名师教案 高中数学人教B版 必修 第二册 事件之间的关系与运算

5.3.2事件之间的关系与运算本节课是概率部分的第2节课，是5.3.1样本空间与事件的后续部分。本节课提出了随机事件的关系，随机事件的运算，互斥事件、对立事件等内容。学生将通过新旧知识的对比学习来进行自主学习，同时通过共同探讨来理解和掌握新知识的实际含义。本节课属于概率论的基础课，对后续课程的影响较大。本节课的内容，学生在高中时已经学习过，教学时将在学生已经掌握的概率知识的基础上展开教学。尽管如此，概率的抽象性是不言而喻，教学时将大量采用“韦恩图”帮助学生理解随机事件的相互关系。同时，应注意强调区分随机事件的关系，运算与集合的关系，运算的区别和关联.考点教学目标核心素养事件的关系与运算理解事件之间的关系与运算，并能进行事件的混合运算数学抽象，数学运算互斥事件、对立事件理解互斥、对立事件的概念，并会区别二者，会用加法公式求事件的概率数学抽象，数学运算【教学重点】事件之间的关系与运算、事件的混合运算、互斥、对立事件、概率的加法公式【教学难点】互斥、对立事件的区别、概率加法公式的应用引入：前面我们在事件和集合之间建立了对应关系，从而可用集合的一些术语，符号去描述事件之间的关系与运算.问题1：事件的包含与相等知识点1：一般地，如果事件A发生时，事件B一定发生，则称“A包含于B”（或“B包含A”），记作（或），这一关系可用下图表示.注：（1）也可用充分必要条件表示为：A发生是B发生的充分条件，B发生时A发生的必要条件.（2）如果，根据定义可知，事件A发生的可能性不比事件B发生的可能性大，直观上我们可以得到知识点2：如果事件A发生时，事件B一定发生；而且事件B发生时，事件A也一定发生，则称“A与B相等”，记作注：（1）不难看出：且，也可以用充分必要条件的语言表述为：A发生是B发生的充分必要条件（2）当时，有问题2.事件的和（并）知识点3：给定事件A，B，由所有A中的样本点与B中的样本点组成的事件称为A与B的和（或并），记作（或）事件A与B的和可以用如图所示的阴影部分表示.注：（1）当事件发生时，当且仅当事件A与事件B至少有一个发生（2）由于且，因此且直观上可知，问题3.事件的积（交）知识点4：给定事件，由A与B中的公共样本点组成的事件称为A与B的积（或交），记作（或）事件A与B的积可以用如图所示的阴影部分表示.注：（1）按照定义可知，事件发生，当且仅当事件A与事件B都发生；（2）由于且，因此且定义表示法图示包含关系一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B__一定发生______，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)______(或_______)事件的和给定事件A，B，由所有A中的样本点与B中的样本点___组成的事件_________称为A与B的和(或并)______(或________)事件的积给定事件A，B，由A与B中的__公共______样本点组成的事件称为A与B的积(或交)______(或_______)【练习】抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则A.A⊆BB.A＝BC.A＋B表示向上的点数是1或2或3D.AB表示向上的点数是1或2或3解析设A＝{1，2}，B＝{2，3}，A∩B＝{1}，A∪B＝{1，2，3}，∴A＋B表示向上的点数为1或2或3.答案C问题4.事件的互斥与对立知识点5：给定事件A，B，若事件A与B不能同时发生，则称A与B互斥，记作（或）这一关系可用下图表示.注：（1）任何两个基本事件都是互斥的，与任意事件互斥；（2）当A与B互斥，即，有这称为互斥事件的概率加法公式.（3）一般地，如果是两两互斥事件，则知识点6：给定样本空间与事件A，则由与所有不属于A的样本点组成是事件称为A的对立事件，记作，用集合的观点看，是A在中的补集，如图所示。如果，则称A与B相互对立.注：（1）事件A与中，有一个发生，而且只有一个发生，注意到必然事件的概率为1，因此（2）如果A与B相互对立，则A与B互斥，但反之不成立，即“A与B相互对立”是“A与B互斥”的充分不必要条件.定义图形表示符号表示互斥事件给定事件A，B，若事件A与B__不能同时_____发生，则称A与B互斥A∩B＝__对立事件给定样本空间Ω与事件A，则由Ω中_所有不属于A__________的样本点组成的事件称为A的对立事件，记作___A∩B＝___且A∪B＝_【练习1】1.给出事件A与B的关系示意图，如图所示，则A.A⊆B B.A⊇BC.A与B互斥 D.A与B互为对立事件答案：C【练习2】从1，2，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个数都是奇数；③至少有一个奇数和两个数都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数.在上述各对事件中，是对立事件的是A.①B.②④ C.③ D.①③解析从1，2，…，9中任取两数，包括一奇一偶、两奇、两偶，共三种互斥事件，所以只有③中的两个事件才是对立事件.答案C【练习3】一商店有奖促销活动中有一等奖与二等奖两个奖项，其中中一等奖的概率为0.1，中二等奖的概率是0.25，则不中奖的概率是________.解析中奖的概率为0.1＋0.25＝0.35，中奖与不中奖为对立事件，所以不中奖的概率为1－0.35＝0.65.答案0.65问题5.事件的混合运算前面我们给出了事件的三种运算：求两个事件的和，求两个事件的积，求一个事件的对立事件。因为事件运算的结果仍是事件，因此可以进行事件的混合运算。