(新课标)高考物理一轮总复习第九章第三讲带电粒子在匀强磁场中运动临界极值多解问题教案

第三讲带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值多解问题热门一带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值问题(师生共研)1．剖析方法数学方法和物理方法的联合：如利用“矢量图”“界限条件”等求临界值，利用“三角函数”“不等式的性质”“二次方程的鉴别式”等求极值．一个“解题流程”，打破临界问题从重点词找打破口：很多临界问题，题干中常用“恰巧”“最大”“起码”“不相撞”“不离开”等词语对临界状态给予表示，审题时，必定要抓住这些特定的词语发掘其隐藏的规律，找出临界条件．2．四个结论恰巧穿出磁场界限的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与界限相切．当速率v一准时，弧长越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长．当速率v变化时，圆心角大的，运动时间长，解题时一般要依据受力状况和运动状况画出运动轨迹的草图，找出圆心，依据几何关系求出半径及圆心角等．在圆形匀强磁场中，当运动轨迹圆半径大于地区圆半径时，则入射点和出射点为磁场直径的两个端点时，轨迹对应的偏转角最大(所有的弦长中直径最长)．[典例1]如下图，界限OA与OC之间散布有垂直纸面向里的匀强磁场，界限OA上有一粒子源S.某一时刻，从S平行于纸面向各个方向发射出大批带正电的同种粒子(不计粒子的重力及粒子间的互相作用)，所有粒子的初速度大小同样，经过一段时间有大批粒子从界限OC射出磁场．已知∠＝60°，从界限OC射出的粒子在磁场中运动的最短时间等于TT(AOC6为粒子在磁场中运动的周期)，则从界限OC射出的粒子在磁场中运动的最长时间为()TTA.3B．2C.2TD．5T36分析：由左手定章可知，粒子在磁场中做逆时针方向的圆周运动，因为粒子速度大小都同样，故轨迹弧长越小，粒子在磁场中运动时间就越短；而弧长越小，所对弦长也越短，因此从S点作OC的垂线SD，则SD为最短弦，可知粒子从D点射出时运转时间最短，如下图．根T据最短时间为6，可知△O′SD为等边三角形，粒子圆周运动半径R＝SD，过S点作OA垂线交于E点，由几何关系可知＝2，为圆弧轨迹的直径，因此从E点射出，对应弦OCSESDSE最长，运转时间最长，且Tt＝，故B正确．2答案：B[互动研究]q在[典例1]中，若粒子的比荷为，OS＝L，粒子的速率为v，试剖析没有粒子从界限OC射出m磁场的磁感觉强度B应知足的条件．分析：粒子恰巧不从界限射出的最大直径为S到的垂线，由几何关系得max＝1sinOCOCSDR2L32mv4360°＝L，由qvB＝得Bmin＝OC射出磁场的磁感觉强R＝3qL，故没有粒子从界限4qRmax3mv度B应知足的条件为B≥3qL.43mv答案：B≥1－1.[临界问题

]

