2023届江苏省高三年级下册学期期初考试仿真模拟数学试卷（五）

2022-2023学年高三下学期期初考试仿真模拟数学试卷05一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合，，则（）A.⫋ B.⫋ C. D.2．设复数,则复数在复平面内对应的点的坐标是（）A. B. C. D.3．已知a，b，c，d是四条直线，α，β是两个不重合的平面，若a∥b∥c∥d，a⊂α，b⊂α，c⊂β，d⊂β，则α与β的位置关系是（）A平行B.相交C.平行或相交 D.以上都不对4．意大利著名天文学家伽利略曾错误地猜测链条自然下垂时的形状是抛物线．直到1690年，雅各布·伯努利正式提出该问题为“悬链线”问题并向数学界征求答案．1691年他的弟弟约翰·伯努利和菜布尼兹、惠更斯三人各自都得到了正确答案，给出悬链线的数学表达式为双曲余弦型函数：（e为自然对数的底数）．当a=2时，记，，，则p，m，n的大小关系为（）A.B.C. D.5．直线经过椭圆的左焦点，交椭圆于、两点，交轴于点，若，则该椭圆的离心率是（）A． B． C． D．6．已知函数为偶函数，在单调递减，且在该区间上没有零点，则的取值范围为（）A． B． C． D．7．在三棱锥中，PA，PB，PC互相垂直，，M是线段BC上一动点，且直线AM与平面PBC所成角的正切值的最大值是，则三棱锥外接球的体积是（）A． B． C． D．8．设点是曲线上任意一点，则点到原点距离的最大值、最小值分别为（）A.最大值，最小值 B.最大值，最小值1C.最大值2，最小值 D.最大值2，最小值1二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知，，，则（）A. B. C. D.10．数列中，对于任意的都有，且，则下列结论正确的是（

）A．对于任意的，都有B．对于任意的，数列不可能为常数列C．若，则数列为递增数列D．若，则当时，11．已知随机变量服从正态分布，定义函数为取值不超过的概率，即.若，则下列说法正确的有（）A． B．C．在上是增函数 D．12．在正四面体中，若，则下列说法正确的是（）A．该四面体外接球的表面积为B．直线与平面所成角的正弦值为C．如果点在上，则的最小值为D．过线段一个三等分点且与垂直的平面截该四面体所得截面的周长为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．的展开式中含项的系数为___________.14.写出一个同时具有下列性质①②③的函数_______．①；②当时，；③是奇函数．15.已知，，，，过点作垂直于点，点满足，则的值为_______．16．已知函数的图象与函数的图象关于某一条直线l对称，若P，Q分别为它们图象上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知正项数列的前项和，且.（1）证明：数列为等差数列；（2）记，证明.18．在①；②这两个条件中任选一个作为已知条件，补充到下面的横线上，并给出解答．问题：已知中，角、、的对边分别为、、，是边的中点，，且______．（1）求的值；（2）若的平分线交于点，求的周长．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19．为提高核酸检测效率，某医学实验室现准备采用某种检测新冠肺炎病毒核酸的新型技术进行新一轮大规模核酸筛查.经过初步统计分析得出该项技术的错检率约为0.04，漏检率约为0.01.（错检率指在检测出阳性的情况下未感染的概率，漏检率指在感染的情况下检测出阴性的概率）（1）当有100个人检测出核酸阳性时，求预计检出的假阳性人数；（2）为节约成本，实验室在该技术的基础上采用“混采”的方式对个别疫区进行核酸检测，即将n个人的样本装进一根试管内送检；若某组检测出核酸阳性，则对这n个人分别进行单人单试管核酸采样.现对两个疫区的居民进行核酸检测，A疫区共有10000名居民，采用的混采策略；B疫区共有20000名居民，采用的混采策略.