山东省烟台市2020-2021学年高三上学期期末数学试题

x3x3山东省烟台市2020-2021年高三上学期期末数学试题注意事项：1.本试题满分分，考试时间120分钟2.答卷前，务必将姓名和考证号填涂在答题卡.3.使用答题纸时，必须使0.5毫米的黑色签字笔书写要字迹工整，笔迹清晰；超出答题书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无一、单项选择题：本题共题，每小题5分共分.每小题给出的四个选项中，只有一项符题目要求1.已知集合

（）A.

B.

xC.x2.已知命题

p:

，

xx

，则

为（）A.C.

，0R，

B.D.

，xx000，3.已知等差数列的前

项和为

n

，若

9

，

224

，则

7

（）B.5C.6D.74.水晶是一种石英结晶体物因其硬度色泽光学性质、稀缺性等，常被人们制作成饰.如图所示，现有棱长为的正方体水晶一块，将其去八个相同的四面体，打磨成某饰品，则该饰品的表面积为（位：）A.

B.

C.

5.若

3cos2

则

（）A.

55B.C.6.右图是某主题公园的部景观平面示意图圆形池塘以为圆心，以45为半径B为公园入口，道路

AB

为东西方向，道路经过且向正北方向延伸，

OA，AB100

，现计划从

B

处起修一条新路与道路相连且新路在池塘的外围，假设路宽忽略不计，则新路的最小长度为单位：m（）A.

100

B.

3

C.

150

D.37如图示，平面向量

O

，

OB

的夹角为60°，

OBOA

，点

P

关于点

A

的对称点

Q

，点

Q

关于点B的对称点为点R，则PR为（）A.

B.

C.4无法确定

．．ncos22．．ncos228.已知函数

fx

xkx,x

，若方程

f

有

个不同的实根从小到大依次为

x12

，x3

，，

xn

，则下列说法错误的是（）A.

xx12

B.当n时，k

C.且时，x3

x3

D.当x

时，

n二、多项选择题：本题共题，每小题5分共分.每小题给出的选项中，有多项符合题目求，全部选对的得5分部分选对的得分有选错的得0分9将函

y

的图象向左平移个位长度得到函数

f

图象，则（）A.

yx

是函数

f

的一个解析式B.线

x

是函数

f

图象的一条对称轴C.数

f

是周期为的奇函D.函数

f

的递减区间为k

5kZ1210.知抛物线C:

的焦点为F，F且率为2的线交抛物线C于A、两，其中

A

在第一象限，若

AF

，则（）A.

p

B.

BF

C.AF

为直径的圆与y

轴相切D.

11.知a，，列命题中正确的是（）A.

，则

lgabB.

，abC.

a

1，则D.若

1b3

，则

ab146

fxfflnxfxfflnx已知函数

，

，则（）A.数

f

在

R

上无极值点B.数

点C.对任意x，等式

2

恒成立，则实的大值为

D.若fxx

，则

lnt1

的最大值为

三、填空题：本题共4小题，每小分，共20.13.知FF为双曲线:12

2ya2b2

的左、右焦点，作x轴垂线交C于A1

、B

两点，若ABF，离心率为.已知数列a

满足

，1

*过x的最大整数，则数列

项和为.15.量珠穆朗玛峰的高度一直受到世界关注，年月8日，中国和尼泊尔共同宣布珠穆朗玛峰的最新高度为8848.86米某课外兴趣小组研究发现，人曾用三角测量法对珠峰高度进行测量，其方法为：首先在同一水平面上选定两个点测量两点间的距离，然后分别测量其中一个点相对另一点以珠峰顶点的张角，再在其中一点处测量珠顶点的仰角，最后计算得到珠峰高度.该兴趣小组运用这方法测量某建筑物高度如图所示已知该建筑物P垂直于水平面水平面上两点A，的离为PBAPAC30

，则该建筑的高度为（单位：16.个球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高球缺的体积公式V

h

，其中R

为球的半径，h

为球缺的高若一球与一棱长为

的正四面体的各棱均相切则该球的径为该球被此正四面体的一个侧面所截的球小于半球）的体积为.（本题第一空2分第二空3分）四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证过程或演算步.

sinsin17.（10）在①

a

A

A

，②

aC3c

，

这三个条件中任选一个，补充在下面问中，并给出解.问题：已△角A，BC对边分别是，b，，，求最大值.注：如果选择多个条件分解答，第一个解答计.18.（12）已知数列a

是各项均为正数的等比数列，其前项为S，，S

.（1求数列

的通项公式；（2

1

，求数列

n项n

.19.（12）如图，在四棱锥中底面为正方形，PD底面ABCD，M为线段PC的中点，AD，为线段上动点（1证明：平面

MND

平面

；（2当点N线段BC何位置时，平面MND与面PAB置，并说明理由.

