Mahcad数学运算函数运算

3.函数运算(1)简单算术运算Mathcad2001可以作为一个计算器使用，用户只要在工作页上输入变量的值，如a:=100.6b:=58.4然后就可以用等号来进行各种简单的算术运算，如加：a+b=159减：a-b=42.2乘：a*b=5.875×103平方根：n次方根：

指数：(2)三角函数

和反三角函数Mathcad2001提供下列三角函数和反三角函数：sin(z)(正弦函数)、cos(z)(余弦函数)、tan(z)(正切函数)、cot(z)(余切函数)、sec(z)(正割函数)、csc(z)(余割函数)、asin(z)(反正弦函数)、acos(z)(反余弦函数)、atan(z)(反正切函数)、acot(z)(反余切函数)、asec(z)(反正割函数)、acsc(z)(反余割函数)。Mathcad2001缺省以弧度为单位进行三角函数的计算，如：x:=3.34sin(x)=-0.197tan(x)=0.201Mathcad2001没有提供弧度向角度转换的函数，但可以通过输入内置的单位deg来进行角度的转换，如角度为200度，可用下法转换成弧度：x:=200x:=x*degx=3.491所得到的反三角函数的结果缺省也为弧度。如：asin(0.2)=0.201要转换成弧度，可单击此式，并在右侧占位符上输入deg，然后单击此区域外部，如：asin(0.2)=11.537degMathcad2001还提供两个返回角度的函数：angle(x,y)：返回平面上从x正坐标轴到点(x,y)的夹角，其值为0到2π。atan2(x,y)：返回平面上从x正坐标轴到点(x,y)的夹角，其值为-π到π。与acot(z)函数相比，atan2(x,y)的输入

只能是实数，而acot(z)的输入可为复数或实数，其结果为0到π。如：angle(10,5)=0.464atan2(-10,-5)=-2.678其单位也为弧度，可以使用上述方法进行角度转换。