已知两个疫区每个居民感染新冠肺炎的概率相等且均小于0.00032，通过计算比较A、B两个疫区核酸检测预计消耗试管数量.参考数据：，20．如下图所示，在多面体中，是边长为2的等边三角形，，，点是中点，平面平面.（1）求证：平面；（2）是直线上的一点，若二面角为直二面角，求的长.21．已知，为双曲线E：（，）的左右焦点，点在双曲线E上，O为坐标原点．（1）求双曲线E的标准方程；（2）若不与坐标轴平行的动直线l与双曲线E相切，分别过点，作直线l的垂线，垂足为P，Q，求面积最大值．22．若对实数，函数，满足且，则称为“平滑函数”，为该函数的“平滑点”.已知，.（1）若1是平滑函数的“平滑点”，（ⅰ）求实数，的值；（ⅱ）若过点可作三条不同的直线与函数的图象相切，求实数的取值范围；（2）对任意，判断是否存在，使得函数存在正的“平滑点”，并说明理由．2022-2023学年高三下学期期初考试仿真模拟数学试卷05一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合，，则（）A.⫋ B.⫋ C. D.【答案】A2．设复数,则复数在复平面内对应的点的坐标是（）A. B. C. D.【答案】A3．已知a，b，c，d是四条直线，α，β是两个不重合的平面，若a∥b∥c∥d，a⊂α，b⊂α，c⊂β，d⊂β，则α与β的位置关系是（）A平行B.相交C.平行或相交 D.以上都不对【答案】C4．意大利著名天文学家伽利略曾错误地猜测链条自然下垂时的形状是抛物线．直到1690年，雅各布·伯努利正式提出该问题为“悬链线”问题并向数学界征求答案．1691年他的弟弟约翰·伯努利和菜布尼兹、惠更斯三人各自都得到了正确答案，给出悬链线的数学表达式为双曲余弦型函数：（e为自然对数的底数）．当a=2时，记，，，则p，m，n的大小关系为（）A.B.C. D.【答案】B5．直线经过椭圆的左焦点，交椭圆于、两点，交轴于点，若，则该椭圆的离心率是（）A． B． C． D．【答案】A6．已知函数为偶函数，在单调递减，且在该区间上没有零点，则的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】D7．在三棱锥中，PA，PB，PC互相垂直，，M是线段BC上一动点，且直线AM与平面PBC所成角的正切值的最大值是，则三棱锥外接球的体积是（）A． B． C． D．【答案】D8．设点是曲线上任意一点，则点到原点距离的最大值、最小值分别为（）A.最大值，最小值 B.最大值，最小值1C.最大值2，最小值 D.最大值2，最小值1【答案】B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】BCD10．数列中，对于任意的都有，且，则下列结论正确的是（）A．对于任意的，都有B．对于任意的，数列不可能为常数列C．若，则数列为递增数列D．若，则当时，【答案】ACD11．已知随机变量服从正态分布，定义函数为取值不超过的概率，即.若，则下列说法正确的有（）A． B．C．在上是增函数 D．【答案】ACD12．在正四面体中，若，则下列说法正确的是（）A．该四面体外接球的表面积为B．直线与平面所成角的正弦值为C．如果点在上，则的最小值为D．过线段一个三等分点且与垂直的平面截该四面体所得截面的周长为【答案】ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．的展开式中含项的系数为___________.【答案】14.写出一个同时具有下列性质①②③的函数_______．①；②当时，；③是奇函数．【答案】（答案不唯一，均满足）15.已知，，，，过点作垂直于点，点满足，则的值为_______．【答案】16．已知函数的图象与函数的图象关于某一条直线l对称，若P，Q分别为它们图象上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为______．【答案】四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知正项数列的前项和，且.