名师教案 人教B版高中数学必修第四册11.4.2 平面与平面垂直

11.4.2平面与平面垂直(1)本节《普通高中课程标准数学教科书-必修四（人教B版）第十一章《11.4.2平面与平面垂直(1)》，本节课要学的内容为二面角的定义及算法、平面与平面垂直的定义及判定方法。引导学生从生活中的实例出发，通过观察、分析归纳、推理论证等过程。获得线面角的概念及直线与垂直的性质，并能简单应用。从而发展学生的直观想象、逻辑推理、数学建模的核心素养。课程目标学科素养A.了解二面角、面面垂直的定义．B.掌握面面垂直的判定定理．C.灵活运用线面、面面垂直的判定定理解决空间中的位置关系问题．1.数学抽象：二面角的定义2.逻辑推理：平面与平面垂直的判定定理3.直观想象：二面角4.数学建模：常见的平面与平面垂直的证明方法5.数学运算：二面角的算法1.教学重点：了解二面角、面面垂直的定义，掌握面面垂直的判定定理．2.教学难点：灵活运用线面、面面垂直的判定定理解决空间中的位置关系问题．多媒体教学过程教学设计意图核心素养目标一、情境与问题1.二面角如图所示，笔记本电脑在打开的过程中，会给人以面面“夹角”变大的感觉，你认为应该怎样刻画面面“夹角”呢？二面角概念平面内的一条直线把平面分成两部分，其中的每一部分通称为半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.图示平面角定义在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线构成的角称为二面角的平面角图示符号OAα，OBβ，α∩β＝l，O∈l，OA⊥l，OB⊥l⇒∠AOB是二面角的平面角范围[0，π]规定二面角的大小用它的平面角的大小来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角记法棱为l，面分别为α，β的二面角记为α­l­β.如图所示，也可在α，β内(棱以外的半平面部分)分别取点P，Q，将这个二面角记作二面角P­l­Q.1.判断正误.(1)两个相交平面组成的图形叫做二面角.()(2)异面直线a,b分别和一个二面角的两个半平面垂直,则a,b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补.()(3)二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个半平面内作射线所成角的最小角.()(4)二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系.()答案:(1)×(2)√(3)×(4)√例1.如图所示，在正方体中，求二面角的大小。解：连接和，由已知有面所以因此即为二面角的平面角由于是等腰直角三角形，因此，所以二面角的大小为.1．求二面角大小的步骤简称为“一作二证三求”．2．作二面角的平面角的方法方法一：(定义法)在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图所示，∠AOB为二面角α­a­β的平面角．方法二：(垂线法)过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，连接该点与垂足，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角．如图所示，∠ACB为二面角α­m­β的平面角．跟踪训练1．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，求二面角B­A1C1­B[解]取A1C1的中点O，连接B1O，BO由题意知B1O⊥A1C1，又BA1＝BC1，O为A1C所以BO⊥A1C所以∠BOB1即是二面角B­A1C1­B1因为BB1⊥平面A1B1C1D1，OB1平面A1B1C1D1所以BB1⊥OB1.设正方体的棱长为a，则OB1＝eq\f(\r(2),2)a，在Rt△BB1O中，tan∠BOB1＝eq\f(BB1,OB1)＝eq\f(a,\f(\r(2),2)a)＝eq\r(2).所以二面角B­A1C1­B1的正切值为eq\r(2).2.平面与平面垂直1．定义：一般地，如果两个平面α与β所成角的大小为90°，则称这两个平面互相垂直，记作α⊥β.2．画法面面垂直的判定定理(1)文字叙述：如果一个平面经过另外一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直．(2)图形表示：(3)符号表示：如果l⊂α，l⊥β，则α⊥β.(4)作用：证明平面与平面垂直.证明：当时，与一定相交，如图所示，设过O在平面内作与垂直的直线，则有，从而可知与所成角的大小为,因此注：由面面垂直的判定定理，容易证明直棱柱的每个侧面都与底面互相垂直，理由是直棱柱的侧棱垂直于底面。1．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有____个．答案：1个或无数个设平面外一点为A，平面内一点为B，过点A作平面α的垂线l，若点B恰为垂足，则所有过AB的平面均与α垂直，此时有无数个平面与α垂直；若点B不是垂足，则l与点B确定唯一平面β满足α⊥β.2．在三棱锥P－ABC中，已知PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，如图，则在三棱锥P－ABC的四个面中，互相垂直的面有________对．答案：3平面PAB⊥平面PAC，平面PAB⊥平面PBC，平面PAC⊥平面PBC．例2.如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D为BC的中点，点E在AC上，且DE⊥A1E.