(3)对对数和指指数函数数Mathcad2001提供供三个对对数和指指数函数数，它们们是：Exp(z)：：返回e的z次次幂。Ln(z)：返返回z的的自然对对数(z≠0)。Log(z,b)：返返回z的的以b为为基的对对数(z≠0，，b≠0)，如如果输入入的参数数中省略略基b，，则返回回以10为基的的对数。。例如：x:=5.67b:=2自然对数：ln(x)=1.735以10为底对对数：log(x)=0.754以2为基的对对数：log(x,b)=2.503指数：exp(x)＝290.035(4)复数Mathcad2001提供下列复复数函数：Arg(z)：返回复平平面从实轴到到z的夹角，，结果为从-π到π。csgn(z)：返回复复数的符号，，当z=0时时返回0；当当Re(z)>0或Re(z)=0且Im(z)>0时返返回1；其它它值返回-1。Im(z)：：返回z的虚虚部。Re(z)：：返回z的实实部。sigmum(z)：返返回单位向量量，当z=0时返回1，，否则返回z/|z|。。例如：z:=1-iarg(z)=-0.785csgn(z)=1Im(z)=-1Re(z)=1signum(z)=0.707-0.707i|z|=1.414(5)近似函函数Mathcad2001提供下列近近似函数：ceil(x)：返回大大于或等于x的最小整数数，其中x必必须是实数。。floor(x)：返回回小于或等于于x的最大整整数，其中x必须是实数数。round(x,n)：：对实数x在在第n位小数数上进行四舍舍五入。例如：x:=356.123456789ceil(x)=357floor(x)=356round(x,3)=356.123round(x,4)=356.1235(6)解方程程和方程组Mathcad2001提供下列求求解和优化方方程的内置函函数：find(x,y,...)：求解解方程或方程程组的未知解解。minerr(x,y,...)：：求解方程或或方程组的近近似未知解。。root(f(x),x,a,b)：求解方程程的根。isolve(M,v)：求方程的的解。polyroots(v)：求多项项式的根。minimize(f,var1,var2,...)：：求满足条件件的优化最小小值。maximize(f,var1,var2,...)：：求满足条件件的优化最大大值。(a)用root函数求求解一般方方程的根对各种类型的的方程，要给给出一个通用用的求根解析析表达式是不不可能的。““root””函数是Mathcad2001中中一个用Mathcad编程语言写写成的内置函函数，其算法法就是数值求求根的割线法法。割线法就就是从一个初初始点开始(这个初始点点就是我们给给出的根的估估计值)，与与在方程函数数曲线上邻近近的一个点作作曲线的割线线，找到割线线与横坐标轴轴的交点。从从交点出发再再作曲线的割割线，不断用用割线与横坐坐标轴的交点点去逼近曲线线与横坐标轴轴的交点(即即方程的解)。用root求根函数数几乎可以求求解所有类型型的一元方程程，其缺点是是必须先给出出一个根的估估计值。root函数数是专用的求求根函数，其其调用格式可可有两种形式式：①root(expr,var)；②r:=root(expr,var)。式中有有两个参数：：“expr”是求解方方程的函数名名或表达式；；“var””是根的估计计值(guessvalue)，，即直观上对对方程根的一一个估计。大多数函数方方程都可能能存在着多根根，此时根的的估计是一个个较为困难的的问题。下面面我们以一个个解方程根的的例子来说明明如何估算方方程的根。例1：求下式式为0时的根根f(x):=ln(x2+1)-sin(x)-4首先应该估计计一下此方程程根的范围。。由于sin(x)取值值在0和1之之间，因此ln(x2+1)的最大大值为5，这这样可算得根根x的范围大大约在-12～12，即即根可能是这这范围内的一一个任意数。。根的估算有有两种方法，，第一种是使使用随机函数数rnd，即即根可能是下下列函数中的的一个或数个个：r:=rnd(24)-12r=-11.97root(f(r),r)=-11.475单击上面的““r:=rnd(24)-12”语语句，重复按按F9键，可可以在root(f(r),r)=中观察到所所给出根的变变化，把这些些数值代入方方程即可求出出所合适的根根，如-11.475、、-6.514、4.449等。第二种方法是是画出此函数数的X-Y坐坐标图(如图图27所示)。图27从图中可以看看出，此方程程有六个根，，数值大约为为-11.5、-10.1、-6.5、4.5、5.8、、9.1，再再把它们依次次代入root函数中，，即可求出此此方程根的近近似值，如：：x:=-11.5root(f(x),x)=-11.475x:=-10.1root(f(x),x)=-10.117…………………………最后可得六个个根分别是-11.475、-10.117、、-6.514、4.449、5.817、9.005。。由于求根函数数root的的算法是数值值法，得到的的根是近似值值。系统缺省省数据的显示示精度为15位，如果用用户对这精度度不满意，可可在求解之前前重新定义误误差控制常数数TOL。大部分方程的的根是实数，，但是也有少少部分方程可可能得到复数数根，如例2。例2：求下式式为0时的根根f(x):=2x2-5x+4这时用作图法法无法看出根根的近似值，，应考虑是否否为复数解。。使用随机函函数：r:=rnd(100)-50r=-40.859root(f(r),r)=1.25-0.661i单击上面的““r:=rnd(100)-50””语句，重复复按F9键，，可以在root(f(r),r)=中观察到到所给出根的的变化，即只只有两个复数数根：1.25-0.661i和1.25+0.661i。也可使用估值值：x:=1+iroot(f(x),x)=1.25+0.661ix:=-1-5iroot(f(x),x)=1.25-0.661i也是只有两个个复数根：1.25-0.661i和1.25+0.661i。(b)用函数数polyroots求求多项式方方程的根方程表达式为为多项式的方方程叫做多项项式方程。虽虽然也可用root求根根函数求解多多项式方程的的根，但十分分麻烦。为此此，Mathcad2001专门设设计了函数polyroots，它它可以方便地地求出一个多多项式所有的的根。它并不不需要根的估估计值。多项式的一般般形式为：c0+c1x+c2x2+……+cnxn其中系数可以是是实数或复数。。在Mathcad2001中，把多项式式的系数记为向向量形式，即：：它被称为多项式式的系数向量，，系数向量的个个数就是多项式式的阶数。Mathcad2001规定最最高阶数的系数数cn不能为零，而低低阶系数可以为为零，但要占据据相应的位置。即即系数向量分量量的个数不能少少，次序不能乱乱，在所缺少项项的相应位置一一定要输入0，，不可跳过。多项式的阶等于于函数中自变量量的最高次幂，，n次多项式共共有n个根，实实系数多项式的的复根是共轭出出现的。对于高高次多项式求根根，常用的解析析解法是配方法法，即把高次多多项式化为一些些一次或二次多多项式的乘积，，这有时需要很很高的技巧。解多项式的数值值解法与解一般般函数方程的数数值解法相同。。求根函数polyroots是一个单自变变量函数，使用用格式为：polyroots(v)polyroots的自变量量，即参数是一一个向量，它就就是多项式函数数的系数向量。。其返回值也是是一个向量，即即多项式的根向向量。例：求下列多项项式的根：f(x):=x3-10x+2系数向量是：调用求根函数：：r:=polyroots(c)求得根向量为：：或根向量的转置置矩阵：用polyroots函数求求解高次多项式式时，有时会产产生较大的误差差，这不能用改改变求解精度TOL来解决。。先用polyroots函函数求得多项式式的根，将这些些根依次代入多多项式进行检验验。将误差较大大的根作为根的的估计值，再用用root求根根函数求解多项项式的根，可提提高所得根的精精度。(c)求解模块块及