（1）证明：数列为等差数列；（2）记，证明.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】（1）证明：∵，∴当时，，∴，∴.当时，，∴，即，故是首项为1，公差为1的等差数列；（2）证明：由（1）知正项数列满足，所以；，∴.即.18．在①；②这两个条件中任选一个作为已知条件，补充到下面的横线上，并给出解答．问题：已知中，角、、的对边分别为、、，是边的中点，，且______．（1）求的值；（2）若的平分线交于点，求的周长．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）（2）【解析】（1）选择①：设，则，在中，，在中，，∵，∴，即，所以，故．选择②：由正弦定理得，，∵，∴，∴，即，于是，∴，设，，在中，，即（i），在中，，即（ii），联立（i）（ii）解得，，，即，．（2）由题意得，，∴，∴，又∵，∴，∴故的周长为．19．为提高核酸检测效率，某医学实验室现准备采用某种检测新冠肺炎病毒核酸的新型技术进行新一轮大规模核酸筛查.经过初步统计分析得出该项技术的错检率约为0.04，漏检率约为0.01.（错检率指在检测出阳性的情况下未感染的概率，漏检率指在感染的情况下检测出阴性的概率）（1）当有100个人检测出核酸阳性时，求预计检出的假阳性人数；（2）为节约成本，实验室在该技术的基础上采用“混采”的方式对个别疫区进行核酸检测，即将n个人的样本装进一根试管内送检；若某组检测出核酸阳性，则对这n个人分别进行单人单试管核酸采样.现对两个疫区的居民进行核酸检测，A疫区共有10000名居民，采用的混采策略；B疫区共有20000名居民，采用的混采策略.已知两个疫区每个居民感染新冠肺炎的概率相等且均小于0.00032，通过计算比较A、B两个疫区核酸检测预计消耗试管数量.参考数据：，【答案】（1）4；（2）A疫区核酸检测预计消耗试管数量比疫区核酸检测预计消耗试管数量少.【解析】（1）当有100个人检测出核酸阳性时，预计检出的假阳性人数为.（2）先计算疫区核酸检测预计消耗试管数量.设疫区每个居民感染新冠肺炎的概率为，采用的混采策略，则该小组所需检测次数为和，对应的概率分别为和,所以该小组检测次数的期望为，10000名居民分成1000个小组，所以整个疫区检测次数的期望值为.再计算疫区核酸检测预计消耗试管数量.设疫区每个居民感染新冠肺炎的概率为，采用的混采策略，则该小组所需检测次数为和，对应的概率分别为和,所以该小组检测次数的期望为，20000名居民分成1000个小组，所以整个疫区检测次数的期望值为.因为，所以，，所以，所以A疫区核酸检测预计消耗试管数量比疫区核酸检测预计消耗试管数量少.20．如下图所示，在多面体中，是边长为2的等边三角形，，，点是中点，平面平面.（1）求证：平面；（2）是直线上的一点，若二面角为直二面角，求的长.【答案】（1）证明见详解；（2）【解析】（1）因为，又点为的中点，所以．因为平面平面，平面平面，所以平面．因为，，所以，，故，．又，所以平面，所以．因为平面，平面，所以平面．（2）连接，以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，设，使得二面角为直二面角，易知，设平面的法向量为，则由，，得，令，得，，故．设平面的法向量为，则由，，得，令，得，，故．由，得，故．所以．21．已知，为双曲线E：（，）的左右焦点，点在双曲线E上，O为坐标原点．（1）求双曲线E的标准方程；（2）若不与坐标轴平行的动直线l与双曲线E相切，分别过点，作直线l的垂线，垂足为P，Q，求面积最大值．【答案】（1）（2）【解析】（1）由已知得，解得所以双曲线的标准方程为（2）设切线l的方程为：，联立，整理得由题知，化简得，设，则则，解得同理，解得点到直线的距离所以的面积又，所以令，由，则，所以所以当，即时，所以面积最大值为22．若对实数，函数，满足且，则称为“平滑函数”，为该函数的“平滑点”.已知，.（1）若1是平滑函数的“平滑点”，（ⅰ）求实数，的值；（ⅱ）若过点可作三条不同的直线与函数的图象相切，求