(1)求证：平面A1AD⊥平面BCC1B1；(2)求证：平面A1DE⊥平面ACC1A1.证明(1)∵ABC－A1B1C1为正三棱柱，∴BB1⊥平面ABC，又AD⊂平面ABC，∴AD⊥BB1，又D为BC的中点，∴AD⊥BC，又BC∩BB1＝B，BC，BB1⊂平面BCC1B1.∴AD⊥平面BCC1B1.又AD⊂平面ADA1，∴平面A1AD⊥平面BCC1B1.(2)∵ABC－A1B1C1为正三棱柱，∴AA1⊥平面ABC，又DE⊂平面ABC，∴AA1⊥DE，∵DE⊥A1E，又A1E∩AA1＝A1，∴DE⊥平面ACC1A1，又DE⊂平面A1DE，∴平面A1DE⊥平面ACC1A1.证明面面垂直的两个方法及实质(1)定义法：证明二面角的平面角为直角．步骤：①找出两个相交平面的平面角；②证明这个平面角是直角；③根据定义，说明这两个平面互相垂直．(2)判定定理法：证明一个平面经过另一个平面的垂线，一般是在现有的直线中找平面的垂线，若这样的直线在现有的图形中不存在，则可通过作辅助线来解决．实质：证明面面垂直，实质上是转化为线面垂直来证明，进而转化为线线垂直，其中体现了化归与转化的数学思想．跟踪训练1.如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1求证：(1)直线DE∥平面A1C1(2)平面B1DE⊥平面A1C[证明](1)因为D，E分别是AB，BC的中点，所以DE∥AC，又AC∥A1C1，所以DE∥A1C1，又因为A1C1面A1C1F，且DE平面A1C1F，所以DE∥(2)因为ABC­A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥平面A1B1C1，所以AA1⊥A1C1.又因为A1C1⊥A1B1，且AA1∩A1B1＝A1，AA1，A1B1平面AA1B1B，所以A1C1⊥平面AA1B1B，所以A1C1⊥B1D，又A1F⊥B1D，A1F∩A1C1＝A1，所以B1D⊥平面A1C1F，又因为B1D平面B1DE，所以平面由生活实例出发，让学生经历直观想象，分析概括，获得二面角的概念。发展学生数学抽象、直观想象和逻辑推理的核心素养。通过定理思辨，提升学生对二面角定义的准确理解和应用能力，发展学生数学抽象、逻辑推理的核心素养。通过典例分析，提高学生对面面垂直证明的应用能力，提升推理论证能力，提高学生的数学抽象、数学建模及逻辑推理的核心素养。三、达标检测1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果两个平面互相垂直，那么一个平面内的一条直线不一定垂直于另一个平面．()(2)如果两个平面互相垂直，那么分别在两个平面内的两条直线分别垂直．()[解析](1)正确．(2)错误．可能平行，也可能相交或异面．[答案](1)√(2)×2.四边形ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD,且PA=AB.求：(1)二面角A-PD-C的平面角的度数;(2)二面角B-PA-D的平面角的度数;(3)二面角B-PA-C的平面角的度数;(4)二面角B-PC-D的平面角的度数.解:(1)因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥CD.因为四边形ABCD为正方形,所以CD⊥AD.又PA∩AD=A,所以CD⊥平面PAD.又CD⊂平面PCD,所以平面PAD⊥平面PCD.所以二面角A-PD-C的平面角的度数为90°.(2)因为PA⊥平面ABCD,所以AB⊥PA,AD⊥PA.所以∠BAD为二面角B-PA-D的平面角.又由题意知∠BAD=90°,所以二面角B-PA-D的平面角的度数为90°.(3)因为PA⊥平面ABCD,所以AB⊥PA,AC⊥PA.所以∠BAC为二面角B-PA-C的平面角.又四边形ABCD为正方形,所以∠BAC=45°.所以二面角B-PA-C的平面角的度数为45°.(4)作BE⊥PC于点E,连接DE,BD,且BD与AC交于点O,连接EO,如图.由题意知△PBC≌△PDC,则∠BPE=∠DPE,从而△PBE≌△PDE.所以∠DEP=∠BEP=90°,且BE=DE.所以∠BED为二面角B-PC-D的平面角.又PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BC.又AB⊥BC,PA∩AB=A,所以BC⊥平面PAB.所以BC⊥PB.设AB=a,则PA=AB=BC=a,所以PB=2a,PC=3a,所以BE=PB·BCPC=所以sin∠BEO=BOBE所以∠BEO=60°.所以∠BED=120°.所以二面角B-PC-D的平面角的度数为120°.3.如图所示，三棱锥P­ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△PAC是直角三角形，∠PAC＝90°，平面PAC⊥平面ABC.求证：平面PAB⊥平面PBC.[证明]因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，PA⊥AC，所以PA⊥平面ABC.又BC平面ABC，所以PA⊥BC.又因为AB⊥BC，AB∩PA＝A，AB平面PAB，PA平面PAB，所以BC⊥平面PAB.又BC平面PBC，所以平面PAB⊥平面PBC通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学直观、逻辑推理、数学建模的核心素养。四、小结1．求二面角的大小的关键是作出二面角的平面角，这就需要紧扣它的三个条件，即这个角的顶点是否在棱上；角的两边是否分别在两个平面内；这两边是否都与棱垂直．在具体作图时，还要注意掌握一些作二面角的平面角的方法技巧，如：线面的垂直、图形的对称性、与棱垂直的面等．2．面面垂直的判定方法