所成锐二面角的大小为30°？指出点N的位20.（12）在研制飞机的自动着陆系统时，要研究飞机的降落曲线.如图，一架水平飞行的飞机的着点为原点O，飞机降落曲线大致为yax32

，其中

x

（单位：m）表示飞机距离着陆点的平距离y

（单位：）

表示飞机距离着陆点的竖直高度假设飞机开始降落时竖直高度为4500m距离着陆点的水距离为x0

，飞机在整个降落过程中始终在同个竖直平面内飞行，且飞机开始降落时的降落曲绯与平方向有线相.（1用

x

分别表示

和

：（2若飞机开始降落时的水平速150m/s且在整个降落过程中水平速度保持不变另外，基于安全考虑，飞机在降落过程中的竖直加度

y

关于降落时间

t

（单位：）的导函数

y

的导数）的绝对值不超过，求飞机开始降落时距离着陆点的水平距0

的最小值21.（12）2y2已知椭aa2b

的离心率为，F，F为椭的右焦点，过F斜率不为零的12l1

交椭圆于PQ两，△F2

的周长为8.（1求椭C的程（2设

A

为椭圆

的右顶点，直线

AP

，分别交直l:2

于M，

两点，试判断以

为直径的圆是否恒过椭圆长轴上一个点，并说明理.22.（12）已知函数fxx

（

aR

，

为自然对数的底数）（1若

f

在定义域内有唯一零点，求a的取值范围；（2若fxx

在

0,

上恒成立，的值范围

sinsin2sinsinsin2sin2020-2021学年度第一学期期末学业水平诊断高三数学参考答案及分标准一、单项选择题BBADAD二、多项选择题9.BD三、填空题13.

2

15.

16.

33，四、解答题17.：若选①：由已知得BBBsin即

sinAsin.

B

A

，化简cos

B2

，因为

B

B，所以，.3又

a222ac

，所以

a

ac

，当且仅当

时取等号，故ac，即的最大值为4.若选②：由已知得

sinBC

，cos3sin

，sincosCsinCsinBcos3C

，化简得

3sinB

，即

，因为

，所以

B

.由cos

2

223ac

，

nnn31nnn31可得a2

3

，当且仅当a时等号，故

ac，即ac的大值为

8

.若选③：由已知

B

，即

C

，又

BC

，所以所以

2sinABcosCsinsinB，因为B0,，所以B3

.由

a

2

12ac

，得

a

，当且仅当

时取等号，故ac，即

的最大值为4.18.：）设数列a的公比为

，于是

S1223

，解得

4或q

，因为q所以

，所以

n

3n

.（2由1）可得，

n

nn

，7nT32nn

，32n2T33n

，两式相减可得，T

22

n

n21n3

1212

2n3n3n

，所以

Tn

3n

.19.：）因为

底面

ABCD

，

面

ABCD

，所以

PD

，CD，PDCDD，所以面PCD，又面，所以BC，因为△中，AD，M为的点，所以，又

BC

，所以

平面

，又面DMN，所以面MND面PBC；（2设

PD

，以

D

为坐标原点，分别以

A

，

，

DP

方向为

，

z

轴的正方向，建立空间直角坐标系

D

，设

N

，则

AP

，

DN

1，0,

.设mx,y,z

为平面

的一个法向量，则有

mm

，即

11y1

，令1

，可得

m

，设nxy,z为平面MND的一个法向量，xx则有，即，xy22

，可得；

，因为平面

MND

与平面

PAB

夹角为

30

，所以

mm

32

，.

f02t300xf02t300x即

，解

，故为段的点20.：）设f则axbx，

.由题意可知，，即

450000解得，.x30（2由1）可知，f)

xxxx00

2

，

x

，设飞机降落时间为，t

，则

yt

x30

x150xtx0

，

xt150

，y

x30

t0y

x0

0

，

xt150

，当或0

时，

取最大值，故xx00

，可得x4500.所以飞机开始下降时距离着陆点平距离的最小值为

米21.：由题意

a

，

a

，因为

c12

，所以

c

，而

，所以

b

3

，x2故椭圆的方程为：4

，

12APy2t212APy2t2（2由1）知，设l的方程为：x1

，代入

xy4

得：

，设y11

，

,22

，则yy12

t，yy3t2

，因为xty，所以k11

AP

yxty1

，所以直线的方为：y

1ty1

，令

x

，得

y1ty1

，所以M

y11

，y同理可得2

，若以MN为直径的圆过长轴上定

H，则MH

，设

，则m4,

611

，NH

612

，于是

1

1对任意实数恒成立，ty2所以

36y1tyy12

，36yy而1t2yy2

t

3

36t26tt32

所以

，解得

，因为

m，所以

.22.：）f

x

，

所以ga所以gah1e，则，则na当a，

在R上单调递，又

f

，

f

，由零点存在定理知，函数

f

在R上唯一零点，符合题意当a，令f

a

，当

x

，

f

，

f

单调递减，

x

，

f

，

f

单调递增，所以f

min

fln

lnln

.设