求解方程程组求解模块(SolveBlock)不是是一个函数，而而是一个独特的的结构，或可看看作Mathcad2001中的一个特殊殊的程序。利用用它可以求解方方程组，即使要要求解的方程组组没有根，也会会给出一组根，，并满足误差最最小的条件。求解模块的结构构是先给出一组组根的估计值；；然后使用关键键词Given(大、小写或或大小写混合使使用均可)；接接着是方程组；；最后使用关键键词Find。。例：根的估计值：x:=1y:=1关键词：Given方程组：x+y=6(圆)x+y=2(直直线)(方程组组中等号要用““Ctrl＋＝＝”输入)关键词：Find(x,y)=求出一个根再次使用根估计计值x:=-1y:=1重复上述步骤骤可得另一个根根：(d)不等式方方程求解使用求解模块还还可以求解不等等式方程或不等等式方程组。例：求解不等式式(x-1)(3x-5)(x-4)0解：不等式的解解是一个或几个个区域，先画出出f(x):=(x-1)(3x-5)(x-4)的X-Y坐标图(如图28所示示)。从图中可以看出出此不等式的解解是两个区域，，一个在1到1.7之间，另另一个是大于等等于4。下面再再使用求解模块块来精确求解。。图28根的估计值：x:=0关键词： Given不等式：(x-1)(3x-5)(x-4)0(注：用用Ctrl+0输入大于等于于符“”或使用用工具面板中的的相应布尔运算算符)关键词：Find(x)=1.6再次使用根估计计值x:=1、、x:=2、x:=3时重复复上述步骤均得得到根1～1.6，而使用根根估计值x:=4时得到根为为4。可见此不不等式的两个区区域分别是1≤≤x≤1.6和和4≤x≤。(e)用lsolve函数求求解线性方程程函数lsolve（M,v））返回线性方程程组Mx=v的的解向量，其中中参数M是一个个方阵，非奇异异矩阵。我们把把行列式值为0的矩阵称为奇奇异矩阵，而把把行是线性独立立的矩阵称为非非奇异矩阵；v是维数和M矩矩阵行数相等的的向量。例：有如下线性性方程组其系数矩阵为；；其常数项向量为为：(f)用minerr函数求求

方程组的近近似解在使用find函数不能得到到解时，可以使使用minerr函数来得到到近似解，其使使用方法与find函数相似似。例：x:=1y:=1Given(x+1)2+(y+1)2=0.5x+y=2minerr(x,y)=(7)解微分方方程微分方程一般分分常微分方程和和偏微分方程两两种，前者所有有的微分均对同同一个变量进行行，而后者则包包含对不同变量量的微分。一般般说来，求解微微分方程是相当当复杂的，但在在物理学中，常常常对微分方程程附加一些边界界条件，使它成成为一个定解问问题。Mathcad2001共