(2016·全国卷Ⅲ

)平面

OM和平面

ON之间的夹角为

30°，其横截面

(纸面)如下图，平面

OM上方存在匀强磁场，磁感觉强度大小为

B，方向垂直于纸面向外．一带电粒子的质量为

m，电荷量为

q(q>0)．粒子沿纸面以大小为

v的速度从

OM的某点向左上方射入磁场，速度与

OM成

30°角．已知该粒子在磁场中的运动轨迹与

ON只有一个交点，并从

OM上另一点射出磁场．不计重力．粒子走开磁场的出射点到两平面交线

O的距离为(

)mv3mvA.2qBB．qB2mv4C.qBD．qB分析：依据题意画出带电粒子的运动轨迹，粒子在磁场中的运动轨迹与ON只有一个交点，故轨迹与ON相切，粒子出磁场的地点与切点的连线是粒子做圆周运动的直径，大小为2mvqB，2mvqB4mv依据几何知识可知，粒子走开磁场的出射点到两平面交线O的距离为d＝sin30°＝qB，D正确．答案：D1－2.[极值问题]如下图，△ABC为与匀强磁场垂直的边长为a的等边三角形，比荷为e从A点沿AB边入射，欲使电子经过BC边，磁感觉强度B的取值为( )的电子以速度v0m2020A．B>aeB．B<ae3mv3mvC．B>0D．B<0aeaea分析：由题意，如下图，电子正好经过C点，此时圆周运动的半径＝2＝a，要Rcos30°3想电子从BC边经过，电子做圆周运动的半径要大于a，由带电粒子在磁场中运动的公式r3＝mv有a<mv，即<3mv，选D.0B0qB3eBae答案：D热门二带电粒子在磁场中运动的多解问题(师生共研)带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，因为多种要素的影响，使问题形成多解．多解形成原由一般包括4个方面：1．带电粒子电性不确立形成多解受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电荷，也可能带负电荷，在同样的初速度的条件下，正、负粒子在磁场中运动轨迹不一样，致使形成多解．[典例2]如下图，宽度为d的有界匀强磁场，磁感觉强度为B，MM′和NN′是它的两条界限．现有质量为m，电荷量为q的带电粒子(不计重力)沿图示方向垂直磁场射入．要使粒子不可以从界限′射出，则粒子入射速率v的最大值可能是多少．NN分析：题目中只给出粒子“电荷量为q”，未说明是带哪一种电荷．若q为正电荷，轨迹是如1图所示的上方与NN′相切的4圆弧，mv轨道半径：R＝BqR又d＝R－2Bqd解得v＝(2＋2)m.若q为负电荷，轨迹如下图的下方与NN′相切的3圆弧，则有：R′＝mv′4BqR′，d＝R′＋2Bqd解得v′＝(2－2)m.BqdBqd答案：(2＋2)m(q为正电荷)或(2－2)m(q为负电荷)2．磁场方向不确立形成多解有些题目只告诉了磁感觉强度的大小，而未详细指出磁感觉强度方向，此时一定要考虑磁感应强度方向不确立而形成的多解．[典例3](多项选择)一质量为m，电荷量为q的负电荷在磁感觉强度为B的匀强磁场中绕固定的正电荷沿固定的圆滑轨道做匀速圆周运动，若磁场方向垂直于它的运动平面，且作用在负电荷的电场力恰巧是磁场力的三倍，不计粒子的重力，则负电荷做圆周运动的角速度可能是( )4qB3A.mB．m2qBqBC.mD．m分析：依题中条件“磁场方向垂直于它的运动平面”，磁场方向有两种可能，且这两种可能方向相反．在方向相反的两个匀强磁场中，由左手定章可知负电荷所受的洛伦兹力的方向也是相反的．当负电荷所受的洛伦兹力与电场力方向同样时，依据牛顿第二定律可知4Bqv＝v24BqR4mR，得v＝m，此种状况下，负电荷运动的角速度为ω＝R＝m；当负电荷所受的洛伦兹力与电场力方向相反时，有2＝v2＝2BqR，m，此种状况下，负电荷运动的角速度为BqvmRvω＝v＝2Bq，应选AC.Rm答案：AC3．带电粒子速度不确立形成多解有些题目只告诉了带电粒子的电性，但未详细指出速度的大小或方向，此时一定要考虑因为速度的不确立而形成的多解．[典例4](多项选择)如下图，双方向相反、磁感觉强度大小均为B的匀强磁场被边长为L的等边三角形理想分开，三角形内磁场垂直纸面向里，三角形极点A处有一质子源，能沿ABC∠BAC的角均分线发射速度不一样的质子(质子重力不计)，所有质子均能经过C点，质子比荷q＝k，则质子的速度可能为( )mA．2BkLBkLB．23BkLBkLC.D．28分析：因质子带正电，且经过C点，其可能的轨迹如下图，所有圆弧所对圆心角均为60°，Lv2Bqr因此质子运转半径r＝n(n＝1,2,3)，由洛伦兹力供给向心力得Bqv＝mr，即v＝m＝LBk·n(n＝1,2,3)，B、D正确．答案：BD4．带电粒子运动的来去性形成多解空间中部分是电场，部分是磁场，带电粒子在空间运动时，运动常常拥有来去性，因此形成多解．[典例5]某装置用磁场控制带电粒子的运动，工作原理如下图．装置的长为L，上下两个同样的矩形地区内存在匀强磁场，磁感觉强度大小均为B、方向与纸面垂直且相反，两磁场的间距为d.装置右端有一采集板，M、N、P为板上的三点，M位于轴线OO′上，N、P分别位于下方磁场的上、下界限上．在纸面内，质量为

m、电荷量为－

q的粒子以某一速度从装置左端的中点射入，

方向与轴线成

30°角，经过上方的磁场地区一次，

恰巧抵达

P点．改变粒子入射速度的大小，能够控制粒子抵达采集板上的地点．不计粒子的重力．求磁场地区的宽度h；(2)欲使粒子抵达采集板的地点从P点移到N点，求粒子入射速度的最小变化量v；欲使粒子抵达M点，求粒子入射速度大小的可能值．分析：(1)设粒子在磁场中的轨道半径为r，画出带电粒子的运动轨迹如下图．由几何关系得

