坐标是．（2）抛物线上与焦点的距离等于9的点的坐标是．师生活动：教师展示解题过程，学生观看并思考．设计意图：利用抛物线的定义，得到在抛物线上的点到焦点、准线的距离或点的坐标的求法.从而得到求的公式.练习3（1）抛物线上与焦点的距离等于6的点的坐标是．（2）抛物线上一点与焦点的距离求点的坐标.师生活动：教师展示解题过程，学生观看并思考．设计意图：强化学生对利用抛物线定义求抛物线上点的坐标的掌握程度.例3（教科书第132页例2）一种卫星接收天线如图所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线.在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，如图（1）.已知接收天线的口径（直径）为4.8m，深度为1m.试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和交点坐标.师生活动：教师带领学生阅读题目，然后建立如图（2）所示的坐标系，用待定系数法求解.设计意图：让学生运用抛物线及其标准方程解决实际问题，经历将实际问题转化为数学问题，解决数学问题，进而解决实际问题的过程.（四）归纳总结、布置作业教师引导学生回顾本节知识：抛物线的定义：我们把平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线.四种形式的抛物线的标准方程、交点坐标和准线方程.对于具体问题，我们学会了如何求抛物线的标准方程、交点坐标或准线方程.设计意图：对本节课进行小结，复习提升．布置作业：教科书第138