例如，这表示与的和，实际意义是：A发生且B不发生，或者A不发生且B发生，换句话说就是A与B中恰有一个发生.同数的加、减、乘、除一样，事件的混合运算也有优先级，我们规定：求积运算的优先级高于求和运算，因此可简写为：.例1.设A，B为两个事件，试用A，B表示下列各事件：（1）A，B两个事件中至少有一个发生；（2）A事件发生且B事件不发生；（3）A,B两个事件都不发生解：（1）按照定义有（2）因为B不发生可以表示为，因此可以写成（3）按照定义有【变式练习】在试验“连续抛掷一枚均匀的色子2次，观察每次出现的点数”中，事件A表示随机事件“第一次掷出1点”；事件Aj表示随机事件“第一次掷出1点，第二次掷出j点”；事件B表示随机事件“2次掷出的点数之和为6”；事件C表示随机事件“第二次掷出的点数比第一次的大3”.(1)试用样本点表示事件A∩B与A∪B；(2)试判断事件A与B，A与C，B与C是否为互斥事件；(3)试用事件Aj表示随机事件A.解：依照题意可知样本空间为：(1)因为事件A表示随机事件“第一次掷出1点”，所以A＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)}.因为事件B表示随机事件“2次掷出的点数之和为6”，所以B＝{(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)}.所以A∩B＝{(1，5)}，A∪B＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)}.(2)因为事件C表示随机事件“第二次掷出的点数比第一次的大3”，所以C＝{(1，4)，(2，5)，(3，6)}.因为A∩B＝{(1，5)}≠∅，A∩C＝{(1，4)}≠∅，B∩C＝∅，所以事件A与事件B，事件A与事件C不是互斥事件，事件B与事件C是互斥事件.(3)因为事件Aj表示随机事件“第一次掷出1点，第二次掷出j点”，所以A1＝{(1，1)}，A2＝{(1，2)}，A3＝{(1，3)}，A4＝{(1，4)}，A5＝{(1，5)}，A6＝{(1，6)}，所以A＝A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6.【解题方法】事件间运算方法(1)利用事件间运算的定义.列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算.(2)利用Venn图.借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算.2.盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有一个红球，两个白球}，事件B＝{3个球中两个红球，一个白球}，事件C＝{3个球中至少有一个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}.(1)事件D与A，B是什么样的运算关系；(2)事件C与A的交事件是什么事件.解析(1)对于事件D，可能的结果为1个红球2个白球，或2个红球1个白球，故D＝A∪B.(2)对于事件C，可能的结果为1个红球2个白球，2个红球1个白球，或3个红球，故C∩A＝A.例2.已知数学考试中，李明成绩高于90分的概率为0.3，不低于60分且不高于90分的概率为0.5，求：（1）李明成绩不低于60分的概率；（2）李明成绩低于60分的概率。解：记事件A：李明成绩高于90分，B：李明成绩不低于60分且不高于90分，则不难看出A与B互斥，且：（1）因为“李明成绩不低于60分”可表示为，由A与B互斥可知（2）因为“李明成绩低于60分”可表示为，因此【变式练习】某医院要派医生下乡义诊，派出医生的人数及其概率如下表所示：人数01234大于或等于5概率0.10.160.30.20.20.04(1)求派出医生至多2人的概率；(2)求派出医生至少2人的概率.解：设“不派出医生”为事件A，“派出1名医生”为事件B，“派出2名医生”为事件C，“派出3名医生”为事件D，“派出4名医生”为事件E，“派出5名及5名以上医生”为事件F，事件A，B，C，D，E，F彼此互斥，且P(A)＝0.1，P(B)＝0.16，P(C)＝0.3，P(D)＝0.2，P(E)＝0.2，P(F)＝0.04.(1)“派出医生至多2人”的概率为P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)解法一“派出医生至少2人”的概率为P(C∪D∪E∪F)＝P(C)＋P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.2＋0.2＋0.04＝0.74.解法二“派出医生至少2人”的概率为1－P(A∪B)＝1－0.1－0.16＝0.74.【解题方法】求复杂事件的概率的两种方法(1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件.一般情况下，当一个事件包含多个基本事件时，要用到概率加法公式的推广，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An).(2)将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，若需要分类太多，而其对立事件的分类较少，则可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”.探索与探究：任意给定两个事件A，B，考虑之间的等量关系，得出一般的关系式.由韦恩图可得：小结：1.事件的混合运算同数的