L＝3rsin30

°＋

3dcos30°①且磁场地区的宽度

h＝r(1－cos30°)②联立①②解得

2h＝(3L－

3d)(1

－

3)．③2(2)设改变入射速度后粒子在磁场中的轨道半径为r′，则有v2v′2qvB＝mr及qv′B＝mr′④又由几何关系得3sin30°＝4r′sin30°⑤rqBL3联立④⑤解得v＝v－v′＝m(6－4d)设粒子经过上方磁场n次，则由几何关系得L＝(2n＋2)rnsin30°＋(2n＋2)dcos30°2vn又有qvnB＝m，rn解得vqBL33Ln取整数)．＝(－)(1≤＜－1，nmn＋13d23qBL3答案：(1)(3L－3d)(1－2)(2)m(6－4d)qBL3L(3)(＋1－3d)(1≤n＜3d－1，n取整数)mn[反省总结]巧解带电粒子在磁场中运动的多解问题1．剖析题目特色，确立题目多解的形成原由．2．作出粒子的运动轨迹表示图(全面考虑多种可能性)．3．若为周期性重复的多解问题，找寻通项式，假如出现几种解的可能性，注意每种解出现的条件．1．(多项选择)如下图，在半径为R的圆形地区内(圆心为O)有匀强磁场，磁感觉强度为B，方向垂直于圆平面(未画出)．一群拥有同样比荷的负离子以同样的速率由P点在纸平面内向不同方向射入磁场中，发生偏转后又飞出磁场，若离子在磁场中运动的轨道半径大于R，则下列说法中正确的选项是(不计离子的重力)(AD)A．从Q点飞出的离子在磁场中运动的时间最长B．沿PQ方向射入的离子飞出时偏转角最大C．所有离子飞出磁场时的动能必定相等D．在磁场中运动时间最长的离子不行能经过圆心O点2．如下图，竖直线MN∥PQ，MN与PQ间距离为a，此间存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感觉强度为

B，O是

MN上一点，O处有一粒子源，

某时刻放出大批速率均为

v(方向均垂直磁场方向

)、比荷必定的带负电粒子

(粒子重力及粒子间的互相作使劲不计

)，已知沿图中与MN成θ＝60°角射出的粒子恰巧垂直

PQ射出磁场，则粒子在磁场中运动的最长时间为

(C)πa23πaA.3B．3vv4πa2πaC.3vD．v3．(多项选择)如下图，垂直纸面向里的匀强磁场以MN为界限，左边磁感觉强度为B，右边磁1感觉强度为B2，B1＝2B2＝2T，比荷为2×106C/kg的带正电粒子从O点以v0＝4×104m/s的速度垂直于进入右边的磁场地区，不计粒子的重力，则粒子经过距离点4cm的磁场MNO界限上的P点所需的时间为(AC)A.π×10－6sB．π×10－6s23π－6－6C.2×10sD．2π×10s4.如下图，在真空中坐标xOy平面的x＞0地区内，有磁感觉强度B＝1.0×10－2T的匀强磁场，方向与xOy平面垂直，在x轴上的P(10,0)点，有一放射源，在xOy平面内向各个方向发射速率v＝104m/s的带正电的粒子，粒子的质量为＝1.6×10－25kg，电荷量为qm＝1.6×10－18y轴上的范围．(不计粒子的重力)C，求带电粒子能打到分析：带电粒子在磁场中运动时由牛顿第二定律得v2mvqvB＝mR解得R＝qB＝0.1m＝10cm如下图，当带电粒子打到y轴上方向的A点与P连线正好为其圆轨迹的直径时，A点即为粒子能打到y轴上方的最高点．因OP＝10cm，AP＝2R＝20cm2则OA＝AP－OP＝103cm当带电粒子的圆轨迹正好与y轴下方相切于B点时，若圆心再向左偏，则粒子就会从纵轴离开磁场，因此B点即为粒子能打到y轴下方的最低点，易得OB＝R＝10cm，综上所述，带电粒子能打到y轴上的范围为－10～103cm.答案：－10～103cm[A组·基础题]1．如下图，长方形abcd长ad＝0.6m，宽ab＝0.3m，O、e分别是ad、bc的中点，以ad为直径的半圆内有垂直纸面向里的匀强磁场(界限上无磁场)，磁感觉强度B＝0.25T．一群不计重力、质量＝3×10－7kg、电荷量＝＋2×10－3C的带电粒子以速度v＝5×102m/smq沿垂直ad方向且垂直于磁场射入磁场地区，则(D)A．从

Od边射入的粒子，出射点所有散布在

Oa边B．从

aO边射入的粒子，出射点所有散布在

ab边C．从

Od边射入的粒子，出射点散布在

Oa边和

ab边D．从

aO边射入的粒子，出射点散布在

ab边和

bc边2．如下图，在

x轴上方存在垂直于纸面向里的匀强磁场，

磁感觉强度为

B.在

xOy平面内，从原点

O处沿与

x

轴正方向成

θ角(0

＜θ＜π)以速率

v

发射一个带正电的粒子

(重力不计)．则以下说法正确的选项是

(A)A．若v必定，θ越大，则粒子在磁场中运动的时间越短B．若v必定，θ越大，则粒子走开磁场的地点距O点越远C．若θ必定，v越大，则粒子在磁场中运动的角速度越大D．若θ必定，v越大，则粒子在磁场中运动的时间越短3．(多项选择)如下图，直线MN与水平方向成60°角，MN的右上方存在垂直纸面向外的匀强磁场，左下方存在垂直纸面向里的匀强磁场，两磁场的磁感觉强度大小均为B.一粒子源位于上的a点，能水平向右发射不一样速率、质量为(重力不计)、电荷量为(q＞0)的同种MNmq粒子，所有粒子均能经过MN上的b点，已知ab＝L，则粒子的速度可能是(AB)A.3qBLB．3qBL6m3m3qBL3C.D．qBL2mm4．如下图，在平面直角坐标系xOy的第四象限有垂直纸面向里的匀强磁场，一质量为m＝5.0×10－8kg、电量为q＝1.0×10－6C的带电粒子．从静止开始经U0＝10V的电压加快后，从P点沿图示方向进入磁场，已知＝30cm，(粒子重力不计，sin37°＝0.6，cos37°OP0.8)，求：带电粒子抵达P点时速度v的大小；若磁感觉强度B＝2.0T，粒子从x轴上的Q点走开磁场，求OQ的距离；若粒子不可以进入x轴上方，求磁感觉强度B′知足的条件．分析：(1)对带电粒子的加快过程，由动能定理12qU＝2mv代入数据得：v＝20m/s.带电粒子仅在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，有：2mvmvqvB＝R得R＝qB代入数据得：R＝0.50mOP而cos53°＝0.50m故圆心必定在x轴上，轨迹如图甲所示．由几何关系可知：OQ＝R＋Rsin53°故OQ＝0.90m.带电粒子不从x轴射出(如图乙)，由几何关系得：OP＞R′＋R′cos53°mvR′＝qB′16解得：B′＞T(取“≥”仍旧给分)答案：

(1)20m/s

(2)0.90m

16(3)B′＞3

T[B

组·能力题

]5.如下图，

abcd为一正方形界限的匀强磁场地区，磁场界限边长为

L，三个粒子以同样的速度从a点沿ac方向射入，粒子1从b点射出，粒子2从c点射出，粒子3从cd边垂直于磁场界限射出，不考虑粒子的重力和粒子间的互相作用．依据以上信息，能够确立(B)A．粒子1带负电，粒子2不带电，粒子3带正电B．粒子1和粒子3的比荷之比为2∶1C．粒子1和粒子3在磁场中运动时间之比为4∶1LD．粒子3的射出地点与d点相距26．(多项选择)(2015·四川卷)如下图，S处有一电子源，可向纸面内随意方向发射电子，平板MN垂直于纸面，在纸面内的长度L＝9.1cm，中点O与S间的距离d＝4.55cm，MN与SO直线的夹角为θ，板所在平面有电子源的一侧地区有方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁－4T，电子质量－31kg，电量e＝－1.6×10－19感觉强度B＝2.0×10m＝9.1×10C，不计电子重力，电子源发射速度v＝1.6×106m/s的一个电子，该电子打在板上可能地点的地区的长度为l，则(AD)A．θ＝90°时，l＝9.1cmB．θ＝60°时，l＝9.1cmC．θ＝45°时，l＝4.55cmD．θ＝30°时，l＝4.55cm7．如图甲所示，ABCD是一长方形有界匀强磁场界限，磁感觉强度按图乙规律变化，取垂直纸面向外为磁场的正方向，图中＝3＝3，一质量为、所带电荷量为q的带正电ABADLm粒子以速度v0在t＝0时从A点沿AB方向垂直磁场射入，粒子重力不计．(1)若粒子经时间t＝30恰巧垂直打在上，求磁场的磁感觉强度0和粒子运动中的加快2TCDB度a的大小；若要使粒子恰能沿DC方向经过C点，求磁场的磁感觉强度B0的大小及磁场变化的周期T0.2mv0分析：(1)设粒子做圆周运动的半径为R，由牛顿第二定律得v0，解得R＝qv0B0＝mqB01由题意剖析可知粒子运动了3个圆周垂直打在CD上，则可得3R＝L43mv0联立解得B0＝qL2203v0粒子做圆周运动的加快度大小为＝＝.aRL由题意可知粒子每经过一周期，其末速度方向与初速度方向同样，其部分轨迹如下图，粒子从A到C经历的时间为磁场变化周期的整数(n)倍即AB方向有3L＝2nRsinθAD方向有L＝2nR(1－cosθ)1联立得co